Što su Trigonometrijske granice? (s riješenim vježbama)

trigonometrijska ograničenja oni su granice funkcija tako da ove funkcije tvore trigonometrijske funkcije.

Postoje dvije definicije koje moraju biti poznate kako bi se razumjelo kako se izvodi izračun trigonometrijske granice.

Te su definicije:

- Ograničenje funkcije "f" kada "x" teži na "b": sastoji se u izračunavanju vrijednosti kojoj f (x) prilazi kako se "x" približava "b", bez postizanja "b".

- Trigonometrijske funkcije: trigonometrijske funkcije su sinusne, kosinusne i tangentne funkcije, označene sin (x), cos (x) i tan (x), odnosno.

Ostale trigonometrijske funkcije dobivaju se iz tri gore navedene funkcije.

Granice funkcija

Da bismo razjasnili koncept ograničenja funkcije, nastavit ćemo prikazivati ​​neke primjere s jednostavnim funkcijama.

- Granica f (x) = 3 kada je "x" sklon "8" jednak je "3", jer je funkcija uvijek konstantna. Bez obzira koliko vrijedi "x", vrijednost f (x) uvijek će biti "3".

- Granica f (x) = x-2 kada je "x" sklon "6" je "4". Otkad se "x" približava "6", onda se "x-2" približava "6-2 = 4".

- Granica g (x) = x² kada je "x" sklon "3" jednak je 9, jer kada se "x" približava "3", onda se "x²" približava "3² = 9".

Kao što se može vidjeti iz prethodnih primjera, izračunavanje ograničenja sastoji se od vrednovanja vrijednosti kojoj "x" teži u funkciji, a rezultat će biti vrijednost granice, iako je to točno samo za kontinuirane funkcije..

Postoje li složenija ograničenja?

Odgovor je da. Gornji primjeri su najjednostavniji primjeri ograničenja. U knjigama izračuna, glavne granične vježbe su one koje generiraju neodređenost tipa 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * (, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 i (∞) ^ 0.

Ovi izrazi nazivaju se neodređenosti jer su izrazi koji matematički nemaju smisla.

Osim toga, ovisno o funkcijama uključenim u izvornu granicu, rezultat dobiven u rješavanju neodređenosti može biti različit u svakom slučaju.

Primjeri jednostavnih trigonometrijskih ograničenja

Za rješavanje ograničenja, uvijek je vrlo korisno znati grafove uključenih funkcija. Ispod su grafikoni sinusnih, kosinusnih i tangentnih funkcija.

Neki primjeri jednostavnih trigonometrijskih ograničenja su:

- Izračunajte granicu sin (x) kada "x" teži "0".

Kada gledate grafikon možete vidjeti da ako se "x" približava "0" (i lijevo i desno), onda se sinusni graf također približava "0". Prema tome, granica sin (x) kada "x" teži "0" je "0".

- Izračunajte granicu cos (x) kada "x" teži "0".

Promatrajući kosinusni grafikon, može se vidjeti da kada je "x" blizu "0", onda je kosinusni grafikon blizu "1". To znači da je granica cos (x) kada "x" teži "0" jednaka "1".

Granica može postojati (biti broj), kao u prethodnim primjerima, ali se također može dogoditi da ona ne postoji kako je prikazano u sljedećem primjeru..

- Granica tan (x) kada je "x" sklon "2/2" na lijevoj strani je jednak "+ ∞", kao što se može vidjeti na grafikonu. S druge strane, granica tan (x) kada je "x" sklon "-Π / 2" na desnoj strani je jednak "-∞".

Identiteti trigonometrijskih granica

Dva vrlo korisna identiteta pri izračunavanju trigonometrijskih ograničenja su:

- Granica "sin (x) / x" kada "x" teži "0" jednaka je "1".

- Granica "(1-cos (x)) / x" kada "x" teži "0" jednaka je "0".

Ovi se identiteti vrlo često koriste kada imate neku vrstu neodređenosti.

Riješene vježbe

Riješite sljedeće granice koristeći gore opisane identitete.

- Izračunajte granicu "f (x) = sin (3x) / x" kada "x" teži "0".

Ako se funkcija "f" vrednuje u "0", dobivat će se neodređena vrsta 0/0. Stoga, moramo pokušati riješiti ovu neodređenost koristeći opisane identitete.

Jedina razlika između ovog ograničenja i identiteta je broj 3 koji se pojavljuje unutar sinusne funkcije. Kako bi se primijenio identitet, funkcija "f (x)" mora biti ponovno napisana na sljedeći način "3 * (sin (3x) / 3x)". Sada su i argument sinusa i nazivnik jednaki.

Dakle, kada "x" teži "0", koristeći rezultate identiteta u "3 * 1 = 3". Stoga je granica f (x) kada je "x" sklon "0" jednak "3".

- Izračunajte granicu "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" kada "x" teži "0".

Kada je "x = 0" zamijenjeno u g (x), dobiva se neodređenost tipa ∞-∞. Da bi se to riješilo, frakcije su oduzete, što daje rezultat "(1-cos (x)) / x".

Sada, kada primjenjujemo drugi trigonometrijski identitet, imamo granicu od g (x) kada je "x" sklon "0" jednak 0.

- Izračunajte granicu "h (x) = 4tan (5x) / 5x" kada "x" teži "0".

Opet, ako procijenite h (x) na "0", dobit ćete neodređenu vrstu 0/0.

Prepisivanje tan (5x) kao sin (5x) / cos (5x) rezultata da je h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Koristeći granicu od 4 / cos (x) kada je "x" sklon "0" jednak je "4/1 = 4" i dobiven je prvi trigonometrijski identitet da je granica od h (x) kada je "x" "0" je jednako "1 * 4 = 4".

zapažanje

Trigonometrijska ograničenja nisu uvijek lako riješiti. U ovom su članku prikazani samo osnovni primjeri.

reference

1. Fleming, W. i Varberg, D.E. (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. i Varberg, D.E. (1989). Precalculus matematika: pristup rješavanju problema (2, Ilustrirani ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. i Varberg, D. (1991). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Obrazovanje Pearson.
4. Larson, R. (2010). Viša aritmetika (8 izd.). Cengage učenje.
5. Leal, J. M., i Viloria, N. G. (2005). Ravna analitička geometrija. Mérida - Venezuela: Uredništvo Venezolana C. A.
6. Pérez, C.D. (2006). Viša aritmetika. Obrazovanje Pearson.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). računanje (Deveto izdanje). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Diferencijalni račun s ranim transcendentalnim funkcijama za znanost i inženjerstvo (Drugo izdanje izd.). hipotenuza.
9. Scott, C. A. (2009). Kartezijanska geometrija ravnine, dio: analitička konika (1907.) \ T (reprint ed.). Izvor munje.
10. Sullivan, M. (1997). Viša aritmetika. Obrazovanje Pearson.