Značajke aksiomatskih metoda, koraci, primjeri



aksiomatska metoda ili se također naziva aksiomatika je formalan postupak koji koriste znanosti pomoću kojih se formuliraju izjave ili propozicije koje se nazivaju aksiomi, međusobno povezane odnosom deduktivnosti i koje su temelj hipoteze ili uvjeta određenog sustava.

Ova opća definicija mora biti uokvirena evolucijom koju je ova metodologija imala kroz povijest. Prvo, postoji drevna metoda ili sadržaj, rođen u staroj Grčkoj iz Euklida i kasnije razvijen od strane Aristotela.

Drugo, već u devetnaestom stoljeću pojava geometrije s aksiomima razlikuje se od onih Euklidove. I konačno, formalna ili moderna aksiomatska metoda, čiji je maksimalni eksponent bio David Hilbert.

Izvan svog razvoja tijekom vremena, ovaj je postupak bio osnova deduktivne metode koja se koristila u geometriji i logici gdje je nastala. Također se koristi u fizici, kemiji i biologiji.

I to je čak primijenjeno na pravne znanosti, sociologiju i političku ekonomiju. Međutim, trenutno je njegova najvažnija sfera primjene matematika i simbolička logika te neke grane fizike kao što su termodinamika, mehanika, među ostalim disciplinama.

indeks

  • 1 Značajke 
    • 1.1. Stara ili aksiomatska metoda ili sadržaj 
    • 1.2. Neeuklidska aksiomatska metoda
    • 1.3 Moderna ili formalna aksiomatska metoda
  • 2 koraka 
  • 3 Primjeri
  • 4 Reference

značajke

Iako je temeljna karakteristika ove metode formulacija aksioma, one nisu uvijek razmatrane na isti način.

Postoje neki koji se mogu definirati i konstruirati na proizvoljan način. I drugi, prema modelu u kojem se razmatra njegova intuitivno zajamčena istina.

Da bi se konkretno razumjelo u čemu se ta razlika sastoji i njezine posljedice, potrebno je preispitati evoluciju ove metode.

Stara aksiomatska metoda ili sadržaj 

Ona je uspostavljena u staroj Grčkoj oko 5. stoljeća prije Krista. Područje primjene je geometrija. Temeljni rad ove faze su elementi Euklida, iako se smatra da je prije njega, Pitagora, već rodio aksiomatsku metodu..

Tako Grci određene činjenice shvaćaju kao aksiome, bez potrebe za bilo kakvim logičnim dokazom, to jest, bez potrebe za demonstracijama, jer za njih one su očigledna istina.

Za svoj dio Euclides predstavlja pet aksioma za geometriju:

1-S obzirom na dvije točke postoji linija koja ih sadrži ili ih povezuje.

2-Bilo koji segment može se kontinuirano nastaviti na neograničenoj liniji na obje strane.

3 - Možete nacrtati krug koji ima središte u bilo kojoj točki i bilo kojem radijusu.

4-desni kut su svi isti.

5-Uzimajući bilo koju ravnu liniju i bilo koju točku koja nije u njoj, postoji paralelna ravna crta i ona koja sadrži tu točku. Taj je aksiom poznat kasnije, kao aksiom paralela, i objavljen je i kao: pomoću točke izvan crte može se nacrtati jedna paralela.

Međutim, i Euklid i kasnije matematičari slažu se da peti aksiom nije intuitivno jasniji od ostalih 4. Čak i tijekom renesanse pokušava zaključiti petu od ostalih 4, ali to nije moguće.

To je dovelo do toga da su već u devetnaestom stoljeću oni koji su tvrdili da su petorica bili pristaše euklidske geometrije i oni koji su negirali petu, bili oni koji su stvorili neeuklidske geometrije..

Neeuklidska aksiomatska metoda

Upravo Nikolaj Ivanovič Lobačevski, János Bolyai i Johann Karl Friedrich Gauss vide mogućnost konstruiranja, bez kontradikcije, geometrije koja dolazi iz sustava aksioma različitih od onih Euklidovih. To uništava vjerovanje u apsolutnu ili apriornu istinu aksioma i teorija koje iz njih proizlaze.

Stoga se aksiomi počinju shvaćati kao polazne točke date teorije. I njihov izbor i problem njihove valjanosti na ovaj ili onaj način počinju se odnositi na činjenice izvan aksiomatske teorije..

Na taj se način pojavljuju geometrijske, algebarske i aritmetičke teorije konstruirane pomoću aksiomatske metode.

