Povijest euklidske geometrije, osnovni pojmovi i primjeri

Euklidska geometrija odgovara proučavanju svojstava geometrijskih prostora gdje su zadovoljeni aksiomi Euklida. Iako se ovaj pojam ponekad koristi za obuhvaćanje geometrija koje imaju superiorne dimenzije sa sličnim svojstvima, obično je sinonim za klasičnu geometriju ili ravnu geometriju..

U trećem stoljeću a. C. Euclid i njegovi učenici su napisali elementi, djelo koje je obuhvatilo matematičko znanje vremena obdarenog logičko-deduktivnom strukturom. Od tada je geometrija postala znanost, u početku za rješavanje klasičnih problema i evoluirala u formativnu znanost koja pomaže u razboritosti.

indeks

• 1 Povijest
• 2 Osnovni pojmovi
  • 2.1 Zajedničke predodžbe
  • 2.2 Postulati ili aksiomi
• 3 Primjeri
  • 3.1 Prvi primjer
  • 3.2 Drugi primjer
  • 3.3 Treći primjer
• 4 Reference

povijest

Da bismo govorili o povijesti euklidske geometrije, neophodno je početi s Euklidom u Aleksandriji i elementi.

Kada je Egipat bio u rukama Ptolomeja I, nakon smrti Aleksandra Velikog, on je započeo svoj projekt u školi u Aleksandriji.

Među mudracima koji su podučavali u školi bio je Euclid. Pretpostavlja se da mu je rođenje otprilike 325 a. C. i njegova smrt 265 a. C. Možemo sa sigurnošću znati da je otišao u Platonovu školu.

Više od trideset godina Euclid je podučavao u Aleksandriji, gradeći svoje poznate elemente: počeo je pisati iscrpan opis matematike svoga vremena. Euklidova učenja su proizvela izvrsne učenike, kao što su Arhimed i Apolonije iz Perge.

Euclid je bio odgovoran za strukturiranje različitih otkrića klasičnih Grka u elementi, ali za razliku od svojih prethodnika, ne ograničava se samo na tvrdnju da je teorem istinit; Euclides nudi demonstraciju.

elementi Oni su zbirka trinaest knjiga. Nakon Biblije, to je najtiražnija knjiga s više od tisuću izdanja.

elementi je remek-djelo Euklida na području geometrije i nudi definitivno tretiranje geometrije dviju dimenzija (ravnina) i tri dimenzije (prostor), a to je izvor onoga što danas znamo kao euklidsku geometriju.

Osnovni pojmovi

Elementi su sastavljeni od definicija, zajedničkih pojmova i postulata (ili aksioma), nakon kojih slijede teoremi, konstrukcije i demonstracije.

- Točka je ona koja nema dijelova.

- Crta je duljine koja nema širinu.

- Ravna crta je ona koja leži jednako u odnosu na točke koje se nalaze u ovome.

- Ako su dva reza tako izrezana da su susjedni kutovi jednaki, kutovi se nazivaju ravnim, a linije se nazivaju okomice..

- Paralelne linije su one koje se, u istoj ravnini, nikada ne režu.

Nakon tih i drugih definicija, Euclid predstavlja popis od pet postulata i pet pojmova.

Uobičajeni pojmovi

- Dvije stvari koje su jednake trećini jednake su jedna drugoj.

- Ako se istim stvarima dodaju jednake stvari, rezultati su isti.

- Ako se jednake stvari oduzmu od istih stvari, rezultati su isti.

- Stvari koje se međusobno slažu jednake su jedna drugoj.

- Ukupna vrijednost je veća od dijela.

Postulati ili aksiomi

- Za dvije različite točke prolazi jedna i samo jedna linija.

- Ravne crte mogu se proširiti beskonačno.

- Možete nacrtati krug s bilo kojim središtem i bilo kojim polumjerom.

- Svi pravi kutovi su isti.

- Ako pravac prelazi dvije ravne crte tako da unutarnji kutovi iste strane dodaju manje od dva pravca, tada se dvije crte sijeku na toj strani.

Ovaj posljednji postulat poznat je kao postulat paralela i preformuliran je kako slijedi: "Za točku izvan linije, možete nacrtati jednu paralelu s danom linijom".

Primjeri

Zatim, neki teoremi elementi poslužit će za prikazivanje svojstava geometrijskih prostora gdje su ispunjeni pet postulata Euklida; Osim toga, oni će ilustrirati logičko-deduktivno rezoniranje koje ovaj matematičar koristi.

Prvi primjer

Prijedlog 1.4. (LAL)

Ako dva trokuta imaju dvije strane, a kut između njih jednak, onda su druge strane i drugi kutovi jednaki.

predstava

Neka su ABC i A'B'C 'dva trokuta s AB = A'B', AC = A'C ', a kutovi BAC i B'A'C' jednaki. Pomaknite se u trokut A'B'C 'tako da se A'B' podudara s AB i da se kut B'A'C 'podudara s kutom BAC.

Tada se linija A'C 'podudara s linijom AC, tako da se C' podudara s C. Tada se, postulatom 1, linija BC mora podudarati s linijom B'C '. Stoga se dva trokuta podudaraju i, prema tome, njihovi kutovi i strane su jednaki.

Drugi primjer

Prijedlog 1.5. (Pons Asinorum)

Ako trokut ima dvije jednake strane, onda su kutovi nasuprot tim stranicama jednaki.

predstava

Pretpostavimo da trokut ABC ima jednake strane AB i AC.

Tada trokuti ABD i ACD imaju dvije jednake strane, a kutovi između njih su jednaki. Prema tome, prema tvrdnji 1.4, kutovi ABD i ACD su jednaki.

Treći primjer

Prijedlog 1.31

Možete izgraditi liniju paralelnu liniji koju daje određena točka.

izgradnja

S obzirom na liniju L i točku P, nacrtana je ravna linija M koja prolazi kroz P i presijeca u L. Tada P povlači pravac N koji seče na L. Sada, P slijedimo ravan N koji reže na M, tvoreći kut jednak onom koji L formira s M.

potvrđivanje

N je paralelan s L.

predstava

Pretpostavimo da L i N nisu paralelni i presijecaju se u točki A. Neka je B točka na L iza A. Razmotrimo pravac O koji prolazi kroz B i P. Zatim, O izrežemo na M i oblikujemo kutove koji dodaju manje od dva ravno.

Zatim se pomoću 1,5 linija O mora izrezati na pravac L s druge strane M, tako da se L i O sijeku na dvije točke, što je u suprotnosti s postulatom 1. Stoga, L i N moraju biti paralelni..

reference

1. Euklidski elementi geometrije. Nacionalno autonomno sveučilište u Meksiku
2. Euclides. Prvih šest knjiga i jedanaesti i dvanaesti element Euklida
3. Eugenio Filloy Yague. Didaktika i povijest euklidske geometrije Iberoamerička urednička skupina
4. K.Ribnikov. Povijest matematike Mir Editorial
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Flat Analytical Geometry. Venezuelan C. C. Uvodnik.