Tehničke tehnike brojanja, primjene i primjeri

tehnike brojanja su niz metoda vjerojatnosti za brojanje mogućeg broja aranžmana unutar skupa ili nekoliko skupova objekata. Oni se koriste pri ručnoj izradi računa zbog velikog broja objekata i / ili varijabli.

Na primjer, rješenje ovog problema je vrlo jednostavno: zamislite da vaš šef traži od vas da prebrojite posljednje proizvode koji su stigli u posljednjih sat vremena. U tom slučaju možete ići i brojati proizvode jedan po jedan.

Međutim, zamislite da je problem sljedeći: vaš šef vas traži da izbrojite koliko se skupina od 5 proizvoda iste vrste može formirati s onima koji su stigli u posljednji sat. U ovom slučaju izračun postaje kompliciran. Za ovu vrstu situacije koriste se tzv. Tehnike brojanja.  

Te su tehnike nekoliko, ali najvažnije su podijeljene u dva osnovna principa, koji su multiplikativni i aditivni; permutacije i kombinacije.

indeks

• 1 multiplikativno načelo
  • 1.1
  • 1.2 Primjer
• 2 Načelo aditiva 
  • 2.1 Aplikacije
  • 2.2 Primjer
• 3 Permutacije
  • 3.1 Aplikacije
  • 3.2 Primjer
• 4 kombinacije
  • 4.1 Aplikacije
  • 4.2 Primjer
• 5 Reference 

Multiplikativno načelo

aplikacije

Multiplikativno načelo, zajedno s aditivom, osnovno je za razumijevanje rada tehnika brojanja. U slučaju multiplikativnog, on se sastoji od sljedećeg:

Zamislite aktivnost koja uključuje određeni broj koraka (ukupno je označeno kao "r"), gdje se prvi korak može načiniti od N1 oblika, drugog koraka N2 i koraka "r" oblika Nr. U ovom slučaju, aktivnost se može obaviti iz broja obrazaca koji proizlaze iz ove operacije: N1 x N2 x ... .x Nr forme

Zato se ovaj princip naziva multiplikativan i podrazumijeva da svaki od koraka koji su potrebni za obavljanje aktivnosti mora biti učinjen jedan za drugim. 

primjer

Zamislimo osobu koja želi izgraditi školu. Da biste to učinili, uzmite u obzir da se podnožje zgrade može konstruirati na dva različita načina, cement ili beton. Što se tiče zidova, oni mogu biti izrađeni od Adobe, cementa ili opeke.

Što se tiče krova, on može biti izrađen od cementa ili pocinčanog lima. Konačno, završno slikanje može se obaviti samo na jedan način. Postavlja se sljedeće pitanje: Koliko škola treba graditi??

Prvo ćemo uzeti u obzir broj koraka koji bi bili baza, zidovi, krov i slika. Ukupno 4 koraka, dakle r = 4.

Slijedi popis N:

N1 = načini izgradnje baze = 2

N2 = načini izgradnje zidova = 3

N3 = načini izrade krova = 2

N4 = način izrade boje = 1

Stoga bi se broj mogućih oblika izračunao pomoću gore opisane formule:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 načina završavanja škole.

Princip aditiva

aplikacije

Ovo je načelo vrlo jednostavno i da, u slučaju postojećih nekoliko alternativa za obavljanje iste djelatnosti, mogući načini sastoje se od zbroja različitih mogućih načina za izradu svih alternativa.

Drugim riječima, ako želimo provesti aktivnost s tri alternative, gdje se prva alternativa može obaviti u M oblicima, druga u N obrazaca i zadnja u W oblicima, aktivnost se može napraviti od: M + N + ... + W oblika.

primjer

Zamislite ovog puta osobu koja želi kupiti teniski reket. Za to imaju tri marke koje možete odabrati: Wilson, Babolat ili Head.

Kada ode u trgovinu, vidi da se Wilson reket može kupiti s ručkom u dvije različite veličine, L2 ili L3 u četiri različita modela i može biti nategnut ili bez žica.

Babolat reket, s druge strane, ima tri ručke (L1, L2 i L3), postoje dva različita modela i također se mogu natezati ili bez žica.

