Uzastopni derivati ​​(s riješenim vježbama)

 uzastopni derivati su derivati ​​funkcije nakon drugog derivata. Proces izračunavanja uzastopnih derivata je sljedeći: imamo funkciju f, koju možemo izvesti i tako dobiti funkciju derivacije f '. Ovom derivativu od f možemo ga ponovno izvesti, dobivši (f ')'.

Ova nova funkcija naziva se druga izvedenica; svi derivati ​​izračunati iz drugog su sukcesivni; Ovi, koji se nazivaju i višim redom, imaju velike primjene, kao što su davanje informacija o dijagramu grafa funkcije, drugi derivativni test za relativne ekstreme i određivanje beskonačnih serija..

indeks

• 1 Definicija
  • Primjer 1
  • 1.2 Primjer 2
• 2 Brzina i ubrzanje
  • 2.1 Primjer 1
  • 2.2 Primjer 2
• 3 Aplikacije
  • 3.1 Pojednostavljeno izvođenje
  • 3.2 Primjer
  • 3.3 Relativni ciljevi
  • 3.4 Primjer
  • 3.5 Taylorova serija
  • 3.6 Primjer
• 4 Reference

definicija

Koristeći Leibnizov zapis, imamo da je derivat funkcije "i" s obzirom na "x" dy / dx. Da bismo izrazili drugi derivat "i" koristeći Leibnizovu notaciju, pišemo na sljedeći način:

Općenito, možemo izraziti uzastopne derivate kako slijedi s Leibnizovom notacijom, gdje n predstavlja redoslijed derivata.

Ostali korišteni zapisi su sljedeći:

Neki primjeri gdje možemo vidjeti različite oznake su:

Primjer 1

Dobiti sve izvedenice funkcije f koju definira:

Koristeći uobičajene tehnike derivacije, imamo da je derivat f:

Ponavljanjem procesa možemo dobiti drugi derivat, treći derivat i tako dalje.

Imajte na umu da je četvrti derivat nula, a derivat nula je nula, tako da moramo:

Primjer 2

Izračunajte četvrti derivat sljedeće funkcije:

Izvođenje zadane funkcije koju imamo kao rezultat:

Brzina i ubrzanje

Jedna od motivacija koja je dovela do otkrića derivata bila je potraga za definicijom trenutne brzine. Formalna definicija je sljedeća:

Neka je y = f (t) funkcija čija grafica opisuje putanju čestice u trenutku t, tada je njegova brzina u trenutku t dana:

Jednom dobivena brzina čestice, možemo izračunati trenutno ubrzanje, koje se definira na sljedeći način:

Trenutačno ubrzanje čestice čija je staza dana y = f (t) je:

Primjer 1

Čestica se kreće po liniji prema funkciji položaja:

Gdje se "y" mjeri u metrima i "t" u sekundama.

- U kojem trenutku vaša brzina je 0?

- U kojem trenutku vaše ubrzanje je 0?

Kada dobivamo funkciju položaja "i" imamo da je njezina brzina i ubrzanje određeni:

Da bi se odgovorilo na prvo pitanje, dovoljno je odrediti kada funkcija v postane nula; ovo je:

Analogno nastavljamo sa sljedećim pitanjem:

Primjer 2

Čestica se kreće po liniji prema sljedećoj jednadžbi gibanja:

Odredite "t, y" i "v" kada je a = 0.

Znajući da su brzina i ubrzanje dani

Nastavljamo s izvođenjem i dobivanjem:

Čineći a = 0, imamo:

Iz toga možemo zaključiti da je vrijednost t za a jednaka nuli t = 1.

Zatim, procjenjujući funkciju položaja i funkciju brzine pri t = 1, moramo:

aplikacije

Pojednostavljeno izvođenje

Uzastopni derivati ​​također se mogu dobiti implicitnom izvedbom.

primjer

S obzirom na sljedeću elipsu, pronađite "i":

Izvodi implicitno u odnosu na x, imamo:

Zatim, prešavši implicitno u odnosu na x, daje nam:

Konačno, imamo:

Relativni završava

Druga upotreba koju možemo dati derivatima drugog reda je u izračunu relativnih završetaka funkcije.

Kriterij prvog derivata za lokalne ekstreme govori nam da, ako imamo funkciju f kontinuiranu u rasponu (a, b) i da postoji c koji pripada tom intervalu, takav da je f 'poništen u c (to jest, c) je kritična točka), jedan od ova tri slučaja može se dogoditi:

- Ako je f '(x)> 0 za bilo koji x koji pripada (a, c) i f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Ako je f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 za x koji pripadaju (c, b), tada je f (c) lokalni minimum.

- Ako f '(x) ima isti znak u (a, c) iu (c, b), to znači da f (c) nije lokalna završna točka.

Korištenjem kriterija drugog izvedenice možemo znati je li kritični broj funkcije maksimalni ili lokalni minimum, bez potrebe da se vidi što je znak funkcije u navedenim intervalima.

Kriterij drugog izvođenja govori nam da ako je f '(c) = 0 i da je f "(x) kontinuirano u (a, b), događa se da ako je f" (c)> 0 onda je f (c) lokalni minimum i ako f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Ako je f "(c) = 0, ništa ne možemo zaključiti.

primjer

S obzirom na funkciju f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², pronaći relativne maksimume i minimume f primjenjujući kriterij drugog izvedenice.

Najprije izračunamo f '(x) i f "(x) i imamo:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Sada, f '(x) = 0 ako i samo ako je 4x (x + 2) (x - 1) = 0, a to se događa kada je x = 0, x = 1 ili x = - 2.

Da bi se utvrdilo jesu li dobiveni kritični brojevi relativni ekstremi dovoljno je procijeniti u f 'i tako promatrati njegov znak.

f "(0) = - 8, tako da je f (0) lokalni maksimum.

f "(1) = 12, tako da je f (1) lokalni minimum.

f "(- 2) = 24, tako da je f (- 2) lokalni minimum.

Taylorova serija

Neka je f funkcija definirana na sljedeći način:

Ova funkcija ima radijus konvergencije R> 0 i ima derivate svih redova u (-R, R). Uzastopni derivati ​​f daju nam:

Uzimajući x = 0, možemo dobiti vrijednosti c_n na temelju njegovih derivata kako slijedi:

Ako uzmemo n = 0 kao funkciju f (to jest, f ^ 0 = f), tada možemo ponovno napisati funkciju na sljedeći način:

Sada razmotrimo funkciju kao niz moći u x = a:

Ako izvedemo analognu analizu na prethodnu, morali bismo napisati funkciju f kao:

Te serije poznate su kao Taylorov niz f u a. Kada je a = 0 imamo poseban slučaj koji se naziva Maclaurinov niz. Ova vrsta serija je od velike matematičke važnosti posebno u numeričkoj analizi, jer zahvaljujući njima možemo definirati funkcije u računalima kao što su^x , sin (x) i cos (x).

primjer

Get Maclaurin serije za e^x.

Imajte na umu da ako je f (x) = e^x, zatim f^(N)(x) = e^x i f^(N)(0) = 1, zbog čega je njegova Maclaurinova serija:

reference

1. Frank Ayres, J., i Mendelson, E. (s.f.). 5ed izračun. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). IZRAČUN s analitičkom geometrijom. HARLA, S.A..
3. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). računanje. Meksiko: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferencijalni izračun. hipotenuza.
5. Saenz, J. (s.f.). Sveobuhvatni račun. hipotenuza.