Sarrusova pravila u tome što se sastoji i vrste odrednica



Sarrusova vladavina koristi se za izračun rezultata determinanti od 3 × 3. Oni se koriste za rješavanje linearnih jednadžbi i znaju jesu li kompatibilni.

Kompatibilni sustavi omogućuju lakše dobivanje rješenja. Također se koriste za određivanje da li su skupovi vektora linearno neovisni i čine osnovu vektorskog prostora.

Te se aplikacije temelje na invertibilnosti matrica. Ako je matrica regularna, njena determinanta se razlikuje od 0. Ako je jednina, njena determinanta je 0. Odrednice se mogu izračunati samo u kvadratnim matricama..

Za izračun matrice bilo kojeg reda može se koristiti Laplaceov teorem. Ovaj teorem omogućuje nam da pojednostavimo matrice visokih dimenzija, u zbroju malih determinanti koje razgradimo iz glavne matrice.

Potvrđuje da je determinanta matrice jednaka zbroju proizvoda svakog reda ili stupca, determinantom njene pridružene matrice.

To smanjuje determinante tako da odrednica stupnja n postane n determinanti n-1. Ako ovo pravilo primijenimo sukcesivno, možemo dobiti determinante dimenzije 2 (2 × 2) ili 3 (3 × 3), gdje je mnogo lakše izračunati.

Pravilo Sarrus

Pierre Frederic Sarrus bio je francuski matematičar 19. stoljeća. Većina njegovih matematičkih rasprava temelji se na metodama rješavanja jednadžbi i izračunu varijacija unutar numeričkih jednadžbi.

U jednoj od svojih rasprava riješio je jednu od najsloženijih zagonetki mehanike. Kako bi riješio probleme artikuliranih dijelova, Sarrus je uveo transformaciju alternativnih pravocrtnih pokreta, u jednolikim kružnim pokretima. Ovaj novi sustav poznat je kao Sarrusov mehanizam.

Najpoznatije istraživanje koje je dao ovom matematičaru bilo je u kojem je uveo novu metodu izračuna determinanti u članku "Nova metoda za rješavanje jednadžbi", koji je objavljen u 1833. Ovaj način rješavanja linearnih jednadžbi poznat je kao Sarrusovo pravilo.

Pravilo Sarrus omogućuje izračunavanje determinante matrice 3 × 3, bez potrebe za korištenjem Laplaceovog teorema, uvodeći mnogo jednostavniju i intuitivniju metodu. Da bismo mogli provjeriti vrijednost Sarrusova pravila, uzimamo bilo koju matricu dimenzije 3:

Izračun njegove determinante bio bi napravljen proizvodom njegovih glavnih dijagonala, oduzimajući proizvod od inverznih dijagonala. To bi bilo kako slijedi:

Pravilo Sarrus omogućuje nam da dobijemo mnogo jednostavniju viziju pri izračunavanju dijagonala determinante. To bi bilo pojednostavljeno dodavanjem prva dva stupca na poleđinu matrice. Na taj način možete jasnije vidjeti koje su vaše glavne dijagonale i koje su inverzne, za izračun proizvoda.

Kroz tu sliku možemo vidjeti primjenu Sarrusova pravila, uključimo redove 1 i 2, ispod grafičkog prikaza početne matrice. Na taj način glavne dijagonale su tri dijagonale koje se pojavljuju na prvom mjestu.

Tri povratne dijagonale su one koje se pojavljuju prvo u stražnjem dijelu.

Na taj se način dijagonale pojavljuju na vizualniji način, bez kompliciranja rezolucije determinante, pokušavajući saznati koji elementi matrice pripadaju svakoj dijagonali.

Kako se pojavljuje na slici, biramo dijagonale i izračunavamo dobiveni proizvod svake funkcije. Dijagonale koje se pojavljuju u plavom su one koje se zbrajaju. Za zbroj ovih, oduzimamo vrijednost dijagonala koje se pojavljuju u crvenoj boji.

Da bismo olakšali kompresiju, možemo koristiti numerički primjer, umjesto da koristimo algebarske pojmove i pod-izraze.

Ako uzmemo bilo koju 3 × 3 matricu, na primjer:

Da bismo primijenili Sarrusovo pravilo i riješili ga na vizualniji način, trebali bismo uključiti redove 1 i 2, kao redove 4 i 5 respektivno. Važno je zadržati red 1 na 4. mjestu, a red 2 na 5. mjestu. Jer ako ih razmijenimo, Sarrusova pravila neće biti učinkovita.

Da bismo izračunali odrednicu, naša bi matrica izgledala ovako:

Za nastavak izračuna pomnožimo elemente glavnih dijagonala. Silazne one koje počinju lijevo, imat će pozitivan znak; dok obrnute dijagonale, koje počinju s desne strane, nose negativni znak.

U ovom primjeru, plavi bi išli s pozitivnim predznakom, a crveni s negativnim predznakom. Konačni izračun Sarrus pravila bi izgledao ovako:

Vrste odrednica

Odrednica dimenzije 1

Ako je dimenzija matrice 1, matrica je ovog oblika: A = (a)

Stoga bi njegova determinanta bila sljedeća: det (A) = | A | = a

Ukratko, odrednica matrice A jednaka je apsolutnoj vrijednosti matrice A, koja je u ovom slučaju a.

Odrednica dimenzije 2

Ako pogledamo matrice dimenzije 2, dobivamo matrice tipa:

Gdje je njegova odrednica definirana kao:

Razlučivanje ove determinante temelji se na množenju njegove glavne dijagonale, oduzimajući proizvod od njegove inverzne dijagonale.

Kao mnemoničko pravilo, možemo upotrijebiti sljedeći dijagram za pamćenje njegove odrednice:

Odrednica dimenzije 3

Ako je dimenzija matrice 3, rezultirajuća matrica bila bi ovog tipa:

Odrednica ove matrice bila bi riješena putem Sarrusovog pravila na ovaj način:

reference

  1. Jenny Olive (1998) Matematika: Vodič za preživljavanje učenika. Cambridge University Press.
  2. Richard J. Brown (2012) 30-Second Maths: 50 najinteligentnijih teorija matematike. Ivy Press Limited.
  3. Dave Kirkby (2004) Matematika Connect. Heinemann.
  4. Awol Assen (2013) Studija izračuna determinanti matrice 3 × 3. Lap Lambert Academic Publishing.
  5. Anthony Nicolaides (1994) Odrednice i matrice. Pass publikacija.
  6. Jesse Russell (2012) Pravilo Sarrus.
  7. M. Casteleiro Villalba (2004) Uvod u linearnu algebru. ESIC Uvodnik.