Povijesna pozadina analitičke geometrije



Povijesna pozadina analitičke geometrije vraćaju se u 17. stoljeće, kada su Pierre de Fermat i René Descartes definirali svoju temeljnu ideju. Njegov izum slijedio je modernizaciju algebre i algebarske oznake Françoisa Viètea.

Ovo polje ima svoje osnove u staroj Grčkoj, osobito u djelima Apolonija i Euklida, koji su imali veliki utjecaj u ovom području matematike..

Bitna ideja analitičke geometrije je da odnos između dvije varijable, tako da je jedna funkcija druge, definira krivulju.

Tu je ideju prvi put razvio Pierre de Fermat. Zahvaljujući tom bitnom okviru, Isaac Newton i Gottfried Leibniz su uspjeli razviti proračun.

Francuski filozof Descartes također je otkrio algebarski pristup geometriji, očito sam. Descartesov rad na geometriji pojavljuje se u njegovoj slavnoj knjizi Govor metode.

U ovoj je knjizi naznačeno da kompas i geometrijske konstrukcije ravnih rubova uključuju zbrajanje, oduzimanje, množenje i kvadratne korijene.

Analitička geometrija predstavlja jedinstvo dvije važne tradicije matematike: geometrija kao proučavanje forme i aritmetika i algebra, koje se odnose na količinu ili brojeve. Stoga je analitička geometrija proučavanje polja geometrije pomoću koordinatnih sustava.

povijest

Pozadina analitičke geometrije

Odnos između geometrije i algebre evoluirao je kroz povijest matematike, iako je geometrija dosegla raniji stupanj zrelosti.

Na primjer, grčki matematičar Euclid uspio je organizirati mnoge rezultate u svojoj klasičnoj knjizi Elementi.

Ali upravo je antički Grk Apolonije iz Perge predvidio razvoj analitičke geometrije u svojoj knjizi konusni. Koniku je definirao kao sjecište između konusa i ravnine.

Koristeći rezultate Euklida u sličnim trokutima i sušenju kruga, pronašao je odnos koji je dao udaljenost od bilo koje točke "P" konike do dvije okomite linije, glavne osi konike i tangente na konačnoj točki osi. Apolonije je koristio ovaj odnos kako bi zaključio temeljna svojstva konike.

Naknadni razvoj koordinatnih sustava u matematici pojavio se tek nakon što je algebra sazrela zahvaljujući islamskim i indijskim matematičarima.

Sve dok se renesansna geometrija nije upotrijebila za opravdanje rješenja za algebarske probleme, ali nije bilo mnogo toga što bi algebra mogla doprinijeti geometriji.

Ova situacija bi se promijenila usvajanjem prikladne oznake za algebarske odnose i razvoj koncepta matematičke funkcije, što je sada bilo moguće..

XVI. Stoljeće

Krajem šesnaestog stoljeća francuski matematičar François Viète uveo je prvi sustavni algebarski zapis, koristeći slova koja predstavljaju numeričke veličine, i poznate i nepoznate..

Također je razvio moćne opće metode za rad algebarskih izraza i rješavanje algebarskih jednadžbi.

Zahvaljujući tome, matematičari nisu u potpunosti ovisili o geometrijskim likovima i geometrijskoj intuiciji za rješavanje problema.

Čak su i neki matematičari počeli napuštati standardni geometrijski način razmišljanja, prema kojem linearne varijable duljina i kvadrata odgovaraju područjima, dok kubni odgovaraju volumenu..

Prvi koji je poduzeo ovaj korak bili su filozof i matematičar René Descartes, te odvjetnik i matematičar Pierre de Fermat.

Temelj analitičke geometrije

Descartes i Fermat neovisno su utemeljili analitičku geometriju tijekom 1630-ih, usvajanjem algebre Viète za proučavanje geometrijskog položaja.

Ovi matematičari su shvatili da je algebra alat velike moći u geometriji i izumio ono što je danas poznato kao analitička geometrija.

Napredak koji su napravili bio je prevladati Viète pomoću slova za prikazivanje udaljenosti koje su varijabilne umjesto fiksne..

Descartes je koristio jednadžbe za proučavanje geometrijski definiranih krivulja i istaknuo potrebu razmatranja općih algebarsko-grafičkih krivulja jednadžbi polinoma u stupnjevima "x" i "y"..

Sa svoje strane, Fermat je naglasio da svaki odnos između koordinata "x" i "i" određuje krivulju.

Koristeći te ideje, preustrojio je Apolonijeve izjave o algebarskim pojmovima i obnovio neke svoje izgubljene radove..

Fermat je ukazao da se svaka kvadratna jednadžba u "x" i "y" može postaviti u standardni oblik jednog od koničnih dijelova. Unatoč tome, Fermat nikada nije objavio svoj rad na tu temu.

Zahvaljujući svom napretku, ono što je Arhimed mogao riješiti samo s velikim poteškoćama i za izolirane slučajeve, Fermat i Descartes mogli su ga brzo riješiti i za veliki broj krivulja (sada poznatih kao algebarske krivulje)..

No, njegove su ideje samo postale opće prihvaćene kroz napore drugih matematičara u drugoj polovici 17. stoljeća.

Matematičari Frans van Schooten, Florimond de Beaune i Johan de Witt pomogli su proširiti Decartesov rad i dodali važan dodatni materijal.

utjecaj

U Engleskoj je John Wallis popularizirao analitičku geometriju. Koristio je jednadžbe za definiranje konika i izvođenje njihovih svojstava. Iako je slobodno koristio negativne koordinate, Isaac Newton je upotrijebio dvije kose osi da podijeli ravninu na četiri kvadranta..

Newton i njemački Gottfried Leibniz revolucionirali su matematiku krajem 17. stoljeća neovisno demonstrirajući snagu izračuna.

Newton je pokazao važnost analitičkih metoda u geometriji i njezinoj ulozi u računici, kada je tvrdio da svaka kocka (ili bilo koja algebarska krivulja trećeg stupnja) ima tri ili četiri standardne jednadžbe za prikladne koordinatne osi. Uz pomoć Newtona, škotski matematičar John Stirling je to dokazao 1717. godine.

Analitička geometrija tri i više dimenzija

Iako su i Descartes i Fermat predložili korištenje tri koordinate za proučavanje krivulja i površina u prostoru, trodimenzionalna analitička geometrija razvijala se polako do 1730..

Matematičari Euler, Hermann i Clairaut proizveli su opće jednadžbe za cilindre, konuse i površine revolucije.

Primjerice, Euler je koristio jednadžbe za prijevode u prostoru kako bi transformirao opću kvadratnu površinu, tako da su se njezine glavne osi podudarale s koordinatnim osima..

Euler, Joseph-Louis Lagrange i Gaspard Monge izradili su analitičku geometriju neovisno o sintetičkoj geometriji (nije analitička).

reference

  1. Razvoj analitičke geometrije (2001). Oporavio se od enciklopedije
  2. Povijest analitičke geometrije (2015.). Oporavio se od maa.org
  3. Analiza (matematika). Oporavio se od britannica.com
  4. Analitička geometrija. Oporavio se od britannica.com
  5. Descartes i rađanje analitičke geometrije. Oporavio se od sciencedirect.com