Izračun aproksimacija pomoću diferencijala

U matematici je aproksimacija broj koji nije točna vrijednost nečega, ali je toliko blizu da se smatra korisnom kao tačna vrijednost.

Kada se u matematici izrađuju aproksimacije, to je zato što je ručno teško (ili ponekad nemoguće) znati točnu vrijednost onoga što se traži.

Glavni alat pri radu s aproksimacijama je razlika funkcije.

Diferencijal funkcije f, označen s Δf (x), nije ništa više od izvedenice funkcije f pomnožene s promjenom nezavisne varijable, tj. Δf (x) = f '(x) * Δx.

Ponekad se koriste df i dx umjesto Δf i Δx.

Pristupi pomoću diferencijala

Formula koja se primjenjuje da bi se napravila aproksimacija kroz diferencijal proizlazi upravo iz definicije izvedenice funkcije kao granice.

Ovu formulu daje:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Ovdje se podrazumijeva da je Δx = x-x0, dakle x = x0 + Δx. Koristeći ovu formulu možete ponovno napisati kao

f (x0 + Δx) ≈f (x0) + f '(x0) * Δx.

Treba napomenuti da "x0" nije proizvoljna vrijednost, već je vrijednost takva da je f (x0) lako poznat; Osim toga, "f (x)" je samo vrijednost koju želimo približiti.

Postoje li bolje aproksimacije?

Odgovor je da. Prethodna je najjednostavnija od aproksimacija nazvanih "linearna aproksimacija".

Za bolju aproksimaciju kvalitete (pogreška je manja) koriste se polinomi s više izvedenica nazvanih "Taylorov polinomi", kao i druge numeričke metode kao što je Newton-Raphsonova metoda..

strategija

Strategija koju treba slijediti je:

- Odaberite odgovarajuću funkciju f za izvođenje aproksimacije, a vrijednost "x" tako da je f (x) vrijednost koju želite približiti.

- Odaberite vrijednost "x0", blizu "x", tako da je f (x0) lako izračunati.

- Izračunajte Δx = x-x0.

- Izračunajte izvedenicu funkcije i f '(x0).

- Zamijenite podatke u formuli.

Rješene vježbe aproksimacije

U nastavku slijedi niz vježbi gdje se aproksimacije izrađuju pomoću diferencijala.

Prva vježba

Približno .3.

otopina

Slijedeći strategiju, mora se odabrati odgovarajuća funkcija. U ovom se slučaju može vidjeti da funkcija koju treba izabrati mora biti f (x) = andx, a približna vrijednost je f (3) = √3.

Sada moramo odabrati vrijednost "x0" blizu "3" tako da je f (x0) lako izračunati. Ako odaberete "x0 = 2" imate da je "x0" blizu "3", ali f (x0) = f (2) = is2 nije lako izračunati.

Vrijednost "x0" koja je prikladna je "4", jer "4" je blizu "3" i također f (x0) = f (4) = =4 = 2.

Ako je "x = 3" i "x0 = 4", tada je Δx = 3-4 = -1. Sada ćemo nastaviti izračunati derivat od f. To jest, f '(x) = 1/2 * √x, tako da je f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Zamjenjujući sve vrijednosti u formuli dobivate:

=3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Ako se koristi kalkulator, dobiva se da ≈3≈1.73205 ... To pokazuje da je prethodni rezultat dobra aproksimacija stvarne vrijednosti.

Druga vježba

Približno .10.

otopina

Kao i prije, izabrana je kao funkcija f (x) = andx, au ovom slučaju x = 10.

Vrijednost x0 koja se mora odabrati u ovoj mogućnosti je "x0 = 9". Zatim imamo Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 i f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Kada procjenjujete u formuli dobijete to

=10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

Pomoću kalkulatora dobivate da 10 ≈ 3.1622776 ... Ovdje također možete vidjeti da je dobra procjena dobivena prije.

Treća vježba

Približno √√10, gdje ³√ označava kubični korijen.

otopina

Jasno je da funkcija koja se treba koristiti u ovoj vježbi je f (x) = ³√x, a vrijednost "x" mora biti "10".

Vrijednost koja je blizu "10", tako da je poznat njezin korijen kocke, je "x0 = 8". Tada imamo Δx = 10-8 = 2 i f (x0) = f (8) = 2. Također imamo da je f '(x) = 1/3 * ³√x², a posljedično f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Zamjenjujući podatke u formulu, dobiva se da:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .

Kalkulator kaže da ³√10 ≈ 2.15443469 ... Dakle, pronađena aproksimacija je dobra.

Četvrta vježba

Približno ln (1.3), gdje "ln" označava prirodnu logaritamsku funkciju.

otopina

Najprije se bira funkcija f (x) = ln (x), a vrijednost "x" je 1.3. Sada, znajući malo o logaritamskoj funkciji, možemo znati da je ln (1) = 0, a također i "1" blizu "1.3". Stoga je "x0 = 1" odabrano i tako Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

S druge strane f '(x) = 1 / x, tako da je f' (1) = 1. Pri ocjenjivanju u danoj formuli morate:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Kada koristite kalkulator morate ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Dakle, napravljena procjena je dobra.

reference

1. Fleming, W. i Varberg, D.E. (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. i Varberg, D.E. (1989). Precalculus matematika: pristup rješavanju problema (2, Ilustrirani ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. i Varberg, D. (1991). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Obrazovanje Pearson.
4. Larson, R. (2010). Viša aritmetika (8 izd.). Cengage učenje.
5. Leal, J. M., i Viloria, N. G. (2005). Ravna analitička geometrija. Mérida - Venezuela: Uredništvo Venezolana C. A.
6. Pérez, C.D. (2006). Viša aritmetika. Obrazovanje Pearson.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). računanje (Deveto izdanje). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Diferencijalni račun s ranim transcendentalnim funkcijama za znanost i inženjerstvo (Drugo izdanje izd.). hipotenuza.
9. Scott, C. A. (2009). Kartezijanska geometrija ravnine, dio: analitička konika (1907.) \ T (reprint ed.). Izvor munje.
10. Sullivan, M. (1997). Viša aritmetika. Obrazovanje Pearson.