Polinomske jednadžbe (s riješenim vježbama)

jednadžbe polinoma su izjava koja podiže jednakost dvaju izraza ili članova, pri čemu su barem jedan od izraza koji čine svaku stranu jednakosti polinomi P (x). Te su jednadžbe imenovane prema stupnju njihovih varijabli.

Općenito, jednadžba je tvrdnja koja uspostavlja jednakost dvaju izraza, gdje u barem jednom od njih postoje nepoznate veličine, koje se nazivaju varijabli ili nepoznanice. Iako postoje mnoge vrste jednadžbi, one se općenito dijele na dva tipa: algebarski i transcendentni.

Jednadžbe polinoma sadrže samo algebarske izraze, koji mogu imati jednu ili više nepoznanica uključenih u jednadžbu. Prema eksponentu (stupnju) oni se mogu svrstati u: prvi stupanj (linearni), drugi stupanj (kvadratni), treći stupanj (kubni), četvrti stupanj (kvartik), veći ili jednak pet i iracionalan.

indeks

• 1 Značajke
• 2 Vrste
  • 2.1. Prvi razred
  • 2.2 Drugi stupanj
  • 2.3 Razrjeđivač
  • 2.4 Viši stupanj
• 3 vježbe riješene
  • 3.1 Prva vježba
  • 3.2 Druga vježba
• 4 Reference

značajke

Polinomske jednadžbe su izrazi koje tvore jednakost između dvaju polinoma; to jest, konačnim iznosima množenja između vrijednosti koje su nepoznate (varijable) i fiksnih brojeva (koeficijenata), gdje varijable mogu imati eksponente, a njihova vrijednost može biti pozitivan cijeli broj, uključujući nulu.

Eksponenti određuju stupanj ili vrstu jednadžbe. Taj izraz izraza koji ima najvišu eksponentnu vrijednost predstavlja apsolutni stupanj polinoma.

Polinomske jednadžbe su također poznate kao algebarske jednadžbe, njihovi koeficijenti mogu biti realni ili kompleksni brojevi i varijable su nepoznati brojevi predstavljeni slovom, kao što su: "x".

Ako zamijenimo vrijednost za varijablu "x" u P (x) rezultat je jednak nuli (0), tada se kaže da ta vrijednost zadovoljava jednadžbu (to je rješenje), te se općenito naziva korijenom polinoma.

Kada se razvije polinomska jednadžba, želite pronaći sve korijene ili rješenja.

vrsta

Postoji nekoliko tipova polinomskih jednadžbi koje se razlikuju prema broju varijabli, a također i prema stupnju eksponenta..

Dakle, polinomske jednadžbe - gdje je prvi pojam polinom s samo jednim nepoznatim, s obzirom da njegov stupanj može biti bilo koji prirodni broj (n), a drugi je nula -, mogu se izraziti na sljedeći način:

u_{n *} xⁿ + u_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + u_{0 *} x₀ = 0

gdje je:

- u_n, u_n-1 i a₀, oni su stvarni koeficijenti (brojevi).

- u_n razlikuje se od nule.

- Eksponent n je pozitivan cijeli broj koji predstavlja stupanj jednadžbe.

- x je varijabla ili nepoznanica koja se mora tražiti.

Apsolutni ili veći stupanj polinomske jednadžbe je taj eksponent veće vrijednosti među svim onima koji čine polinom; na taj način, jednadžbe su klasificirane kao:

Prvi razred

Polinomske jednadžbe prvog stupnja, također poznate kao linearne jednadžbe, su one u kojima je stupanj (najveći eksponent) jednak 1, polinom je oblika P (x) = 0; i sastoji se od linearnog termina i nezavisnog izraza. Piše se kako slijedi:

ax + b = 0.

gdje je:

- a i b su realni brojevi i a. 0.

- ax je linearni izraz.

- b je nezavisni izraz.

Primjerice, jednadžba 13x - 18 = 4x.

Za rješavanje linearnih jednadžbi svi pojmovi koji sadrže nepoznato x moraju biti proslijeđeni na jednu stranu jednakosti, a oni koji ih nemaju pomiču se na drugu stranu, kako bi se očistili i dobili rješenje:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18. 9

x = 2.

Na taj način zadana jednadžba ima jedno rješenje ili korijen, koji je x = 2.

Drugi razred

Polinomne jednadžbe drugog stupnja, također poznate i kao kvadratne jednadžbe, su one u kojima je stupanj (najveći eksponent) jednak 2, polinom je oblik P (x) = 0 i sastoji se od kvadratnog pojma , jedan linearni i jedan neovisan. Izražava se kako slijedi:

sjekira² + bx + c = 0.

gdje je:

- a, b i c su realni brojevi i a. 0.

- sjekira² je kvadratni izraz, a "a" je koeficijent kvadratnog izraza.

- bx je linearni izraz, a "b" je koeficijent linearnog izraza.

