Slučajevi i primjeri djelomičnih frakcija



djelomične frakcije oni su frakcije koje tvore polinomi, u kojima nazivnik može biti linearan ili kvadratni polinom i, osim toga, može se povisiti do neke snage. Ponekad, kada imamo racionalne funkcije, vrlo je korisno prepisati ovu funkciju kao zbroj djelomičnih frakcija ili jednostavnih frakcija.

To je zato što na ovaj način možemo bolje manipulirati tim funkcijama, posebno u onim slučajevima u kojima je potrebno integrirati ovu aplikaciju. Racionalna funkcija je jednostavno kvocijent između dva polinoma i može biti pravilan ili nepravilan.

Ako je stupanj polinoma brojnika manji od nazivnika, on se naziva vlastitom racionalnom funkcijom; inače je poznat kao nepravilna racionalna funkcija.

indeks

  • 1 Definicija
  • 2 Slučajevi
    • 2.1 Slučaj 1
    • 2.2 Slučaj 2
    • 2.3 Slučaj 3
    • 2.4 Slučaj 4
  • 3 Aplikacije
    • 3.1 Opsežan izračun
    • 3.2 Zakon masovnog djelovanja
    • 3.3 Diferencijalne jednadžbe: logistička jednadžba
  • 4 Reference

definicija

Kada imamo neispravnu racionalnu funkciju, možemo podijeliti polinom brojnika između polinoma nazivnika i tako prepisati frakciju p (x) / q (x) slijedeći algoritam podjele na t (x) + s (x) / q (x), gdje je t (x) polinom i s (x) / q (x) je racionalna funkcija.

Djelomična frakcija je bilo koja ispravna funkcija polinoma, čiji je nazivnik u obliku (ax + b)n o (sjekira2+ bx + c)n, ako je polinomska sjekira2 + bx + c nema stvarne korijene, a n je prirodni broj.

Kako bi se racionalna funkcija preradila u djelomičnim frakcijama, prvo je potrebno faktor imenovati q (x) kao proizvod linearnih i / ili kvadratnih faktora. Kada se to učini, određuju se djelomične frakcije, koje ovise o prirodi navedenih faktora.

slučajevi

Razmatramo nekoliko slučajeva zasebno.

Slučaj 1

Faktori q (x) su svi linearni i nitko se ne ponavlja. To je:

q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ... (aax + ba)

Tamo, linearni faktor nije identičan drugom. Kada dođe do ovog slučaja, pisat ćemo:

p (x) / q (x) = A1/ (a1x + b1) + A2/ (a2x + b2) ... + Aa/ (aax + ba).

Gdje je A1,2,..., Aa su konstante koje želite pronaći.

primjer

Racionalnu funkciju želimo razložiti na jednostavne frakcije:

(x - 1) / (x3+3x2+2x)

Nastavljamo faktorizirati nazivnik, to jest:

x3 + 3x2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)

tada je:

(x - 1) / (x3+3x2+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Primjenom najmanje zajedničkog višekratnika, možete dobiti sljedeće:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Želimo dobiti vrijednosti konstanti A, B i C, koje se mogu pronaći zamjenom korijena koji poništavaju svaki od uvjeta. Zamjenjujući 0 za x imamo:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Zamjena - 1 za x imamo:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Zamjenom - 2 za x imamo:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2 ° C

C = -3/2.

Na taj način dobivene su vrijednosti A = -1/2, B = 2 i C = -3/2..

Postoji još jedna metoda za dobivanje vrijednosti A, B i C. Ako je na desnoj strani jednadžbe x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x +) 1) x kombiniramo pojmove, imamo:

x - 1 = (A + B + C) x2 + (3A + 2B + C) x + 2A.

Budući da je to jednakost polinoma, imamo da su koeficijenti lijeve strane jednaki onima na desnoj strani. To rezultira sljedećim sustavom jednadžbi:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Pri rješavanju ovog sustava jednadžbi dobivamo rezultate A = -1/2, B = 2 i C = -3/2.

Konačno, zamjenjujući dobivene vrijednosti moramo:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Slučaj 2

Faktori q (x) su svi linearni, a neki se ponavljaju. Pretpostavimo da je (ax + b) faktor koji se ponavlja "s" puta; dakle, tom faktoru odgovaraju suma djelomičnih frakcija "s".

a/ (ax + b)a + s-1/ (ax + b)s-1 +... + A1/ (ax + b).

Gdje je Aa,s-1,..., A1 one su konstante koje treba odrediti. Slijedećim primjerom pokazat ćemo kako odrediti te konstante.

primjer

Razlaganje u djelomične frakcije:

(x - 1) / (x2(x - 2)3)

Pišemo racionalnu funkciju kao zbroj djelomičnih frakcija kako slijedi:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = A / x2 + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)2 + E / (x - 2).

tada je:

x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + Cx2 + D (x - 2) x2 + E (x - 2)2x2

Zamjenjujući 2 za x, moramo:

7 = 4C, to jest, C = 7/4.

