Diskretna matematika što služe, teorija skupova

diskretna matematika odgovaraju području matematike koje je odgovorno za proučavanje skupa prirodnih brojeva; to jest, skup konačnih i beskonačnih brojljivih brojeva gdje se elementi mogu računati zasebno, jedan po jedan.

Ti su skupovi poznati kao diskretni skupovi; Primjer ovih skupova su cijeli brojevi, grafikoni ili logički izrazi, a primjenjuju se u različitim područjima znanosti, uglavnom u računalstvu ili računalstvu.

indeks

• 1 Opis
• 2 Za što su diskretna matematika??
  • 2.1 Kombinator
  • 2.2 Teorija diskretne distribucije
  • 2.3 Teorija informacija
  • 2.4 Računanje
  • 2.5 Kriptografija
  • 2.6 Logika
  • 2.7 Teorija grafova
  • 2.8 Geometrija
• 3 Teorija skupova
  • 3.1 Konačni skup
  • 3.2 Beskonačni skup računovodstva
• 4 Reference

opis

U diskretnim matematičkim procesima računaju se na temelju cijelih brojeva. To znači da se ne koriste decimalni brojevi i stoga se ne koriste aproksimacija ili ograničenja, kao u drugim područjima. Na primjer, jedna nepoznanica može biti jednaka 5 ili 6, ali nikad 4,99 ili 5,9.

S druge strane, u grafičkom prikazu varijable će biti diskretne i dane iz konačnog skupa točaka, koje se broje jedna po jedna, kao što se vidi na slici:

Diskretna matematika rađa se potrebom da se dobije točna studija koja se može kombinirati i testirati, primijeniti je u različitim područjima.

Za što su diskretna matematika??

Diskretna matematika koristi se u više područja. Među glavnim su:

kombinatoričan

Proučite konačne skupove gdje se elementi mogu naručiti ili kombinirati i brojati.

Teorija diskretne distribucije

Proučavanje događaja koji se događaju u prostorima gdje se uzorci mogu brojiti, u kojima se kontinuirane raspodjele koriste za aproksimaciju diskretnih raspodjela, ili na drugi način.

Teorija informacija

Odnosi se na kodiranje informacija koje se koriste za oblikovanje i prijenos i pohranu podataka, kao što su, na primjer, analogni signali.

računanje

Kroz diskretne matematičke probleme rješavaju se pomoću algoritama, kao i proučavanjem onoga što se može izračunati i vremena koje je potrebno za to (složenost).

Važnost diskretne matematike u ovom području povećala se posljednjih desetljeća, posebno za razvoj programskih jezika i softver.

kriptografija

Temelji se na diskretnoj matematici za stvaranje sigurnosnih struktura ili metoda šifriranja. Primjer ove aplikacije su lozinke koje zasebno šalju bitove koji sadrže informacije.

Kroz proučavanje svojstava prirodnih brojeva i prostih brojeva (teorija brojeva) mogu se stvoriti ili uništiti te sigurnosne metode.

logika

Koriste se diskretne strukture koje obično tvore konačni skup kako bi se dokazali teoremi ili, na primjer, verificirali softver.

Teorija grafova

Omogućuje rješavanje logičkih problema pomoću čvorova i linija koje tvore vrstu grafa, kao što je prikazano na sljedećoj slici:

To je područje usko povezano s diskretnom matematikom jer su algebarski izrazi diskretni. Time se razvijaju elektronički sklopovi, procesori, programiranje (Booleova algebra) i baze podataka (relacijske algebre)..

geometrija

Proučite kombinatorna svojstva geometrijskih objekata, kao što je premazivanje ravnine. S druge strane, računalna geometrija omogućuje razvijanje geometrijskih problema primjenom algoritama.

Teorija skupova

U diskretnim matematičkim skupovima (konačnim i beskonačnim brojevima) glavni su cilj istraživanja. Teoriju skupova objavio je George Cantor, koji je pokazao da su svi beskonačni setovi iste veličine.

