Koje su to simultane jednadžbe? (s riješenim vježbama)



simultane jednadžbe su one jednadžbe koje moraju biti ispunjene u isto vrijeme. Stoga, da bismo imali istovremene jednadžbe, moramo imati više od jedne jednadžbe.

Kada imate dvije ili više različitih jednadžbi, koje moraju imati isto rješenje (ili ista rješenja), kažete da imate sustav jednadžbi ili kažete da imate simultane jednadžbe..

Kada imate istovremene jednadžbe, može se dogoditi da nemaju zajednička rješenja ili imaju konačnu količinu ili da imaju beskonačnu količinu.

Simultane jednadžbe

S obzirom na dvije različite jednadžbe Eq1 i Eq2, imamo da se sustav tih dviju jednadžbi naziva simultanim jednadžbama.

Istovremene jednadžbe ispunjavaju da ako je S rješenje Eq1, onda je S također rješenje jednadžbe 2 i obrnuto

značajke

Kada je riječ o sustavu istovremenih jednadžbi, možete imati 2 jednadžbe, 3 jednadžbe ili N jednadžbe.

Najčešće metode koje se koriste za rješavanje istodobnih jednadžbi su: zamjena, izjednačavanje i smanjenje. Postoji i druga metoda nazvana Cramer-ovo pravilo, koja je vrlo korisna za sustave s više od dvije simultane jednadžbe.

Primjer istovremenih jednadžbi je sustav

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Može se primijetiti da je x = 0, y = 2 rješenje jednadžbe, ali to nije rješenje jednadžbe.

Jedino zajedničko rješenje koje obje jednadžbe imaju je x = 1, y = 1. To jest, x = 1, y = 1 je rješenje sustava istovremenih jednadžbi.

Riješene vježbe

Zatim nastavljamo rješavati sustav istovremenih jednadžbi prikazanih gore, kroz tri navedene metode.

Prva vježba

Riješite sustav jednadžbi Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 pomoću metode supstitucije.

otopina

Metoda supstitucije sastoji se u čišćenju jedne od nepoznanica jedne od jednadžbi i zamjenom u drugoj jednadžbi. U ovom konkretnom slučaju možete izbrisati "y" iz Eq1 i dobijete da je y = 2-x.

Prilikom zamjene ove vrijednosti "y" u Eq2, dobiva se da je 2x- (2-x) = 1. Dakle, dobivamo da je 3x-2 = 1, to jest, x = 1.

Zatim, budući da je vrijednost x poznata, ona je zamijenjena u "y" i dobiveno je y = 2-1 = 1.

Stoga je jedino rješenje sustava simultanih jednadžbi Eq1 i Eq2 x = 1, y = 1.

Druga vježba

Riješite sustav jednadžbi Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 pomoću metode izjednačavanja.

otopina

Metoda izjednačavanja sastoji se od brisanja istog pitanja iz obje jednadžbe i izjednačavanja dobivenih jednadžbi.

Uklanjanjem "x" iz obje jednadžbe dobijamo da je x = 2-y i da je x = (1 + y) / 2. Sada, te dvije jednadžbe su izjednačene i dobivamo da je 2-y = (1 + y) / 2, gdje se ispostavilo da 4-2y = 1 + y.

Grupiranje nepoznatog "y" na istoj strani rezultira y = 1. Sada kada znate "i" nastavite pronaći vrijednost "x". Kod zamjene y = 1 dobivamo da je x = 2-1 = 1.

Stoga je zajedničko rješenje između jednadžbi Eq1 i Eq2 x = 1, y = 1.

Treća vježba

Riješite sustav jednadžbi Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 pomoću metode redukcije.

otopina

Metoda redukcije sastoji se od množenja jednadžbi dobivenih odgovarajućim koeficijentima, tako da se pri dodavanju tih jednadžbi jedna od varijabli otkazuje.

U ovom konkretnom primjeru, ne trebate množiti bilo koju jednadžbu bilo kojim koeficijentom, samo ih dodajte zajedno. Prilikom dodavanja Eq1 plus Eq2 dobivamo da je 3x = 3, iz kojega dobijemo da je x = 1.

Prilikom ocjenjivanja x = 1 u Eq1 dobivamo da je 1 + y = 2, iz kojeg se ispada da y = 1.

Stoga je x = 1, y = 1 jedino rješenje istovremenih jednadžbi Eq1 i Eq2.

Četvrta vježba

Riješite sustav istovremenih jednadžbi Eq1: 2x-3y = 8 i Eq2: 4x-3y = 12.

otopina

Ova vježba ne zahtijeva nikakvu posebnu metodu, stoga možete primijeniti metodu koja je najudobnija za svakog čitatelja.

U tom slučaju koristit će se metoda redukcije. Množenje Eq1 za -2 daje jednadžbu E3: -4x + 6y = -16. Sada, dodavanje Eq3 i Eq2 daje 3y = -4, dakle y = -4 / 3.

Sada, kada se procjenjuje y = -4 / 3 u Eq1, dobivamo 2x-3 (-4/3) = 8, gdje je 2x + 4 = 8, dakle, x = 2.

U zaključku, jedino rješenje sustava istovremenih jednadžbi Eq1 i Eq2 je x = 2, y = -4 / 3.

zapažanje

Metode opisane u ovom članku mogu se primijeniti na sustave s više od dvije simultane jednadžbe.

Što je više jednadžbi i više nepoznanica, postupak za rješavanje sustava je složeniji.

Svaka metoda rješavanja sustava jednadžbi daje ista rješenja, tj. Rješenja ne ovise o primijenjenoj metodi.

reference

  1. Izvori, A. (2016). OSNOVNA MATEMATIKA. Uvod u izračun. Lulu.com.
  2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratne jednadžbe: Kako riješiti kvadratnu jednadžbu. Marilù Garo.
  3. Haeussler, E.F. i Paul, R.S. (2003). Matematika za upravu i ekonomiju. Obrazovanje Pearson.
  4. Jiménez, J., Rofríguez, M., i Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. prag.
  5. Preciado, C. T. (2005). Tečaj matematike 3o. Uređivanje Progreso.
  6. Rock, N. M. (2006). Algebra je jednostavna! Tako jednostavno. Tim Rock Press.
  7. Sullivan, J. (2006). Algebra i trigonometrija. Obrazovanje Pearson.