Aplikacije aditivne dekompozicije, particije, grafike



aditivna razgradnja pozitivnog cijelog broja izražava se kao zbroj dvaju ili više pozitivnih cijelih brojeva. Dakle, broj 5 se može izraziti kao 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 ili 5 = 1 + 2 + 2. Svaki od ovih načina pisanja broja 5 je ono što ćemo nazvati aditivna dekompozicija.

Ako obratimo pozornost, možemo vidjeti da izrazi 5 = 2 + 3 i 5 = 3 + 2 predstavljaju isti sastav; oba imaju iste brojeve. Međutim, samo radi praktičnosti, svaki od dodataka se obično piše prema kriteriju najmanje do najvišeg.

indeks

  • 1 Raspad aditiva
  • 2 kanonska aditivna razgradnja
  • 3 Aplikacije
    • 3.1 Primjer teorema
  • 4 Particije
    • 4.1 Definicija
  • 5 Grafika
  • 6 Reference

Aditivna razgradnja

Kao još jedan primjer možemo uzeti broj 27, koji možemo izraziti kao:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Aditivna dekompozicija je vrlo koristan alat koji nam omogućuje pojačavanje našeg znanja o sustavima numeriranja.

Aditivna kanonska razgradnja

Kada imamo brojeve od više od dvije brojke, poseban način njihovog razlaganja je u višekratnicima od 10, 100, 1000, 10 000, itd., Koji to čine. Taj način pisanja bilo kojeg broja naziva se kanonska aditivna dekompozicija. Na primjer, broj 1456 može se podijeliti na sljedeći način:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Ako imamo broj 20 846 295, njegova kanonska aditivna dekompozicija bit će:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Zahvaljujući toj dekompoziciji vidimo da je vrijednost dane znamenke određena pozicijom koju zauzima. Uzmite brojeve 24 i 42 kao primjer:

24 = 20 + 4

42 = 40 + 2

Ovdje možemo primijetiti da u 24 ima vrijednost 20 jedinica i 4 vrijednost 4 jedinice; s druge strane, u 42 četvrti ima vrijednost 40 jedinica i dvije od dvije jedinice. Dakle, iako oba broja koriste iste znamenke, njihove su vrijednosti potpuno različite u odnosu na poziciju koju zauzimaju.

aplikacije

Jedna od aplikacija koju možemo dati aditivnoj dekompoziciji je u određenoj vrsti demonstracija, u kojoj je vrlo korisno vidjeti pozitivan cijeli broj kao zbroj drugih..

Primjer teorema

Uzmimo kao primjer sljedeći teorem s odgovarajućim demonstracijama.

- Neka je Z cijeli broj od 4 znamenke, tada je Z djeljiv sa 5 ako je broj koji odgovara jedinicama nula ili pet.

predstava

Zapamtite što je djeljivost. Ako imamo "a" i "b" cijeli broj, kažemo da "a" dijeli "b" ako postoji cijeli broj "c" tako da b = a * c.

Jedno od svojstava djeljivosti govori nam da ako su "a" i "b" djeljive s "c", onda je oduzimanje "a-b" također djeljivo s "c".

Neka je Z cijeli broj od 4 znamenke; dakle, možemo napisati Z kao Z = ABCD.

Koristeći kanonsku aditivnu razgradnju imamo:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Jasno je da je A * 1000 + B * 100 + C * 10 djeljivo s 5. Za to imamo da je Z djeljivo s 5 ako je Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) djeljivo s 5.

Ali Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D i D je broj jedne figure, tako da je jedini način da je djeljiv s 5 da je 0 ili 5.

Stoga je Z djeljiv s 5 ako je D = 0 ili D = 5.

Imajte na umu da ako Z ima n znamenki, dokaz je potpuno isti, samo se mijenja da bismo sada napisali Z = A12... An a cilj bi bio dokazati da je An to je nula ili pet.

pregrade

Kažemo da je particija pozitivnog cijelog broja način na koji možemo napisati broj kao zbroj pozitivnih cijelih brojeva.

Razlika između aditivne dekompozicije i particije je da, dok je u prvoj namjeravano da se barem može dekomponirati na dva ili više dodataka, u particiji nemate ovo ograničenje.

Dakle, imamo sljedeće:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Gore su particije od 5.

To jest, imamo da je sva aditivna dekompozicija particija, ali nije svaka particija nužno aditivna dekompozicija.

U teoriji brojeva, temeljni teorem aritmetike jamči da se svaki cijeli broj može jedinstveno napisati kao proizvod rođaka.

Prilikom proučavanja particija, cilj je odrediti koliko načina možete napisati pozitivan cijeli broj kao zbroj drugih cijelih brojeva. Stoga definiramo funkciju particije kao što je prikazano u nastavku.

definicija

Particijska funkcija p (n) definirana je kao broj načina na koji se pozitivni cijeli broj n može napisati kao zbroj pozitivnih cijelih brojeva.

Vraćajući se na primjer 5, moramo:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Na taj način p (5) = 7.

grafički

I particije i aditivne dekompozicije broja n mogu se prikazati geometrijski. Pretpostavimo da imamo aditivnu razgradnju n. U ovoj razgradnji dodaci se mogu rasporediti tako da se članovi zbira naručuju od najniže do najviše. Onda vrijedi:

n = a1 + u2 + u3 +... + ar s

u1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ ar.

Možemo grafički prikazati ovu dekompoziciju na sljedeći način: u prvom redu označavamo1-bodova, zatim u sljedećem označavamo2-bodova, i tako dalje dok ne dođeter.

Uzmite broj 23 i sljedeću razgradnju kao primjer:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 + 3

Naručujemo ovu dekompoziciju i imamo:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Odgovarajući graf bi bio:

Isto tako, ako čitamo grafikon okomito umjesto horizontalno, možemo dobiti dekompoziciju koja se može razlikovati od prethodne. U primjeru 23 naglašava sljedeće:

Dakle, imamo 23 da ga možemo napisati kao:

23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.

reference

  1. G. H. Hardy i E. M. Wright. Uvod u teoriju brojeva. Oxford. Clarendon Press.
  2. Navarro C. Didaktička enciklopedija 6. Uvodnik Santillana, S.A..
  3. Navarro C.Veza s matematikom 6. Uvodnik Santillana, S.A..
  4. Niven & Zuckerman. Uvod u teoriju brojeva. Limusa.
  5. VV.AA Evaluacija Kriterij matematičkog područja: Model primarnog obrazovanja. Wolters Kluwer Obrazovanje.
  6. Didaktička enciklopedija 6.