Što su kosi trokuti? (s riješenim vježbama)

kosi trokuti su oni trokuti koji nisu pravokutnici. To jest, trokuti tako da nijedan njegov kut nije pravi kut (njegovo mjerenje je 90º).

Bez pravog kuta, Pitagorina teorema se ne može primijeniti na te trokute.

Stoga, za poznavanje podataka u kosom trokutu, potrebno je koristiti druge formule.

Formule potrebne za rješavanje kosog trokuta su tzv. Zakoni sinusa i kosinusa, koji će biti opisani kasnije..

Uz ove zakone uvijek se može koristiti i činjenica da je zbroj unutarnjih kutova trokuta jednak 180º..

Kosi trokuti

Kao što je rečeno na početku, kosi trokut je trokut tako da niti jedan njegov kut ne mjeri 90º.

Problem pronalaženja duljina stranica kosog trokuta, kao i pronalaženje mjerenja njegovih kutova, naziva se "rezolucija kosih trokuta".

Kod rada s trokutima važna je činjenica da je zbroj tri unutarnja kuta trokuta jednak 180º. To je opći rezultat, stoga se za kosi trokut može primijeniti.

Zakoni grudi i kosinusa

S obzirom na trokut ABC sa stranicama duljine "a", "b" i "c":

- Zakon grudi navodi da je a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), gdje su A, B i C suprotni kutovi na "a", "b" i "c" odnosno.

- Zakon kosinusa navodi da: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Jednako se mogu koristiti sljedeće formule:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) ili a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Pomoću ovih formula možete izračunati podatke trokuta kosog kuta.

trening

Ovdje su neke vježbe u kojima trebate pronaći podatke koji nedostaju u odnosu na dane trokute, iz određenih podataka.

Prva vježba

S obzirom da je trokut ABC takav da je A = 45º, B = 60º i a = 12cm, izračunajte ostale podatke trokuta.

otopina

Koristeći da je zbroj unutarnjih kutova trokuta jednak 180º, morate

C = 180 ° -45 ° -60 ° = 75 °.

Tri kuta su već poznata. Zatim nastavite koristiti zakon grudi kako biste izračunali dvije strane koje nedostaju.

Zadane su jednadžbe 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Iz prve jednakosti možete izbrisati "b" i dobiti to

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14.696cm.

Također možete izbrisati "c" i dobiti to

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392cm.

Druga vježba

S obzirom da je trokut ABC takav da je A = 60º, C = 75º i b = 10cm, izračunajte ostale podatke trokuta.

otopina

Kao iu prethodnoj vježbi, B = 180º-60º-75º = 45º. Osim toga, korištenjem zakona grudi nužno je da a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), iz kojeg se dobiva da je a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12.247 cm i c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13.660 cm.

Treća vježba

S obzirom na trokut ABC tako da je a = 10cm, b = 15cm i C = 80º, izračunajte ostale podatke trokuta.

otopina

U ovoj vježbi je poznat samo jedan kut, stoga ne možete početi kao u prethodne dvije vježbe. Također, zakon grudi se ne može primijeniti jer se ne može riješiti jednadžba.

Stoga nastavljamo primjenjivati ​​zakon kosinusa. Tada je to

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0.173 ≈ 272.905 cm,

tako da je c ≈ 16,51 cm. Sada, znajući 3 strane, zakon grudi se koristi i dobivate

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16.51cm / sin (80º).

Odavde, na čistini B dolazi do rezultata bez (B) = 15 * sin (80º) / 16.51 ≈ 0.894, što znači da B ≈ 63.38º.

Sada se može dobiti da je A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

Četvrta vježba

Strane kosog trokuta su a = 5cm, b = 3cm i c = 7cm. Izračunajte kutove trokuta.

otopina

Opet, zakon grudi ne može se primijeniti izravno jer niti jedna jednadžba ne bi poslužila za dobivanje vrijednosti kutova.

Koristeći zakon kosinusa, imamo c² = a² + b² - 2ab cos (C), gdje kada očistimo imamo cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 x 5 * 3 = -15/30 = -1/2 i stoga C = 120 °.

Sada, ako možete primijeniti zakon grudi i dobiti 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120), gdje možete očistiti B i dobiti to bez (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0.371, tako da je B = 21.79º.

Na kraju se izračuna zadnji kut pomoću A = 180º-120º-21.79º = 38.21º.

reference

1. Landaverde, F. d. (1997). geometrija (Reprint ed.). napredak.
2. Leake, D. (2006). trokuti (ilustrirano ed.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C.D. (2006). Viša aritmetika. Obrazovanje Pearson.
4. Ruiz, Á. I Barrantes, H. (2006). geometrije. Tehnologija CR.
5. Sullivan, M. (1997). Viša aritmetika. Obrazovanje Pearson.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometrija i analitička geometrija. Obrazovanje Pearson.