Koje vrste integrala postoje?



vrste integrala koje nalazimo u izračunu su: neodređeni integrali i definirani integrali. Iako definitivni integrali imaju mnogo više primjena od neograničenih integrala, potrebno je prvo naučiti rješavati neodređene integrale.

Jedna od najatraktivnijih primjena određenih integrala je izračunavanje volumena čvrste revolucije.

Oba tipa integrala imaju ista svojstva linearnosti, a tehnike integracije ne ovise o tipu integrala.

No, unatoč tome što je vrlo slična, postoji glavna razlika; u prvoj vrsti integrala rezultat je funkcija (koja nije specifična), dok je u drugom tipu rezultat broj.

Dvije osnovne vrste integrala

Svijet integrala je vrlo širok, ali u njemu možemo razlikovati dva osnovna tipa integrala, koji imaju veliku primjenjivost u svakodnevnom životu..

1 - neodređeni integrali

Ako je F '(x) = f (x) za sve x u domeni f, kažemo da je F (x) antiderivativno, primitivno ili integralno od f (x).

S druge strane, primijetite da je (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), što implicira da integral funkcije nije jedinstven, jer ćemo dati različite vrijednosti konstanti C i dobiti različite vi antiderivatives.

Iz tog razloga F (x) + C se naziva Neodređeni integral f (x), a C se naziva konstantom integracije i pišemo ga na sljedeći način:

Kao što možemo vidjeti, neodređeni integral funkcije f (x) je obitelj funkcija.

Na primjer, ako želite izračunati neodređeni integral funkcije f (x) = 3x², prvo morate pronaći antiderivativ od f (x).

Lako je uočiti da je F (x) = x³ antiderivativno, budući da je F '(x) = 3x². Stoga se može zaključiti da

(F (x) dx = x3xddx = x³ + C.

2 - Definirani integrali

Neka je y = f (x) stvarna funkcija, kontinuirana u zatvorenom intervalu [a, b] i neka je F (x) antiderivative od f (x). To se naziva određenim integralom f (x) između granica a i b s brojem F (b) -F (a) i označava se kako slijedi

Gore prikazana formula bolje je poznata kao "Temeljna teorema računanja". Ovdje se "a" naziva donja granica, a "b" gornju granicu. Kao što možete vidjeti, definitivni integral funkcije je broj.

U ovom slučaju, ako se izračuna određeni integral f (x) = 3x² u intervalu [0,3], dobit će se broj.

Za određivanje tog broja odabiremo F (x) = x³ kao antiderivativnu od f (x) = 3x². Zatim izračunamo F (3) -F (0) što nam daje rezultat 27-0 = 27. U zaključku, definitivni integral f (x) u intervalu [0,3] je 27.

Može se naglasiti da ako je odabran G (x) = x³ + 3, tada je G (x) antiderivativan od f (x) različit od F (x), ali to ne utječe na rezultat jer G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Zbog toga se u definiranim integralima ne pojavljuje integracijska konstanta.

Jedna od najkorisnijih primjena koje ovaj tip integrala ima je to što omogućuje izračunavanje površine (volumena) ravne figure (krutine revolucije), uspostavljanje odgovarajućih funkcija i granica integracije (i os rotacije).

Unutar definiranih integrala mogu se naći različiti nastavci kao što su, na primjer, linearni integrali, površinski integrali, nepravilni integrali, višestruki integrali, među ostalima, svi s vrlo korisnim aplikacijama u znanosti i inženjerstvu.

reference

  1. Casteleiro, J. M. (2012). Je li lako integrirati se? Samouk priručnik. Madrid: ESIC.
  2. Casteleiro, J. M., & Gómez-Álvarez, R. P. (2002). Sveobuhvatni izračun (Ilustrirani ed.). Madrid: ESIC Uvodnik.
  3. Fleming, W. i Varberg, D.E. (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
  4. Fleming, W. i Varberg, D.E. (1989). Precalculus matematika: pristup rješavanju problema (2, Ilustrirani ed.). Michigan: Prentice Hall.
  5. Kishan, H. (2005). Integralni račun. Atlantic Publishers & Distributors.
  6. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). računanje (Deveto izdanje). Prentice Hall.