Homothety svojstva, tipovi i primjeri

homotecia je geometrijska promjena u ravnini gdje se, iz fiksne točke nazvane središte (O), udaljenosti množe zajedničkim faktorom. Na taj način svaka točka P odgovara drugoj točki P 'produkta transformacije, a oni su poravnati s točkom O.

Tada je homoteja korespondencija između dviju geometrijskih figura, gdje se transformirane točke nazivaju homotetskim, a one su poravnate s fiksnom točkom i sa segmentima paralelnim jedan s drugim..

indeks

• 1 Homotecia
• 2 Svojstva
• 3 Vrste
  • 3.1 Izravna homotetija
  • 3.2 Obrnuta homotetija
• 4 Sastav
• 5 Primjeri
  • 5.1 Prvi primjer
  • 5.2 Drugi primjer
• 6 Reference

homotecia

Homotetija je transformacija koja nema kongruentnu sliku, jer će se iz slike dobiti jedna ili više figura veće ili manje veličine od originalne figure; to jest, da homothety transformira poligon u drugi sličan.

Da bi homoteja koju treba ispuniti moraju odgovarati točku do točke i ravno do ravne, tako da su parovi homolognih točaka poravnani s trećom fiksnom točkom, koja je središte homothety.

Isto tako, parovi pravaca koji ih spajaju moraju biti paralelni. Odnos između takvih segmenata je konstanta nazvana omjerom homothety (k); na takav način da se homothety može definirati kao:

Da biste napravili ovu vrstu transformacije, počnite odabirom proizvoljne točke, koja će biti središte homothety.

Od ove točke, crte se segmenti crtaju za svaku točku figure koja se treba transformirati. Ljestvica u kojoj se reproducira nova figura daje se pomoću razloga homothety (k).

nekretnine

Jedno od glavnih svojstava homothety je da, zbog homothety (k), sve homothetic figure su slične. Među ostalim izvanrednim svojstvima su:

- Središte homothety (O) je jedina dvostruka točka i ona se pretvara u sebe; to jest, ne mijenja se.

- Linije koje prolaze kroz centar transformiraju se (one su dvostruke), ali točke koje ga tvore nisu dvostruke.

- Ravnice koje ne prolaze kroz centar pretvaraju se u paralelne linije; na taj način, kutovi homotetije ostaju isti.

- Slika segmenta homotetijom centra O i omjera k, je segment paralelan ovom i ima k puta svoju duljinu. Na primjer, kao što se vidi na sljedećoj slici, segment AB po homotetici će rezultirati drugim segmentom A'B ', tako da će AB biti paralelan s A'B' i k će biti:

- Homotetički kutovi su podudarni; to jest, imaju istu mjeru. Stoga je slika kuta kut koji ima istu amplitudu.

S druge strane, homotetija varira ovisno o vrijednosti njegovog omjera (k), i mogu se pojaviti sljedeći slučajevi:

- Ako je konstanta k = 1, sve točke su fiksne jer se same transformiraju. Dakle, homotetska figura podudara se s originalom, a transformacija će se zvati funkcija identiteta.

- Ako je k, 1, jedina fiksna točka bit će središte homothety (O).

- Ako je k = -1, homotetija postaje središnja simetrija (C); to jest, rotacija oko C će se dogoditi pod kutom od 180^ili.

- Ako je k> 1, veličina transformirane figure će biti veća od veličine originala.

- Da 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Da -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Ako je k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

vrsta

Homothety se također može svrstati u dvije vrste, ovisno o vrijednosti njegovog omjera (k):

Izravna homothety

To se događa ako je konstanta k> 0; to jest, homotetske točke su na istoj strani u odnosu na centar:

Faktor proporcionalnosti ili omjer sličnosti između izravnih homotetskih figura uvijek će biti pozitivan.

Obrnut homotetski

To se događa ako je konstanta k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Faktor proporcionalnosti ili omjer sličnosti između homotetskih inverznih figura uvijek će biti negativan.

sastav

Kada se nekoliko pokreta izvodi sukcesivno sve dok se ne dobije lik jednak izvorniku, pojavljuje se sastav pokreta. Sastav nekoliko pokreta također je pokret.

Sastav između dvije homotelije rezultira u novoj homoteci; to jest, imamo homotetski proizvod u kojem će središte biti poravnato sa središtem dviju izvornih transformacija, a omjer (k) je proizvod dvaju razloga..

Dakle, u sastavu dva H homoteca₁(O₁, k₁i H₂(O₂, k₂), množenjem vaših razloga: k₁ x k₂ = 1 rezultirat će homotetijom omjera k₃ = K₁ x k₂. Središte ove nove homothety (O₃) će se nalaziti na O ravno₁ O₂.

Homotelija odgovara ravnoj i nepovratnoj promjeni; ako se primijene dvije homotece koje imaju isti centar i omjer, ali s drugačijim znakom, dobiva se izvorna brojka.

Primjeri

Prvi primjer

Primijeniti homothety na dani centar poligon (O), koji se nalazi 5 cm od točke A i čiji je omjer k = 0.7.

otopina

Bilo koja točka je izabrana kao središte homothety, a iz ove zrake su nacrtani od strane vertices of figure:

Udaljenost od središta (O) do točke A je OA = 5; s tim možete odrediti udaljenost jedne od homotetskih točaka (OA ') znajući također da je k = 0,7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Proces se može obaviti za svaki vrh, ili možete nacrtati homotetski poligon koji pamti da dva poligona imaju paralelne strane:

Konačno, transformacija izgleda ovako:

Drugi primjer

Primijeniti homothety na dati centar poligon (O), koji se nalazi na 8,5 cm od točke C i čiji y omjer k = -2.

otopina

Udaljenost od središta (O) do točke C je OC = 8,5; s tim podacima moguće je odrediti udaljenost jedne od homotetičkih točaka (OC '), znajući također da je k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Nakon crtanja segmenata vrhova transformiranog poligona, imamo početne točke i njihove homotetike smještene u suprotnim krajevima u odnosu na središte:

reference

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tehničko crtanje: bilježnica aktivnosti.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, J.L. (2002). Afinitet, homologija i homotetija.
3. Baer, ​​R. (2012). Linearna algebra i projekcijska geometrija. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Opća matematika, vjerojatnosti i statistika.
5. Meserve, B.E. (2014). Temeljni koncepti geometrije. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Uvod u algebru. Reverte.