Tehnike i primjeri brojanja na principu množenja



multiplikativno načelo je tehnika koja se koristi za rješavanje problema brojanja kako bi se pronašlo rješenje bez potrebe za popisom njegovih elemenata. Također je poznat kao temeljno načelo kombinatorne analize; temelji se na uzastopnom množenju kako bi se odredilo kako se događaj može dogoditi.

Ovo načelo utvrđuje da, ako odluka (d1) može se donijeti na n načina i drugom odlukom (d2) može se uzeti u m način, ukupan broj načina na koje se mogu donositi odluke1 i d2 će biti jednako množenju n * m. Prema tom principu, svaka se odluka donosi jedan za drugim: broj načina = N1 * N2... * Nx načine.

indeks

  • 1 Primjeri
    • Primjer 1
    • 1.2 Primjer 2
  • 2 Tehnike prebrojavanja
    • 2.1 Načelo dodavanja
    • 2.2 Načelo permutacije
    • 2.3 Načelo kombinacije
  • 3 vježbe riješene
    • 3.1 Vježba 1
    • 3.2 Vježba 2
  • 4 Reference

Primjeri

Primjer 1

Paula planira ići u kino sa svojim prijateljima, a kako bi odabrala odjeću koju će nositi, odvojim 3 bluze i 2 suknje. Koliko se načina Paula može oblačiti??

otopina

U ovom slučaju, Paula mora donijeti dvije odluke:

d1 = Odaberite između 3 bluze = n

d2 = Odaberite između 2 suknje = m

Tako Paula ima n * m odluke za izradu ili različite načine oblačenja.

n * m = 3* 2 = 6 odluka.

Multiplikativno načelo dolazi iz tehnike dijagrama stabla, što je dijagram koji povezuje sve moguće rezultate, tako da se svaki može pojaviti konačan broj puta..

Primjer 2

Mario je bio jako žedan, pa je otišao u pekaru kupiti sok. Luis mu odgovori i kaže mu da ima dvije veličine: velike i male; i četiri okusa: jabuka, naranča, limun i grožđe. Koliko načina Mario može odabrati sok?

otopina

U dijagramu se može uočiti da Mario ima 8 različitih načina za odabir soka i da je, kao u multiplikativnom principu, ovaj rezultat dobiven množenjem n.*m. Jedina razlika je u tome što kroz ovaj dijagram možete znati kako se odabire način na koji Mario odabire sok.

S druge strane, kada je broj mogućih rezultata vrlo velik, praktičnije je koristiti multiplikativno načelo.

Tehnike brojanja

Tehnike brojanja su metode koje se rabe za izravno prebrojavanje i stoga znaju broj mogućih aranžmana koje elementi određenog skupa mogu imati. Te se tehnike temelje na nekoliko načela:

Načelo dodavanja

Ovo načelo kaže da, ako se dva događaja m i n ne mogu pojaviti u isto vrijeme, broj načina na koje se prvi ili drugi događaj može dogoditi bit će zbroj m + n:

Broj oblika = m + n ... + x različitih oblika.

primjer

Antonio želi otići na izlet, ali ne odlučuje na koje odredište; u turističkoj agenciji South nude vam promociju za putovanje u New York ili Las Vegas, dok turistička agencija East preporučuje da putujete u Francusku, Italiju ili Španjolsku. Koliko različitih alternativa putovanja nudi Antonio?

otopina

Sa Južnom turističkom agencijom Antonio ima 2 alternative (New York ili Las Vegas), dok s East Tourism Agency ima 3 opcije (Francuska, Italija ili Španjolska). Broj različitih alternativa je:

Broj alternativa = m + n = 2 + 3 = 5 alternativa.

Princip permutacije

Riječ je o naručivanju konkretno svih ili nekih elemenata koji čine skup, kako bi se olakšalo brojanje svih mogućih aranžmana koji se mogu napraviti s elementima.

Broj permutacija n različitih elemenata, uzetih odjednom, predstavljen je kao:

nPn = n!

primjer

Četiri prijatelja žele snimiti fotografiju i žele znati koliko različitih oblika može biti naručeno.

otopina

Želite znati skup svih mogućih načina na koje se može smjestiti 4 osobe kako bi snimili sliku. Dakle, morate:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 različitih načina.

