Koliko rješenja ima kvadratna jednadžba?

Kvadratna jednadžba ili jednadžba drugog stupnja mogu imati nula, jedno ili dva realna rješenja, ovisno o koeficijentima koji se pojavljuju u navedenoj jednadžbi.

Ako radite na kompleksnim brojevima onda možete reći da svaka kvadratna jednadžba ima dva rješenja.

Za početak kvadratne jednadžbe koristi se jednadžba oblika ax² + bx + c = 0, gdje su a, b i c pravi brojevi, a x varijabla..

Kaže se da je x1 rješenje prethodne kvadratne jednadžbe ako zamjena x sa x1 zadovoljava jednadžbu, tj. Ako je a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Ako na primjer imate jednadžbu x²-4x + 4 = 0, onda je x1 = 2 rješenje jer (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Naprotiv, ako je zamijenjena x2 = 0, dobivamo (0) ²-4 (0) + 4 = 4 i kao 4 then 0 tada x2 = 0 nije rješenje kvadratne jednadžbe.

Rješenja kvadratne jednadžbe

Broj rješenja kvadratne jednadžbe može se podijeliti u dva slučaja:

1.- U stvarnim brojevima

Kada radimo s realnim brojevima, kvadratne jednadžbe mogu imati:

-Nula rješenja: to jest, ne postoji stvarni broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu. Primjerice, jednadžba dobivena jednadžbom x² + 1 = 0, ne postoji realni broj koji zadovoljava ovu jednadžbu, budući da je oba x² veća ili jednaka nuli i 1 je veća od nule, tako da će njezina suma biti veća. strogo nula.

-Ponovljeno rješenje: postoji jedna stvarna vrijednost koja zadovoljava kvadratnu jednadžbu. Na primjer, jedino rješenje za jednadžbu x²-4x + 4 = 0 je x1 = 2.

-Dva različita rješenja: postoje dvije vrijednosti koje zadovoljavaju kvadratnu jednadžbu. Na primjer, x² + x-2 = 0 ima dva različita rješenja koja su x1 = 1 i x2 = -2.

2.- U složenim brojevima

Kada radimo sa kompleksnim brojevima kvadratne jednadžbe uvijek imaju dva rješenja koja su z1 i z2 gdje je z2 konjugat od z1. Osim toga, mogu se svrstati u:

-kompleks: rješenja su oblika z = p ± qi, gdje su p i q realni brojevi. Ovaj slučaj odgovara prvom slučaju prethodnog popisa.

-Čisti kompleksi: je kada je stvarni dio rješenja jednak nuli, to jest, rješenje ima oblik z = ± qi, gdje je q pravi broj. Ovaj slučaj odgovara prvom slučaju prethodnog popisa.

-Kompleksi s imaginarnim dijelom jednaki nuli: kada je složeni dio rješenja jednak nuli, to jest, rješenje je stvarni broj. Ovaj slučaj odgovara posljednja dva slučaja iz prethodnog popisa.

Kako se izračunavaju rješenja kvadratne jednadžbe??

Za izračunavanje kvadratne jednadžbe koristi se formula poznata kao "rezolver", koja kaže da su rješenja jednadžbe ax² + bx + c = 0 dana izrazom sljedeće slike:

Količina koja se pojavljuje unutar kvadratnog korijena naziva se diskriminantkinja kvadratne jednadžbe i označena je slovom "d"..

Kvadratna jednadžba će imati:

-Dva stvarna rješenja ako i samo ako, d> 0.

-Pravo rješenje se ponavlja ako i samo ako, d = 0.

-Nula stvarnih rješenja (ili dva složena rješenja) ako i samo ako, d<0.

Primjeri:

-Rješenja jednadžbe x² + x-2 = 0 dana su:

-Jednadžba x²-4x + 4 = 0 ima ponavljano rješenje koje se daje pomoću:

-Rješenja jednadžbe x² + 1 = 0 dana su:

Kao što možete vidjeti u ovom posljednjem primjeru, x2 je konjugat od x1.

reference

1. Izvori, A. (2016). OSNOVNA MATEMATIKA. Uvod u izračun. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratne jednadžbe: Kako riješiti kvadratnu jednadžbu. Marilù Garo.
3. Haeussler, E.F. i Paul, R.S. (2003). Matematika za upravu i ekonomiju. Obrazovanje Pearson.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., i Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. prag.
5. Preciado, C. T. (2005). Tečaj matematike 3o. Uređivanje Progreso.
6. Rock, N. M. (2006). Algebra je jednostavna! Tako jednostavno. Tim Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra i trigonometrija. Obrazovanje Pearson.