3 Sustavi linearnih jednadžbi i kako ih riješiti

linearne jednadžbe one su polinomske jednadžbe s jednom ili više nepoznanica. U ovom slučaju, nepoznanice nisu uzdignute do moći, niti se međusobno umnožavaju (u ovom slučaju se kaže da je jednadžba stupnja 1 ili prvog stupnja).

Jednadžba je matematička jednakost u kojoj postoji jedan ili više nepoznatih elemenata koje ćemo nazvati nepoznatim ili nepoznatim u slučaju da ih ima više. Za rješavanje ove jednadžbe potrebno je utvrditi vrijednost nepoznanica.

Linearna jednadžba ima sljedeću strukturu:

u₀· 1 + a₁· X₁+ u₂· X₂+... + a_n· X_n= b

Gdje?₀, u₁, u₂,..., a_n su stvarni brojevi za koje znamo njihovu vrijednost i nazivaju se koeficijenti, b je također poznati stvarni broj koji se naziva nezavisnim pojmom. I na kraju su X₁, X_2,..., X_n koje su poznate kao nepoznanice. To su varijable čija je vrijednost nepoznata.

Sustav linearnih jednadžbi je skup linearnih jednadžbi gdje je vrijednost nepoznanica ista u svakoj jednadžbi.

Logično, način rješavanja sustava linearnih jednadžbi je dodjeljivanje vrijednosti nepoznanicama, tako da se jednakost može provjeriti. Drugim riječima, nepoznanice se moraju izračunati tako da se sve jednadžbe sustava istovremeno ispune. Predstavljamo sustav linearnih jednadžbi kako slijedi

u₀· 1 + a₁· X₁ + u₂· X₂ +... + a_n· X_n = a_{n + 1}

b₀· 1 + b₁· X₁ + b₂· X₂ +... + b_n· X_n = b_{n + 1}

c₀· 1 + c₁· X₁ + c₂· X₂ +... + c_n· X_n = c_{n + 1}

... .

d₀· 1 + d₁· X₁ + d₂· X₂ +... + d_n· X_n = d_{n + 1}

 gdje a_0, u₁,..., a_n,b₀,b₁,..., b_n ,c₀ ,c₁,..., c_n itd., stvarni brojevi i nepoznanice koje treba riješiti su X₀,..., X_n ,X_{n + 1}.

Svaka linearna jednadžba predstavlja liniju i stoga sustav jednadžbi N linearnih jednadžbi predstavlja N ravno nacrtan u prostoru.

Ovisno o broju nepoznanica koje svaka linearna jednadžba ima, linija koja predstavlja navedenu jednadžbu će biti predstavljena u drugoj dimenziji, to jest, jednadžbi s dvije nepoznanice (na primjer, 2 · X₁ + X₂ = 0) predstavlja liniju u dvodimenzionalnom prostoru, jednadžbu s tri nepoznanice (na primjer 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) bilo bi prikazano u trodimenzionalnom prostoru i tako dalje.

Pri rješavanju sustava jednadžbi vrijednosti X₀,..., X_n ,X_{n + 1} dogodilo se da su to točke između linija.

Rješavanjem sustava jednadžbi možemo doći do različitih zaključaka. Ovisno o tipu dobivenog rezultata možemo razlikovati tri vrste sustava linearnih jednadžbi:

1- Neodređena kompatibilnost

Iako može zvučati kao šala, moguće je da ćemo pri pokušaju rješavanja sustava jednadžbi doći do očiglednosti stila 0 = 0.

Ovakva situacija se događa kada postoje beskonačna rješenja za sustav jednadžbi, a to se događa kada se ispostavi da u našem sustavu jednadžbi jednadžbe predstavljaju istu liniju. Možemo ga vidjeti grafički:

Kao sustav jednadžbi uzmemo:

Ako riješimo dvije jednadžbe s 2 nepoznanice, možemo prikazati linije u dvodimenzionalnoj ravnini

Kao što možemo vidjeti linije s istim, stoga se sve točke prve jednadžbe podudaraju s onima druge jednadžbe, te stoga ima onoliko točaka reza kao točke koje linija ima, to jest beskonačnosti.

2 - Nespojivo

Prilikom čitanja imena možemo zamisliti da naš sljedeći sustav jednadžbi neće imati rješenje.

Ako pokušamo riješiti, na primjer, ovaj sustav jednadžbi

Grafički bi to bilo:

Ako pomnožimo sve pojmove druge jednadžbe, dobijemo da je X + Y = 1 jednako 2 · X + 2 · Y = 2. A ako se ovaj posljednji izraz oduzme od prve jednadžbe, dobivamo

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

Ili što je isto

0 = 1

Kada smo u ovoj situaciji to znači da su linije koje su predstavljene u sustavu jednadžbi paralelne, što znači da po definiciji nikada nisu izrezane i nema točke rezanja. Kada je sustav predstavljen na ovaj način, kaže se da je on nedosljedan.

