Metode i primjeri faktorizacije

razlaganje na proste činioce je metoda kojom se polinom izražava u obliku množenja čimbenika, koji mogu biti brojevi, slova ili oboje. Faktorizirati čimbenike koji su zajednički pojmovima grupirani, i na taj način polinom se dekomponira na nekoliko polinoma.

Dakle, kada se faktori međusobno množe, rezultat je izvorni polinom. Faktoring je vrlo korisna metoda kada imate algebarske izraze, jer se može pretvoriti u množenje nekoliko jednostavnih pojmova; Na primjer: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b).

Postoje slučajevi u kojima se polinom ne može faktorizirati jer ne postoji zajednički faktor između njegovih pojmova; dakle, ovi algebarski izrazi djeljivi su samo između sebe i za 1. Na primjer: x + y + z.

U algebarskom izrazu zajednički je faktor najveći zajednički djelitelj pojmova koji ga čine.

indeks

• 1 Metode faktoringa
  • 1.1 Faktoring po zajedničkom faktoru
  • 1.2 Primjer 1
  • 1.3 Primjer 2
  • 1.4 Faktoring prema grupiranju
  • 1.5 Primjer 1
  • 1.6 Faktoring putem inspekcije
  • 1.7 Primjer 1
  • 1.8 Primjer 2
  • 1.9 Faktoring s izvanrednim proizvodima
  • 1.10 Primjer 1
  • 1.11 Primjer 2
  • 1.12 Primjer 3
  • 1.13 Faktoring s Ruffinijevim pravilom
  • Primjer 1
• 2 Reference

Faktoring metode

Postoji nekoliko metoda faktoringa, koje se primjenjuju ovisno o slučaju. Neke od njih su sljedeće:

Faktoring po zajedničkom faktoru

U ovoj metodi, identificirani su oni čimbenici koji su uobičajeni; to jest, one koje se ponavljaju u izrazima izraza. Zatim se primjenjuje distributivno svojstvo, uklanja se maksimalni zajednički djelitelj i završava faktorizacija.

Drugim riječima, identificiran je zajednički faktor izražavanja i svaki je pojam podijeljen između njega; rezultirajući izrazi će se pomnožiti s najvećim zajedničkim faktorom za izražavanje faktorizacije.

Primjer 1

Faktor (b²x) + (b²y).

otopina

Prvo postoji zajednički faktor svakog pojma, koji je u ovom slučaju b², i onda se pojmovi dijele na zajednički faktor kako slijedi:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

Faktorizacija se izražava množenjem zajedničkog faktora s rezultirajućim izrazima:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y).

Primjer 2

Factorize (2a)²b³) + (3ab²).

otopina

U ovom slučaju imamo dva faktora koji se ponavljaju u svakom pojmu koji su "a" i "b", i koji su povišeni na moć. Da bi ih se faktoriziralo, prvo se dva termina raščlanjuju na njihov dugačak oblik:

2_*u_*u_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

Može se primijetiti da se faktor "a" ponavlja samo jednom u drugom terminu, a faktor "b" se u njemu ponavlja dva puta; tako da u prvom terminu postoji samo 2, faktor "a" i "b"; dok je u drugom po redu samo 3.

Stoga pišemo vremena koja se "a" i "b" ponavljaju i množe s faktorima koji ostaju iz svakog pojma, kao što se vidi na slici:

Faktorizacija grupiranjem

Budući da nije u svim slučajevima jasno izražen maksimalni zajednički djelitelj polinoma, potrebno je napraviti i druge korake kako bismo mogli ponovno napisati polinom i time čimbenik.

Jedan od tih koraka je grupirati pojmove polinoma u nekoliko skupina, a zatim koristiti metodu zajedničkog faktora.

Primjer 1

Faktor ac + bc + ad + bd.

otopina

Postoje 4 faktora gdje su dva uobičajena: u prvom terminu je "c", au drugom je "d". Na taj se način dva pojma grupiraju i razdvajaju:

(ac + bc) + (oglas + bd).

Sada je moguće primijeniti metodu zajedničkog faktora, dijeleći svaki pojam njegovim zajedničkim faktorom, a zatim množenjem tog zajedničkog faktora s rezultirajućim izrazima, kao što je ovaj:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Sada dobivate binomij koji je zajednički za oba termina. Faktor se množi s preostalim čimbenicima; na taj način morate:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b).

Faktorizacija inspekcijom

Ova metoda se koristi za izračunavanje kvadratnih polinoma, koji se također nazivaju trinomijama; to jest, oni koji su strukturirani kao sjekira² ± bx + c, gdje je vrijednost "a" različita od 1. Ova metoda se također koristi kada trinomij ima oblik x² ± bx + c i vrijednost "a" = 1.

Primjer 1

Faktor x² + 5x + 6.

otopina

Imate kvadratni trinomij oblika x² ± bx + c. Prvo morate navesti dva broja koja, kada se množe, daju rezultat "c" (to jest, 6) i da je njegova suma jednaka koeficijentu "b", što je 5. Ti brojevi su 2 i 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Na taj način izraz je pojednostavljen ovako:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Svaki je pojam uračunat:

- Za (x² + 2x) izvlači se zajednički naziv: x (x + 2)

- Za (3x + 6) = 3 (x + 2)

Dakle, izraz ostaje:

x (x +2) + 3 (x +2).