S druge strane, glavni reket je samo s jednom ručkom, L2, u dva različita modela i samo bez žica. Pitanje je: Koliko načina ova osoba mora kupiti svoj reket??

M = Broj načina odabira Wilson reketa

N = Broj načina odabira Babolat reketa

W = Broj načina odabira reketa za glavu

Način multiplikatora:

M = 2 x 4 x 2 = 16 oblika

N = 3 x 2 x 2 = 12 oblika

W = 1 x 2 x 1 = 2 oblika

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 načina za odabir reketa.

Da biste znali kada koristiti multiplikativni princip i dodatak, morate samo pogledati da li aktivnost ima niz koraka koje treba provesti, a ako postoji nekoliko alternativa, aditiv.

permutacije

aplikacije

Da bismo razumjeli što je permutacija, važno je objasniti što je kombinacija kako bismo ih razlikovali i znali kada ih koristiti.

Kombinacija bi bila raspored elemenata u kojima nas ne zanima pozicija koju svaka od njih zauzima.

S druge strane, permutacija bi bila raspored elemenata u kojima smo zainteresirani za poziciju koju svaka od njih zauzima.

Pogledajmo primjer kako bismo bolje razumjeli razliku.

primjer

Zamislite razred s 35 učenika i sa sljedećim situacijama:

1. Učiteljica želi da mu troje njegovih učenika pomogne održati razred čistim ili dostaviti materijale drugim učenicima kada mu je to potrebno.
2. Nastavnik želi imenovati delegate razreda (predsjednika, asistenta i financijera).

Rješenje bi bilo sljedeće:

1. Zamislite da su glasovanjem Juan, María i Lucía izabrani za čišćenje klase ili isporuku materijala. Očigledno je da su se među 35 mogućih studenata mogle formirati i druge skupine od po tri osobe.

Moramo se zapitati: je li važno da red ili mjesto koje svaki od učenika zauzima u vrijeme odabira??

Ako razmislimo o tome, vidimo da to zapravo nije važno, jer će se za oba zadatka skupina pobrinuti jednako. U ovom slučaju, to je kombinacija, jer nas ne zanima položaj elemenata.

2. Sada zamislite da je John izabran za predsjednika, Maria kao asistentica i Lucia kao financijska.

U ovom slučaju, je li narudžba važna? Odgovor je da, jer ako promijenimo elemente, rezultat se mijenja. To jest, ako ga umjesto da stavimo na mjesto predsjednika, stavimo ga kao pomoćnika, a Mariju kao predsjednicu, konačni rezultat bi se promijenio. U ovom slučaju to je permutacija.

Kada se razlika shvati, dobit ćemo formule permutacija i kombinacija. Međutim, najprije moramo definirati pojam "n!" (In factorial), jer će se koristiti u različitim formulama.

n! = za proizvod od 1 do n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Koristeći ga s pravim brojevima:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3,628,800

 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Formula za permutacije bila bi sljedeća:

nPr = n! / (n-r)!

Njime možemo saznati aranžmane u kojima je red važan i gdje su n elemenata različiti.

kombinacije

aplikacije

Kao što smo ranije komentirali, kombinacije su aranžmani u kojima nam nije stalo do položaja elemenata.

Njegova formula je sljedeća:

nCr = n! / (n-r)! r!

primjer

Ako ima 14 studenata koji žele volontirati za čišćenje učionice, koliko grupa čišćenja može svaka skupina sačinjavati po 5 osoba??

Stoga bi rješenje bilo sljedeće:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 grupe

reference

1. Jeffrey, R.C.., Vjerojatnost i umjetnost prosuđivanja, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "Uvod u teoriju vjerojatnosti i njezinu primjenu.""(Vol. 1), 3. izdanje, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Logičke osnove i mjerenje subjektivne vjerojatnosti". Psihološki akt.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Uvod u matematičku statistiku (6. izdanje). Gornja rijeka sedla: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) Znanost o pretpostavkama: Dokazi i vjerojatnost prije Pascala,Sveučilišni tisak Johns Hopkinsa.