3 - Odlučna podrška

Konačno dolazimo do slučaja u kojem naš sustav jednadžbi ima jedno rješenje, slučaj u kojem imamo linije koje se sijeku i generiraju točku sjecišta. Pogledajmo primjer:

Da bismo ga riješili, možemo dodati dvije jednadžbe tako da ih dobijemo

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Ako pojednostavimo, otišli smo

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

Iz čega lako možemo zaključiti da je X = 2 i zamijeniti ili X = 2 u bilo kojoj od izvornih jednadžbi dobivamo Y = 3.

Vizualno bi to bilo:

Metode rješavanja sustava linearnih jednadžbi

Kao što smo vidjeli u prethodnom odjeljku, za sustave s 2 nepoznanice i 2 jednadžbe, temeljene na jednostavnim operacijama kao što su zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i zamjena, možemo ih riješiti za nekoliko minuta. Ali ako pokušamo primijeniti ovu metodologiju na sustave s više jednadžbi i više nepoznanica, proračuni postaju zamorni i lako možemo pogriješiti.

Da bi se pojednostavili proračuni, postoji nekoliko metoda rješavanja, no nedvojbeno su najraširenije metode Kramerovo pravilo i eliminacija Gauss-Jordana..

Cramer metoda

Kako bismo objasnili kako se ova metoda primjenjuje, neophodno je znati koja je njezina matrica i znati kako pronaći njezinu determinantu, napravimo zagradu kako bismo definirali ta dva pojma..

matrica to nije ništa drugo nego skup brojeva ili algebarskih simbola postavljenih u horizontalnim i vertikalnim linijama i raspoređenih u obliku pravokutnika. Za našu temu koristit ćemo matricu kao pojednostavljeni način izražavanja našeg sustava jednadžbi.

Pogledajmo primjer:

To će biti sustav linearnih jednadžbi

Ovaj jednostavan sustav jednadžbi koje možemo sažeti je rad dviju 2 × 2 matrica koje rezultiraju matricom 2 × 1..

Prva matrica odgovara svim koeficijentima, druga matrica je nepoznanica koju treba riješiti, a matrica locirana nakon jednakosti identificirana je neovisnim članovima jednadžbi.

determinanta je operacija koja se primjenjuje na matricu čiji je rezultat stvarni broj.

U slučaju matrice koju smo pronašli u prethodnom primjeru, njegova bi odrednica bila:

Nakon što su definirani koncepti matrice i determinante, možemo objasniti iz čega se sastoji Cramer-ova metoda.

Ovom metodom lako možemo riješiti sustav linearnih jednadžbi sve dok sustav ne prelazi tri jednadžbe s tri nepoznanice jer je izračun determinanti matrice vrlo težak za matrice 4 × 4 ili više. U slučaju sustava s više od tri linearne jednadžbe, preporučuje se metoda eliminacije Gauss-Jordana.

Nastavljajući se s prethodnim primjerom, pomoću Cramera jednostavno moramo izračunati dvije determinante i njime ćemo pronaći vrijednost naše dvije nepoznanice..

Mi imamo sustav:

I imamo sustav predstavljen matricama:

Pronađena je vrijednost X:

Jednostavno u izračunu determinante koja se nalazi u nazivniku podjele, zamijenili smo prvu komunicu matricom nezavisnih pojmova. A u nazivniku podjele imamo odrednicu naše izvorne matrice.

Izvršavajući iste izračune kako bismo pronašli Y, dobivamo:

Eliminacija Gauss-Jordana

Definiramo proširena matrica na matricu koja proizlazi iz sustava jednadžbi gdje dodajemo nezavisne pojmove na kraju matrice.

Metoda eliminacije Gauss-Jordana sastoji se, pomoću operacija između redova matrice, za pretvaranje naše proširene matrice u mnogo jednostavniju matricu gdje imam nule u svim poljima osim u dijagonali, gdje moram dobiti neke. Kao što slijedi:

Gdje su X i Y stvarni brojevi koji odgovaraju našim nepoznanicama.

Riješimo ovaj sustav uklanjanjem Gauss-Jordana:

Već smo uspjeli dobiti nulu u donjem lijevom dijelu naše matrice, sljedeći korak je dobiti 0 u gornjem desnom dijelu.

Postigli smo 0 u gornjem lijevom dijelu matrice, sada moramo samo pretvoriti dijagonale u one i već smo riješili naš sustav po Gauss-Jordanu..

Stoga dolazimo do zaključka da:

reference

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Sustavi linearnih jednadžbi (bez datuma). Oporavio se od uco.es.
4. Sustavi linearnih jednadžbi. Poglavlje 7. (bez datuma). Preuzeto sa sauce.pntic.mec.es.
5. Linearna algebra i geometrija (2010/2011). Sustavi linearnih jednadžbi. Poglavlje 1. Odjel algebre. Sveučilište u Sevilli. Španjolska. Oporavio se od algebra.us.es.