Budući da imate zajednički binomni, da biste smanjili izraz, pomnožite ga s izrazima viška i morate:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Primjer 2

Faktor 4a² + 12a + 9 = 0.

otopina

Imate kvadratni trinomij oblika sjekira² ± bx + c i faktor je da se svi izrazi množe s koeficijentom x²; u ovom slučaju, 4.

4.² + 12a +9 = 0

4.² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² u² + 12a (4) + 36 = 0

Sada moramo pronaći dva broja koji, kada se množe zajedno, daju kao rezultat vrijednost "c" (koja je 36) i kada se zbroje rezultira u koeficijentu izraza "a", koji je 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Na taj je način izraz ponovno napisan, uzimajući u obzir to² u² = 4a _* 4A. Stoga se distribucijsko vlasništvo primjenjuje za svaki pojam:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Konačno, izraz je podijeljen s koeficijentom²; to jest, 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Izraz je sljedeći:

4.² + 12a +9 = (2a + 3) _* (2a + 3).

Faktoring s izvanrednim proizvodima

Postoje slučajevi u kojima, da bi se polinomi u potpunosti faktorizirali s prethodnim metodama, on postaje vrlo dug proces.

Zbog toga se izraz može razviti formulama izvanrednih proizvoda i tako proces postaje jednostavniji. Među najčešće korištenim značajnim proizvodima su:

- Razlika između dva kvadrata: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Savršen kvadrat zbroja: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Savršen kvadrat razlike: a² - 2ab + b² = (a - b)²

- Razlika od dvije kocke: a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

- Zbroj dvije kocke: a³ - b³ = (a + b) _* (a² - ab + b²)

Primjer 1

Faktor (5² - x²)

otopina

U ovom slučaju postoji razlika od dva kvadrata; stoga se primjenjuje formula izuzetnog proizvoda:

(a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

Primjer 2

Faktor 16x² + 40x + 25²

otopina

U ovom slučaju imamo savršen kvadrat suma, jer možemo identificirati dva izraza na kvadrat, a preostali izraz je rezultat množenja dva po kvadratnom korijenu prvog pojma, kvadratnim korijenom drugog pojma.

u² + 2ab + b² = (a + b)²

Za faktor se izračunavaju samo kvadratni korijeni prvog i trećeg pojma:

16 (16x²) = 4x

. (25%)²) = 5.

Tada su dva ishodna izraza odvojena znakom operacije, a cijeli polinom kvadratičan:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Primjer 3

Faktor 27a³ - b³

otopina

Izraz predstavlja oduzimanje u kojem su dva faktora podignuta do kocke. Da bi ih se faktoriziralo, primjenjuje se formula značajnog proizvoda razlike kocke, a to je:

u³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

Dakle, za faktoriziranje, kubni korijen svakog termina binomnog dijela je pomnožen s kvadratom prvog termina, plus proizvod prvog po drugom pojmu, plus drugi pojam za kvadrat.

27.³ - b³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27.³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27.³ - b³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Faktoring s Ruffinijevim pravilom

Ova metoda se koristi kada imate polinom stupnja većeg od dva, kako bi pojednostavili izraz za nekoliko polinoma manjeg stupnja..

Primjer 1

Faktor Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

otopina

Prvo potražite brojeve koji su djelitelji 12, što je neovisni termin; to su ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 i ± 12.

Tada se x zamjenjuje tim vrijednostima, od najnižeg do najvi eg, i tako se odre | uje s kojom e vrijednosti podjela biti to ~ na; to jest, ostatak mora biti 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8. 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

I tako dalje za svaki djelitelj. U ovom slučaju pronađeni faktori su za x = -1 i x = 2.

Sada je primijenjena Ruffinijeva metoda prema kojoj će koeficijenti izraza biti podijeljeni između faktora koji su pronađeni za točnu podjelu. Polinomski izrazi su poredani od najviše do najniže eksponente; u slučaju da nedostaje pojam sa stupnjem koji slijedi u nizu, na njegovo mjesto stavlja se 0.

Koeficijenti se nalaze u shemi kako se vidi na sljedećoj slici.

Prvi koeficijent se spušta i množi s djeliteljem. U ovom slučaju, prvi djelitelj je -1, a rezultat se stavlja u sljedeći stupac. Tada se vrijednost koeficijenta dodaje okomito s tim dobivenim rezultatom i rezultat se stavlja ispod. Na taj se način proces ponavlja do posljednjeg stupca.

Zatim se isti postupak ponavlja, ali s drugim djeliteljem (koji je 2) jer se izraz još uvijek može pojednostaviti.

Dakle, za svaki dobiveni korijen polinom će imati pojam (x - a), gdje je "a" vrijednost korijena:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

S druge strane, ti se uvjeti moraju množiti ostatkom Ruffinijevog pravila 1: 1 i -6, koji su faktori koji predstavljaju ocjenu. Na taj se način formira izraz: (x² + x - 6).

Dobivanje rezultata faktorizacije polinoma po Ruffinijevoj metodi je:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

Za završetak, polinom stupnja 2 koji se pojavljuje u prethodnom izrazu može se prepisati kao (x + 3) (x-2). Stoga je konačna faktorizacija:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(X-2).

reference

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Obrazovanje Pearson.
2. J, V. (2014). Kako podučiti djecu o faktoringu do polinoma.
3. Manuel Morillo, A.S. (s.f.). Osnovna matematika s aplikacijama.
4. Roelse, P.L. (1997). Linearne metode za polinamsku faktorizaciju preko konačnih polja: teorija i implementacije. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Prsteni i faktorizacija.