Algebarski derivati ​​(s primjerima)

algebarski derivati one se sastoje u proučavanju izvedenice u pojedinom slučaju algebarskih funkcija. Podrijetlo pojma izvedenice seže u antičku Grčku. Razvoj ovog pojma bio je motiviran potrebom da se riješe dva važna problema, jedan u fizici, a drugi u matematici.

U fizici, derivat rješava problem određivanja trenutne brzine pokretnog objekta. U matematici, tangentnu liniju možete pronaći na krivulji u određenoj točki.

Iako postoji mnogo više problema koji se rješavaju pomoću izvedenice, kao i njezine generalizacije, rezultati koji su uslijedili nakon uvođenja njegovog koncepta.

Pioniri diferencijalne računice su Newton i Leibniz. Prije davanja formalne definicije, razvijat ćemo ideju s matematičkog i fizičkog stajališta.

indeks

• 1 Derivat kao nagib tangente na krivulju
• 2 Derivat kao trenutna brzina pokretnog objekta
  • 2.1 Algebarska funkcija
• 3 Pravila izvođenja
  • 3.1 Izvedeno iz konstante
  • 3.2 Derivat moći
  • 3.3 Izvedeno iz zbrajanja i oduzimanja
  • 3.4 Derivat proizvoda
  • 3.5 Izvedeno iz kvocijenta
  • 3.6 Pravilo lanca
• 4 Reference

Derivat kao nagib tangentne linije na krivulju

Pretpostavimo da je graf funkcije y = f (x) kontinuirani graf (bez vrhova ili vrhova ili odvajanja) i neka A = (a, f (a)) bude fiksna točka na njemu. Želimo pronaći jednadžbu tangentne linije na graf funkcije f u točki A.

Uzmite bilo koju drugu točku P = (x, f (x)) grafikona, blizu točke A, i povucite sekantnu liniju koja prolazi kroz A i P. Sekantna linija je crta koja reže grafikon krivulje u jednom ili više bodova.

Da bismo dobili tangentu koju želimo, trebamo izračunati nagib jer već imamo točku na liniji: točka A.

Ako pomičemo točku P duž grafikona i približimo je točki A, spomenuta sekantna linija približit će se tangentnoj liniji koju želimo pronaći. Uzimajući granicu kada "P teži A", obje linije će se podudarati, dakle i njezini nagibi.

Nagib sekantne linije dat je sa

Reći da se P približava A jednako je tvrdnji da "x" pristupa "a". Stoga će nagib tangentne linije na grafikon f u točki A biti jednak:

Gornji izraz označen je f '(a), a definira se kao derivacija funkcije f u točki "a". Tada vidimo da je analitički derivat funkcije u točki granica, ali geometrijski, to je nagib linije tangenta na graf funkcije u točki.

Sada ćemo vidjeti ovaj pojam s gledišta fizike. Do istog izraza prethodne granice dolazimo, iako na drugačiji način, dobivši jednoglasnost definicije.

Derivacija kao trenutna brzina pokretnog objekta

Pogledajmo kratak primjer o tome što znači trenutna brzina. Kada je, primjerice, rečeno da je automobil do odredišta to učinio brzinom od 100 km na sat, što znači da je za jedan sat prešao 100 km..

To ne znači nužno da je tijekom cijelog sata automobil uvijek bio udaljen 100 km, brzinomjer automobila mogao bi u nekim trenucima označiti manje ili više. Ako je imao potrebu zaustaviti se na semaforu, brzina u tom trenutku bila je 0 km. Međutim, nakon sat vremena, ruta je bila 100 km.

To je ono što je poznato kao prosječna brzina i dano je kvocijentom pređene udaljenosti između proteklog vremena, kao što smo upravo vidjeli. Trenutačna brzina, s druge strane, je ona koja označava iglu brzinomjera automobila u određenom trenutku (vremenu)..

Pogledajmo sada ovo općenitije. Pretpostavimo da se objekt kreće duž linije i da je taj pomak predstavljen pomoću jednadžbe s = f (t), gdje varijabla t mjeri vrijeme i varijablu s pomicanje, uzimajući u obzir njegov početak u trenutak t = 0, kada je i nula, to jest, f (0) = 0.

Ova funkcija f (t) poznata je kao funkcija položaja.

Traži se izraz za trenutnu brzinu objekta u fiksnom trenutku "a". Na toj brzini ćemo je označiti s V (a).

Neka bude trenutak blizu trenutka "a". U vremenskom intervalu između "a" i "t", promjena položaja objekta daje f (t) -f (a).

Prosječna brzina u ovom vremenskom intervalu je:

To je aproksimacija trenutne brzine V (a). Ta će aproksimacija biti bolja kada se t približi "a". stoga,

Primijetite da je ovaj izraz jednak onom dobivenom u prethodnom slučaju, ali iz drugačije perspektive. To je ono što je poznato kao derivacija funkcije f u točki "a" i označena je f '(a), kao što je gore navedeno.