Ako se broj permutacija n dostupnih elemenata uzima za dijelove skupa koji su formirani od r elemenata, on je predstavljen kao:

nPr = n! N (n - r)!

primjer

U učionici ima 10 mjesta. Ako 4 učenika pohađaju nastavu, na koliko različitih načina učenici mogu zauzeti ta radna mjesta?

otopina

Ukupan broj setova stolica je 10, od kojih će se koristiti samo četiri, a zadana formula se primjenjuje za određivanje broja permutacija:

nPr = n! N (n - r)!

10P4 = 10! 10 (10 - 4)!

10P4 = 10! . 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1. 6*5*4*3*2*1 = 5040 načina popunjavanja postova.

Postoje slučajevi u kojima se neki od dostupnih elemenata skupa ponavljaju (isti su). Za izračun broja aranžmana koji uzimaju sve elemente odjednom, koristi se sljedeća formula:

nPr = n! . N1!* n2!... nr!

primjer

Koliko se riječi od četiri slova može oblikovati iz riječi "vuk"?

otopina

U ovom slučaju imamo 4 elementa (slova) od kojih su dva identična. Primjenjujući navedenu formulu, znamo koliko je različitih riječi:

nPr = n! . N1!* n2!... nr!

4P2, 1.1 = 4! . 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 = 2 = 12 različitih riječi.

Načelo kombinacije

Radi se o fiksiranju svih ili nekih elemenata koji čine skup bez određenog reda. Na primjer, ako imate XYZ niz, bit će identičan ZXY, YZX, ZYX nizovima, između ostalog; to je zato što, unatoč tome što nisu u istom poretku, elementi svakog aranžmana su isti.

Kada su uzeti neki elementi (r) skupa (n), načelo kombinacije je dano sljedećom formulom:

nCr = n! N (n - r)! R!

primjer

U trgovini prodaju 5 različitih vrsta čokolade. Koliko različitih načina možete odabrati 4 čokolade?

otopina

U tom slučaju morate odabrati 4 čokolade od 5 vrsta koje se prodaju u trgovini. Redoslijed kojim su odabrani nije važan, a osim toga, vrsta čokolade može se birati više od dva puta. Primjenjujući formulu, morate:

nCr = n! N (n - r)! R!

5C4 = 5! 5 (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ) (1)!!

5C4 = 5*4*3*2*1. 4*3*2*1

5C4 = 120 = 24 = 5 različitih načina za odabir 4 čokolade.

Kada se uzmu svi elementi (r) skupa (n), načelo kombinacije daje se sljedećom formulom:

nCn = n!

Riješene vježbe

Vježba 1

Imate bejzbolski tim sa 14 članova. Na koliko načina možete dodijeliti 5 pozicija za igru?

otopina

Skup se sastoji od 14 elemenata i želite dodijeliti 5 specifičnih pozicija; to jest, taj red je važan. Primjenjuje se permutacijska formula gdje su n raspoloživih elemenata preuzete od dijelova skupa koje je formirao r.

nPr = n! N (n - r)!

Gdje je n = 14 i r = 5. Zamjenjuje se formulom:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! (9)!

14P5 = 240 240 načina dodjeljivanja 9 pozicija u igri.

Vježba 2

Ako 9-članska obitelj ode na putovanje i kupi ulaznice s uzastopnim sjedištima, koliko različitih načina može sjediti?

otopina

Radi se o 9 elemenata koji će zauzeti 9 mjesta zaredom.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 različitih načina sjedenja.

reference

  1. Hopkins, B. (2009). Resursi za podučavanje diskretne matematike: projekti u učionici, povijesni moduli i članci.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskretna matematika Obrazovanje Pearson,.
  3. Lutfiyya, L.A. (2012). Rješenje problema konačnih i diskretnih problema. Urednici Udruge za istraživanje i obrazovanje.
  4. Padro, F.C. (2001). Diskretna matematika Politec. Catalunya.
  5. Steiner, E. (2005). Matematika za primijenjene znanosti. Reverte.