Metoda linearne interpolacije, riješene vježbe



linearna interpolacija je metoda koja potječe od opće interpolacije Newtona i omogućuje aproksimacijom odrediti nepoznatu vrijednost koja je između dva zadana broja; to jest, postoji srednja vrijednost. Primjenjuje se i na aproksimativne funkcije, gdje su vrijednosti f(A) i f(B) oni su poznati i želite znati posrednika od f(X).

Postoje različite vrste interpolacije, kao što su linearni, kvadratni, kubni i viši stupnjevi, najjednostavniji je linearna aproksimacija. Cijena koja se mora platiti linearnom interpolacijom je da rezultat neće biti toliko točan kao kod aproksimacija funkcija viših razreda.

indeks

  • 1 Definicija
  • 2 Metoda
  • 3 vježbe riješene
    • 3.1 Vježba 1
    • 3.2 Vježba 2
  • 4 Reference

definicija

Linearna interpolacija je proces koji vam omogućuje zaključivanje vrijednosti između dvije dobro definirane vrijednosti, koje mogu biti u tablici ili u linearnom grafu.

Na primjer, ako znate da 3 litre mlijeka vrijedi 4 dolara i da 5 litara vrijedi 7 dolara, ali želite znati koja je vrijednost od 4 litre mlijeka, interpolirane kako biste utvrdili da je srednja vrijednost.

način

Za procjenu srednje vrijednosti funkcije funkcija f je aproksimirana(X) pomoću ravne linije r(X), što znači da se funkcija linearno mijenja s "x" za rastezanje "x = a" i "x = b"; to jest, za "x" vrijednost u intervalu (x0, x1) i (i0, i1), vrijednost "y" je dana crtom između točaka i izražena je sljedećim odnosom:

(i - i0) ÷ (x - x0) = (i1 - i0) ÷ (x1 - x0)

Da bi interpolacija bila linearna, potrebno je da interpolacijski polinom ima stupanj jedan (n = 1), tako da se prilagođava vrijednostima x0 i x1.

Linearna interpolacija temelji se na sličnosti trokuta, tako da, dobivši geometrijski iz prethodnog izraza, možemo dobiti vrijednost "y", koja predstavlja nepoznatu vrijednost za "x"..

Na taj način morate:

a = tan Ɵ = (suprotna strana1 Ent susjedna noga1) = (suprotna strana2 Ent susjedna noga2)

Izraženo na drugi način, to je:

(i - i0) ÷ (x - x0) = (i1 - i0) ÷ (x1 - x0)

Brisanje izraza "i", imate:

(i - i0) * (x1 - x0) = (x - x0) * (i1 - i0)

(i - i0) = (i1 - i0) * (x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Tako dobivamo opću jednadžbu za linearnu interpolaciju:

y = y0 + (i1 - i0) * (x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Općenito, linearna interpolacija daje malu grešku u odnosu na stvarnu vrijednost prave funkcije, iako je pogreška minimalna u usporedbi s ako intuitivno odaberete broj u blizini onoga koji želite pronaći.

Ta se pogreška pojavljuje kada pokušate približiti vrijednost krivulje ravnom linijom; u tim slučajevima veličina intervala mora biti smanjena kako bi aproksimacija bila preciznija.

Za bolje rezultate u odnosu na pristup, preporučljivo je koristiti funkcije stupnja 2, 3 ili čak viši stupanj za izvođenje interpolacije. Za te slučajeve Taylorov teorem je vrlo koristan alat.

Riješene vježbe

Vježba 1

Broj bakterija po jedinici volumena koji postoji u inkubaciji nakon x sati prikazan je u sljedećoj tablici. Želite znati što je volumen bakterija za vrijeme od 3,5 sata.

otopina

Referentna tablica ne uspostavlja vrijednost koja pokazuje količinu bakterija u vremenu od 3,5 sata, ali ima više i niže vrijednosti koje odgovaraju vremenu od 3 odnosno 4 sata. Na taj način:

x0 = 3 i0 = 91

x = 3,5 y =?

x1 = 4 i1 = 135

Sada se matematička jednadžba primjenjuje kako bi se pronašla interpolirana vrijednost, koja je sljedeća:

y = y0 + (i1 - i0) * (x - x0) ÷ (x1 - x0)].

Zatim se zamjenjuju odgovarajuće vrijednosti:

y = 91 + (135 - 91) * [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 * 0.5

y = 113.

Tako je dobiveno da za vrijeme od 3,5 sata količina bakterija iznosi 113, što predstavlja srednju razinu između volumena bakterija koji postoji u vremenu od 3 i 4 sata..

Vježba 2

Luis ima tvornicu sladoleda, a on želi napraviti studiju kako bi odredio dohodak koji je imao u kolovozu od troškova. Upravitelj tvrtke pravi grafikon koji izražava tu vezu, ali Luis želi znati:

Koji su prihodi za kolovoz, ako je napravljen trošak od 55.000 USD??

otopina

Prikazan je grafikon s vrijednostima prihoda i rashoda. Luis želi znati koliki je dohodak u kolovozu ako je tvornica imala trošak od 55.000 dolara. Ova se vrijednost ne odražava izravno na grafikonu, ali su vrijednosti veće i niže od toga.

Prvo se napravi tablica gdje se lako povezuju vrijednosti:

Sada se formula interpolacije koristi za određivanje vrijednosti y

y = y0 + (i1 - i0) * (x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Zatim se zamjenjuju odgovarajuće vrijednosti:

y = 56,000 + (78,000 - 56,000) * [(55.000 - 45.000) ÷ (62.000 - 45.000)]

y = 56,000 + (22,000) * [(10,000) ÷ (17,000)]

y = 56,000 + (22,000) * (0,588)

y = 56,000 + 12,936

y = 68.936 USD.

Ako je u kolovozu ostvaren trošak od 55.000 USD, prihod je iznosio 68.936 USD.

reference

  1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Obrazovanje Pearson.
  2. Harpe, P. d. (2000). Teme u geometrijskoj teoriji grupa. Sveučilište Chicago Press.
  3. Hazewinkel, M. (2001). Linearna interpolacija ", Enciklopedija matematike.
  4. , J. M. (1998). Elementi numeričkih metoda za inženjerstvo. UASLP.
  5. , E. (2002). Kronologija interpolacije: od drevne astronomije do moderne obrade signala i slike. Zbornik radova IEEE-a.
  6. numerički, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.