Imajte na umu da je promjena h = x-a, kada "x" teži "a", "h" teži 0, a prethodna granica se pretvara (ekvivalentno) u:

Oba izraza su ekvivalentna, ali ponekad je bolje koristiti jedan umjesto drugog, ovisno o slučaju.

Derivat funkcije f je zatim definiran općenito u bilo kojoj točki "x" koja pripada njegovoj domeni kao

Najčešća oznaka za predstavljanje izvedenice funkcije y = f (x) je ona koju smo upravo vidjeli (f 'o i'). Međutim, druga široko korištena notacija je Leibnizova notacija koja je predstavljena kao bilo koji od sljedećih izraza:

S obzirom na činjenicu da je derivat u osnovi granica, on može ili ne može postojati, jer granice ne postoje uvijek. Ako postoji, kaže se da je dotična funkcija diferencijabilna u danoj točki.

Algebarska funkcija

Algebarska funkcija je kombinacija polinoma pomoću suma, oduzimanja, proizvoda, količnika, moći i radikala.

Polinom je izraz oblika

P_n= a_nxⁿ+ u_n-1x^n-1+ u_n-2x^n-2+... + a₂x²+ u₁x + a₀

Gdje je n prirodni broj i sve a_ja, s i = 0,1, ..., n su racionalni brojevi i a_n. 0 U ovom slučaju se kaže da je stupanj ovog polinoma n.

Slijede primjeri algebarskih funkcija:

Ovdje eksponencijalne, logaritamske i trigonometrijske funkcije nisu uključene. Pravila izvođenja koja ćemo vidjeti u nastavku vrijede za opće funkcije, ali ograničit ćemo se i primijeniti ih u slučaju algebarskih funkcija..

Pravila za obilazak

Izvedeno iz konstante

Utvrđuje da je derivat konstante nula. To jest, ako je f (x) = c, onda je f '(x) = 0. Na primjer, derivat konstantne funkcije 2 jednak je 0.

Izvedena iz moći

Ako je f (x) = xⁿ, tada f '(x) = nx^n-1. Na primjer, derivat od x³ To je 3x². Kao posljedica toga, dobivamo da je derivacija funkcije identiteta f (x) = x f '(x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

Drugi primjer je sljedeći: biti f (x) = 1 / x², tada f (x) = x^-2 i f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Ovo svojstvo vrijedi i za korijene, jer su korijeni racionalne moći, a gore navedeno možete primijeniti iu tom slučaju. Primjerice, izvedenica kvadratnog korijena je dana

Izvodi se iz zbroja i oduzimanja

Ako su f i g diferencirane funkcije u x, tada je i zbroj f + g također različit i da je (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Analogno, imamo to (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Drugim riječima, derivat zbroja (oduzimanje) je zbroj (ili oduzimanje) derivata.

primjer

Ako je h (x) = x²+x-1, tada

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Izvedeno iz proizvoda

Ako su f i g diferencirane funkcije u x, tada je i proizvod fg diferencibilan u x i ispunjen je

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Posljedica toga je da ako je c konstanta, a f diferencijabilna funkcija u x, onda je i cf diferencijabilna u x i (cf) '(x) = cf' (X).

primjer

Ako je f (x) = 3x (x²+1), zatim

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²) '+ (1)']

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+3 + 6x²

= 9x²+3.

Izvedeno iz kvocijenta

Ako su f i g različiti u x i g (x), 0, tada je f / g također diferencibilan u x, i istina je da

primjer: ako je h (x) = x³/ (x²-5x), zatim

h '(x) = [(x³) '(x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Pravilo lanca

Ovo pravilo dopušta izvođenje sastava funkcija. Utvrđuje se sljedeće: ako je y = f (u) diferencibilan u u, yu = g (x) se diferencira u x, tada je složena funkcija f (g (x)) diferencijabilna u x, i zadovoljno je da je [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

To jest, derivat kompozitne funkcije je proizvod izvedenice vanjske funkcije (vanjskog derivata) izvedenicom interne funkcije (interni derivat).

primjer

Ako je f (x) = (x⁴-2x)³, tada

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Također postoje rezultati za izračun derivata inverzne funkcije, kao i generalizacija na derivate višeg reda. Aplikacije su opsežne. Među njima se ističu njihove korisnosti u problemima optimizacije i maksimalnih i minimalnih funkcija.

reference

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Diferencijalni izračun. ITM.
2. Cabrera, V. M. (1997). Izračun 4000. Uređivanje Progreso.
3. Castaño, H. F. (2005). Matematika prije izračuna. Sveučilište u Medellinu.
4. Eduardo, N. A. (2003). Uvod u izračun. Izdanje praga.
5. Izvori, A. (2016). OSNOVNA MATEMATIKA. Uvod u izračun. Lulu.com.
6. Purcell, E.J., Rigdon, S.E., & Varberg, D.E. (2007). računanje. Obrazovanje Pearson.
7. Saenz, J. (2005). Diferencijalni izračun (Drugi ed.). Barquisimeto: Hipotenuza.
8. Thomas, G. B., & Weir, M. D. (2006). Izračun: nekoliko varijabli. Obrazovanje Pearson.