Zamjenjujući 0 za x imamo:

- 1 = -8A ili A = 1/8.

Zamjenjujući ove vrijednosti u prethodnu jednadžbu i razvijajući, moramo:

x - 1 = 1/8 (x3 - 6x2 + 12x - 8) + Bx (x3 - 6x2 + 12x - 8) + 7 / 4x2 +Dx3 - 2Dx2 + bivši2(x2 - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x2 +(3/2 - 8B) x - 1.

Odgovarajući koeficijenti dobivamo sljedeći sustav jednadžbi:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Rješavajući sustav, imamo:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Zbog toga moramo:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = (1/8) / x2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)2 - (3/16) / (x - 2).

Slučaj 3

Faktori q (x) su kvadratne linearne, bez kvadratnog faktora koji se ponavlja. U ovom slučaju kvadratni faktor (sjekira2 + bx + c) odgovara djelomičnoj frakciji (Ax + B) / (sjekira)2 + bx + c), gdje su konstante A i B one koje želite odrediti.

Sljedeći primjer pokazuje kako postupiti u ovom slučaju

primjer

Razložite na jednostavne frakcije a (x + 1) / (x3 - 1).

Prvo prelazimo na faktor nazivnika koji nam daje kao rezultat:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

To možemo vidjeti (x2 + x + 1) je nezamjenjiv kvadratni polinom; to jest, nema stvarne korijene. Njegova dekompozicija u djelomične frakcije bit će kako slijedi:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x + 1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + x +1)

Iz toga se dobiva sljedeća jednadžba:

x + 1 = (A + B) x2 +(A - B + C) x + (A - C)

Koristeći jednakost polinoma dobivamo sljedeći sustav:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

Iz tog sustava imamo A = 2/3, B = - 2/3 i C = 1/3. Zamjenjujući, moramo:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x2 + x +1).

Slučaj 4

Konačno, slučaj 4 je onaj u kojem su faktori q (x) linearni i kvadratni, gdje se ponavljaju neki od linearnih kvadratnih faktora.

U ovom slučaju, da (sjekira2 + bx + c) je kvadratni faktor koji se ponavlja "s" puta, zatim djelomična frakcija koja odgovara faktoru (ax)2 + bx + c) će biti:

(A1x + B) / (sjekira2 + bx + c) + ... + (As-1x + Bs-1) / (sjekira)2 + bx + c)s-1 + (Aax + Ba) / (sjekira)2 + bx + c)a

Gdje je Aa, s-1,..., A i Ba, Bs-1,..., B su konstante koje želite odrediti.

primjer

Želimo razbiti sljedeću racionalnu funkciju u djelomične frakcije:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2)

Kao x2 - 4x + 5 je nesvodiv kvadratni faktor, imamo da je njegova dekompozicija u djelomične frakcije dana:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2= A / x + (Bx + C) / (x2 - 4x + 5) + (Dx + E) / (x2 - 4x + 5)2

Pojednostavljujući i razvijajući, imamo:

x - 2 = A (x2 - 4x + 5)2 + (Bx + C) (x2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x4 + (- 8A - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) x2 + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Iz navedenog imamo sljedeći sustav jednadžbi:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Prilikom rješavanja sustava moramo:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 i E = - 3/5.

Kod zamjene dobivenih vrijednosti imamo:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2= -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x2 - 4x + 5) + (2x - 3) / 5 (x2 - 4x + 5)2

aplikacije

Sveobuhvatni izračun

Djelomične frakcije uglavnom se koriste za proučavanje integralnog računa. U nastavku ćemo vidjeti neke primjere kako napraviti integrale korištenjem djelomičnih frakcija.

Primjer 1

Želimo izračunati integral od:

Možemo vidjeti da nazivnik q (x) = (t + 2)2(t + 1) se sastoji od linearnih faktora gdje se jedno od ovih ponavlja; za to smo u slučaju 2.

Moramo:

1 / (t + 2)2(t + 1) = A / (t + 2)2 +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Prepisujemo jednadžbu i imamo:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)2

Ako je t = - 1, moramo:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Ako je t = - 2, daje nam:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Zatim, ako je t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Zamjenom vrijednosti A i C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Iz navedenog imamo da je B = - 1.

Prepisujemo integralni dio kao:

Nastavljamo ga rješavati metodom supstitucije:

To rezultira:

Primjer 2

Riješite sljedeći integral:

U ovom slučaju možemo faktor na q (x) = x2 - 4 kao q (x) = (x - 2) (x + 2). Jasno je da smo u slučaju 1. Stoga:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Također se može izraziti kao:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Ako je x = - 2, imamo:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

A ako je x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Dakle, moramo riješiti zadani integralni ekvivalent riješiti:

To nam daje rezultat:

Primjer 3

Riješite integral:

Imamo q (x) = 9x4 + x2 , da možemo faktor u q (x) = x2(9x2 + 1).