- c je neovisni pojam.

resolvente

Općenito, rješenje za ovu vrstu jednadžbi daje se čišćenjem x iz jednadžbe, a ostavlja se na sljedeći način, koji se naziva rezolver:

Tamo, (b² - 4ac) naziva se diskriminant jednadžbe i taj izraz određuje broj rješenja koja jednadžba može imati:

- Da (b² - 4ac) = 0, jednadžba će imati jedno rješenje koje je dvostruko; to jest, imat ćete dva jednaka rješenja.

- Da (b² - 4ac)> 0, jednadžba će imati dva različita stvarna rješenja.

- Da (b² - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Na primjer, imate jednadžbu 4x² + 10x - 6 = 0, da bi ga riješili, najprije identificirati pojmove a, b i c, a zatim ga zamijeniti formulom:

a = 4

b = 10

c = -6.

Postoje slučajevi u kojima polinomske jednadžbe drugog stupnja nemaju tri pojma i zato se rješavaju drugačije:

- U slučaju da kvadratne jednadžbe nemaju linearni izraz (tj. B = 0), jednadžba će biti izražena kao sjekira² + c = 0. Da bi ga riješio, očisti se x² i kvadratni korijeni se primjenjuju u svakom članu, sjetivši se da se razmatraju dva moguća znaka da nepoznato može imati:

sjekira² + c = 0.

x² = - c. a

Na primjer, 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ° 5

x = ± .4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- Kada kvadratna jednadžba nema nezavisni izraz (tj. C = 0), jednadžba će biti izražena kao sjekira² + bx = 0. Da bismo ga riješili, moramo izvući zajednički faktor nepoznatog x u prvom članu; budući da je jednadžba jednaka nuli, istina je da će barem jedan od faktora biti jednak 0:

sjekira² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Na taj način morate:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Na primjer: imate jednadžbu 5x² + 30x = 0. Prvi faktor:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Generiraju se dva faktora koji su x i (5x + 30). Smatra se da će jedan od njih biti jednak nuli, a drugo rješenje bit će dano:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ° 5

x₂ = -6.

Glavni stupanj

Polinijalne jednadžbe većeg stupnja su one koje idu od trećeg stupnja nadalje, što se može izraziti ili razriješiti općom polinomnom jednadžbom za bilo koji stupanj:

u_{n *} xⁿ + u_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + u_{0 *} x₀ = 0

To se koristi zato što je jednadžba sa stupnjem većim od dva rezultat faktorizacije polinoma; to jest, izražava se kao množenje polinoma stupnja jedan ili više, ali bez pravih korijena.

Rješenje ove vrste jednadžbi je izravno, jer će množenje dva faktora biti jednako nuli ako je bilo koji od faktora nula (0); dakle, svaka pronađena jednadžba polinoma mora se razriješiti, podudarajući svaki njezin faktor na nulu.

Na primjer, imate jednadžbu trećeg stupnja (kubni) x³ + x² +4x + 4 = 0. Da biste ga riješili, morate slijediti sljedeće korake:

- Pojmovi su grupirani:

x³ + x² +4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- Udovi su razbijeni da bi dobili zajednički faktor nepoznatog:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0.

- Na taj način dobivaju se dva faktora, koji moraju biti jednaki nuli:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Može se vidjeti da je faktor (x² + 4) = 0 neće imati pravo rješenje, dok je faktor (x + 1) = 0 da. Stoga je rješenje:

(x + 1) = 0

x = -1.

Riješene vježbe

Riješite sljedeće jednadžbe:

Prva vježba

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0.

otopina

U ovom slučaju jednadžba se izražava kao množenje polinoma; to jest, on je faktoriziran. Da bi ga riješio, svaki čimbenik mora biti jednak nuli:

- 2x² + 5 = 0, nema rješenja.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Dakle, zadana jednadžba ima dva rješenja: x = 3 i x = -1.

Druga vježba

x⁴ - 36 = 0.

otopina

Dobio je polinom, koji se može prepisati kao razlika kvadrata kako bi se došlo do bržeg rješenja. Dakle, jednadžba ostaje:

(x² + 6)_*(x² - 6) = 0.

Kako bi pronašli rješenje jednadžbi, oba faktora su jednaka nuli:

(x² + 6) = 0, nema rješenja.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ± .6.

Dakle, početna jednadžba ima dva rješenja:

x = .6.

x = - .6.

reference

1. Andres, T. (2010). Matematička olimpijada. Springer. New York.
2. Angel, A.R. (2007). Elementarna algebra Obrazovanje Pearson,.
3. Baer, ​​R. (2012). Linearna algebra i projekcijska geometrija. Courier Corporation.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultura.
5. Castaño, H.F. (2005). Matematika prije izračuna. Sveučilište u Medellinu.
6. Cristóbal Sánchez, M. R. (2000). Matematički priručnik za olimpijske pripreme. Universitat Jaume I.
7. Kreemly Pérez, M. L. (1984). Superiorna algebra I.
8. Massara, N.C.-L. (1995). Matematika 3.