Ova faza kulminira stvaranjem aksiomatskih sustava za aritmetiku kao što je Giuseppe Peano 1891. godine; geometrija Davida Huberta 1899. godine; izjave i predikatne kalkulacije Alfreda Northa Whiteheada i Bertranda Russella u Engleskoj 1910. godine; aksiomatska teorija skupova Ernsta Friedricha Ferdinanda Zermela 1908.

Moderna ili formalna aksiomatska metoda

David Hubert pokreće koncepciju formalne aksiomatske metode i vodi kulminaciji, David Hilbert.

Upravo Hilbert formalizira znanstveni jezik, smatrajući njegove tvrdnje formulama ili sekvencama znakova koji sami po sebi nemaju nikakvog značenja. U određenom tumačenju dobivaju smisao.

U "Osnove geometrije"Objašnjava prvi primjer ove metodologije. Odavde geometrija postaje znanost čistih logičkih posljedica, koje su izvađene iz sustava hipoteza ili aksioma, bolje artikulirane od euklidskog sustava..

To je zato što se u starom sustavu aksiomatska teorija temelji na dokazima aksioma. Dok je temelj formalne teorije dat u dokazivanju ne-proturječnosti njegovih aksioma.

koraci

Postupak koji provodi aksiomatsko strukturiranje unutar znanstvenih teorija prepoznaje:

a-izbor određenog broja aksioma, odnosno niz propozicija određene teorije koje se prihvaćaju bez potrebe za demonstracijom.

b-pojmovi koji su dio tih tvrdnji nisu određeni u okviru dane teorije.

c-pravila definiranja i zaključivanja dane teorije su fiksna i dopuštaju uvođenje novih pojmova u teoriju i logički zaključuju neke propozicije iz drugih.

d-druge tvrdnje teorije, tj. teorema, izvedene su iz a na temelju c.

Primjeri

Ova se metoda može potvrditi demonstracijom dviju najpoznatijih Euclidovih teorema: teorema o nogama i teorema o visini..

Oboje proizlaze iz promatranja ovog grčkog geometra da kada se visina iscrtava s obzirom na hipotenuzu unutar pravog trokuta, dva trokuta izgledaju više od izvornika. Ovi trokuti su međusobno slični i istodobno slični trokutu podrijetla. To pretpostavlja da su njihove odgovarajuće homologne strane proporcionalne.

Može se vidjeti da kongruentni kutovi u trokutima na taj način potvrđuju sličnost koja postoji između tri uključena trokuta prema kriteriju sličnosti AAA. Ovaj kriterij drži da kada su dva trokuta imaju sve jednake kutove, oni su slični.

Jednom kad su trokuti pokazani sličnima, mogu se utvrditi omjeri navedeni u prvom teoremu. Navodi se da je u pravokutnom trokutu mjerenje svakog katetusa geometrijski proporcionalna sredina između hipotenuze i projekcije katetusa u njoj..

Drugi teorem je visinski. Ona određuje da je bilo koji pravokutnik visina koja je nacrtana u skladu s hipotenuzom geometrijska proporcionalna sredina između segmenata koji su određeni spomenutom geometrijskom sredinom na hipotenuzi.

Naravno, oba teorema imaju brojne primjene u svijetu ne samo u području obrazovanja, već iu inženjerstvu, fizici, kemiji i astronomiji.

reference

  1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometrija, formalizam i intuicija: David Hilbert i formalna aksiomatska metoda (1895-1905). Philosophy Magazine, svezak 39, broj 2, str. Preuzeto iz revistas.ucm.es.
  2. Hilbert, David. (1918) Aksiomatska misao. U W.Ewaldu, uredniku, od Kanta do Hilberta: izvorna knjiga u temeljima matematike. Svezak II., Str. 1105-1114. Oxford University Press. 2005. a.
  3. Hintikka, Jaako. (2009). Što je aksiomatska metoda? Synthese, studeni 2011, svezak 189, str. 69-85. Preuzeto s link.springer.com.
  4. López Hernández, José. (2005). Uvod u filozofiju suvremenog prava. (Pp.48-49). Preuzeto iz books.google.com.ar.
  5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Aksiomatska metoda, čitajući Ricardo Nirenberg, jesen 1996., Sveučilište u Albanyju, Project Renaissance. Preuzeto iz Albany.edu.
  6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert između formalne i neformalne strane matematike. Rukopis vol. 38 br. 2, Campinas srpanj / kolovoz 2015. Preuzeto iz scielo.br.