Ovom prilikom imamo ponovljeni linearni faktor i kvadratni faktor; to jest, mi smo u slučaju 3.

Moramo:

1 / x2(9x2 + 1) = A / x2 + B / x + (Cx + D) / (9x2 + 1)

1 = A (9x2 + 1) + Bx (9x2 + 1) + Cx2 + Dx2

Grupiranjem i korištenjem jednakosti polinoma, imamo:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Iz ovog sustava jednadžbi moramo:

D = - 9 i C = 0

Na taj način imamo:

Rješavajući gore navedeno, imamo:

Zakon masovnog djelovanja

Zanimljiva primjena djelomičnih frakcija primijenjenih na integralni račun nalazi se u kemiji, točnije u zakonu masovnog djelovanja.

Pretpostavimo da imamo dvije supstance A i B, koje se spajaju i tvore supstancu C, tako da je derivat količine C u odnosu na vrijeme proporcionalan proizvodu količina A i B u bilo kojem trenutku.

Zakon masovnog djelovanja možemo izraziti na sljedeći način:

U ovom izrazu α je početna količina grama koja odgovara A i β početnoj količini grama koja odgovara B.

Dodatno, r i s predstavljaju broj grama A i B, koji se kombiniraju tako da tvore r + s grama C. Za njegov dio, x predstavlja broj grama tvari C u vremenu t, a K je konstantu proporcionalnosti. Gornja jednadžba može se prepisati kao:

Izvršite sljedeću izmjenu:

Imamo da jednadžba postaje:

Iz ovog izraza možemo dobiti:

Gdje da a ≠ b, djelomične frakcije mogu se koristiti za integraciju.

primjer

Uzmimo na primjer tvar C koja proizlazi iz kombiniranja tvari A s B, na način da se zadovolji zakon masa gdje su vrijednosti a i b 8 i 6. Dajte jednadžbu koja nam daje vrijednost grama C kao funkciju vremena.

Zamjenjujući vrijednosti u danom masovnom zakonu, imamo:

Prilikom odvajanja varijabli imamo:

Ovdje 1 / (8 - x) (6 - x) može biti zapisano kao zbroj djelomičnih frakcija, kako slijedi:

Dakle, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Ako zamijenimo x za 6, imamo da je B = 1/2; i zamjenjujući x za 8, imamo A = - 1/2.

Integriranje pomoću djelomičnih frakcija imamo:

To nam daje rezultat:

Diferencijalne jednadžbe: logistička jednadžba

Druga primjena koja se može dati djelomičnim frakcijama je u logističkoj diferencijalnoj jednadžbi. U jednostavnim modelima imamo da je stopa rasta populacije proporcionalna njezinoj veličini; to jest:

Ovaj slučaj je idealan i smatra se realnim sve dok se ne dogodi da su resursi dostupni u sustavu nedovoljni za održavanje populacije.

U takvim je situacijama razumnije misliti da postoji maksimalni kapacitet, kojeg ćemo nazvati L, koji sustav može izdržati, te da je stopa rasta proporcionalna veličini populacije pomnožena s raspoloživom veličinom. Ovaj argument dovodi do sljedeće diferencijalne jednadžbe:

Ovaj izraz se naziva logistička diferencijalna jednadžba. To je odvojiva diferencijalna jednadžba koja se može riješiti metodom integracije djelomičnim frakcijama.

primjer

Primjer bi bio uzeti populaciju koja raste prema sljedećoj logističkoj diferencijalnoj jednadžbi y '= 0,0004y (1000 - y), čiji su početni podaci 400. Želimo znati veličinu populacije u trenutku t = 2, gdje je t izmjeren u godinama.

Ako napišemo a i 's oznakom Leibniz kao funkciju koja ovisi o t, moramo:

Integral lijeve strane može se riješiti metodom integracije djelomičnim frakcijama:

Ova posljednja jednakost može se prepisati na sljedeći način:

- Zamjenom y = 0 imamo A jednako 1/1000.

- Zamjenom y = 1000 imamo da je B jednako 1/1000.

S tim vrijednostima preostao je integral:

Rješenje je:

Korištenje početnih podataka:

Kada izbrišete i ostavimo:

Tada imamo to pri t = 2:

Zaključno, nakon 2 godine veličina populacije je otprilike 597,37.

reference

  1. A, R. A. (2012). Matematika 1. Sveučilište Anda. Vijeće za publikacije.
  2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 riješenih integrala. Nacionalno eksperimentalno sveučilište u Tachiri.
  3. Leithold, L. (1992). IZRAČUN s analitičkom geometrijom. HARLA, S.A..
  4. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). računanje. Meksiko: Pearson Education.
  5. Saenz, J. (s.f.). Sveobuhvatni račun. hipotenuza.