Skup je skup elemenata (brojeva, stvari, životinja i ljudi, među ostalima) koji su dobro definirani; to jest, postoji odnos prema kojem svaki element pripada skupu i izražava se, na primjer, na ∈ A.

U matematici postoje različiti skupovi koji grupiraju određene brojeve prema svojim karakteristikama. Tako, na primjer, imate:

- Skup prirodnih brojeva N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞.

- Skup cijelih brojeva E = -∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞.

- Podskup racionalnih brojeva Q * = -∞ ..., - ¼, - ½, 0, ¼, ½, ... ∞.

- Skup realnih brojeva R = -∞ ..., - ½, -1, 0, ½, 1, ... ∞.

Skupovi su imenovani slovima slova, velikim slovima; dok su elementi nazvani malim slovima, unutar zagrada () i odvojeni zarezima (,). Oni su obično prikazani u dijagramima poput Vennovih i Carollovih, kao i računski.

S osnovnim operacijama kao što su unija, sjecište, komplement, razlika i kartezijanski proizvod, skupovi i njihovi elementi se upravljaju na temelju odnosa pripadnosti.

Postoji nekoliko vrsta skupova, od kojih je najviše diskutirana u diskretnoj matematici:

Konačni skup

To je onaj koji ima konačan broj elemenata i koji odgovara prirodnom broju. Tako, na primjer, A = 1, 2, 3,4 je konačni skup koji ima 4 elementa.

Beskonačni skup računovodstva

To je ona u kojoj postoji podudarnost između elemenata skupa i prirodnih brojeva; to jest, da se iz elementa može navesti redom svi elementi skupa.

Na taj način svaki element odgovara svakom elementu skupa prirodnih brojeva. Na primjer:

Skup brojeva Z = ... -2, -1, 0, 1, 2 ... može biti naveden kao Z = 0, 1, -1, 2, -2 .... Na taj način moguće je napraviti jedan-na-jedan korespondenciju između elemenata Z i prirodnih brojeva, kao što je prikazano na sljedećoj slici:

To je metoda kojom se rješavaju kontinuirani problemi (modeli i jednadžbe) koji se moraju pretvoriti u diskretne probleme u kojima je rješenje poznato aproksimacijom rješenja kontinuiranog problema..

Gledano na drugi način, diskretizacija pokušava izvući konačnu količinu iz beskonačnog skupa točaka; na taj se način kontinuirana jedinica pretvara u pojedinačne jedinice.

Općenito se ova metoda koristi u numeričkoj analizi, kao na primjer u rješavanju diferencijalne jednadžbe, pomoću funkcije koja je predstavljena konačnom količinom podataka u svojoj domeni, čak i kada je kontinuirana.

Drugi primjer diskretizacije je njegova upotreba za pretvaranje analognog signala u digitalni, kada se kontinuirane jedinice signala pretvaraju u pojedinačne jedinice (one su diskretizirane), a zatim kodiraju i kvantiziraju radi dobivanja digitalnog signala.

reference

1. Grimaldi, R.P. (1997). Diskretna i kombinatorna matematika. Addison Wesley Iberoamericana.
2. Ferrando, V. Gregori. (1995). Diskretna matematika Reverte.
3. Jech, T. (2011). Postavite teoriju. Stanfordova enciklopedija filozofije.
4. José Francisco Villalpando Becerra, A.G. (2014). Diskretna matematika: aplikacije i vježbe. Patria Editorial Group.
5. Landau, R. (2005). Računarstvo, prvi tečaj znanstvenog.
6. Merayo, F. G. (2005). Diskretna matematika. Thomson Editorial.
7. Rosen, K.H. (2003). Diskretna matematika i njezine primjene. McGraw-Hill.
8. Schneider, D.G. (1995). Logički pristup diskretnoj matematici.