Metoda minimalnog kvadrata, riješene vježbe i ono što služi



Metoda najmanji kvadrati jedna je od najvažnijih primjena u aproksimaciji funkcija. Ideja je pronaći krivulju takvu da, s obzirom na skup uređenih parova, ova funkcija bolje aproksimira podatke. Funkcija može biti linija, kvadratna krivulja, kubična krivulja, itd..

Ideja metode je minimiziranje zbroja kvadrata razlika u ordinatama (komponenta Y), između točaka generiranih odabranom funkcijom i točaka koje pripadaju skupu podataka.

indeks

  • 1 metoda najmanjih kvadrata
  • 2 Vježbe riješene
    • 2.1 Vježba 1
    • 2.2 Vježba 2
  • 3 Za što je namijenjen??
  • 4 Reference

Metoda najmanjih kvadrata

Prije davanja metode prvo moramo biti jasni što znači "bolji pristup". Pretpostavimo da tražimo liniju y = b + mx koja najbolje predstavlja skup od n točaka, odnosno (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn).

Kao što je prikazano na prethodnoj slici, ako su varijable x i y povezane linijom y = b + mx, tada za x = x1 odgovarajuća vrijednost y bila bi b + mx1. Međutim, ova vrijednost se razlikuje od stvarne vrijednosti y, koja je y = y1.

Sjetite se da je u ravnini udaljenost između dvije točke dana sljedećom formulom:

Imajući to na umu, kako bi odredili kako odabrati liniju y = b + mx koja najbolje aproksimira dane podatke, ima smisla koristiti odabir linije koja minimizira zbroj kvadrata udaljenosti između točaka kao kriterij. i ravno.

Kako je udaljenost između točaka (x1, y1) i (x1, b + mx1) y1- (b + mx1), naš je problem sveden na pronalaženje brojeva m i b tako da je sljedeća suma minimalna:

Linija koja ispunjava taj uvjet poznata je kao "aproksimacija linije najmanjih kvadrata na točke (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

Jednom kada se problem riješi, moramo odabrati metodu za pronalaženje aproksimacije najmanjih kvadrata. Ako su točke (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) sve na liniji y = mx + b, trebamo biti kolinearne i:

U ovom izrazu:

Konačno, ako točke nisu kolinearne, tada y-Au = 0 i problem se može prevesti u pronalaženje vektora ili tako da je euklidska norma minimalna.

Pronalaženje minimizirajućeg vektora nije tako teško kao što mislite. Budući da je A matrica nx2 i u je matrica 2 × 1, imamo da je vektor Au vektor u Rn i pripada slici A, koja je podprostor Rn s dimenzijom ne većom od dvije.

Pretpostavit ćemo da je n = 3 pokazati koji je postupak koji treba slijediti. Ako je n = 3, slika A bit će ravnina ili linija koja prolazi kroz podrijetlo.

Neka v bude minimizirajući vektor. Na slici vidimo da je y-Au minimiziran kada je ortogonalan slici A. To jest, ako je v vektor minimiziranja, onda se događa da:

Zatim, možemo izraziti gore na ovaj način:

To se može dogoditi samo ako:

Konačno, uklanjanjem v, moramo:

To je moguće učiniti još od vremena AtA je inverzibilan sve dok n točaka danih kao podaci nisu kolinearne.

Sada, ako umjesto traženja linije želimo pronaći parabolu (čiji bi izraz imao oblik y = a + bx + cx)2) koja je bila bolja aproksimacija n točaka podataka, postupak bi bio opisan u nastavku.

Ako bi n točaka podataka bilo u navedenoj paraboli, moralo bi:

tada je:

Na sličan način možemo napisati y = Au. Ako sve točke nisu u paraboli, imamo da je y-Au različit od nule za bilo koji vektor u i naš problem je opet: naći vektor u u R3 tako da njegova norma || y-Au || budite što manji.

Ponavljanjem prethodnog postupka možemo doći do vektora koji se traži:

Riješene vježbe

Vježba 1

Pronađite liniju koja najbolje odgovara točkama (1,4), (-2,5), (3, -1) i (4,1).

otopina

Moramo:

tada je:

Stoga zaključujemo da je linija koja najbolje odgovara točkama:

Vježba 2

Pretpostavimo da je objekt ispušten s visine od 200 m. Tijekom pada poduzete su sljedeće mjere:

Znamo da je visina navedenog objekta, nakon što je prošlo vrijeme t, dana:

Ako želimo dobiti vrijednost g, može se naći parabola koja je bolja aproksimacija pet točaka danih u tablici, pa bismo imali koeficijent koji prati t \ t2 to će biti razumna približna vrijednost (-1/2) g ako su mjerenja točna.

Moramo:

A onda:

Tako se točke podataka podešavaju sljedećim kvadratnim izrazom:

Zatim morate:

To je vrijednost koja je razmjerno blizu točnoj, koja je g = 9,81 m / s2. Da bi se dobila točnija aproksimacija g potrebno je krenuti od preciznijih opažanja.

Za što je??

U problemima koji se javljaju u prirodnim ili društvenim znanostima prikladno je pisati odnose koji se javljaju između različitih varijabli pomoću nekog matematičkog izraza.

Na primjer, možemo usporediti troškove (C), dohodak (I) i dobit (U) u ekonomiji pomoću jednostavne formule:

U fizici možemo povezati ubrzanje uzrokovano gravitacijom, vrijeme pada objekta i visinu objekta prema zakonu:

U prethodnom izrazu sili je početna visina tog objekta i vili Vaša je početna brzina.

Međutim, pronalaženje ovakvih formula nije jednostavan zadatak; obično je dužnost stručnjaka da radi s mnogo podataka i opetovano izvodi nekoliko eksperimenata (kako bi potvrdila da su dobiveni rezultati konstantni) kako bi pronašli odnose između različitih podataka.

Uobičajeni način da se to postigne jest prikazati podatke dobivene u ravnini kao točke i potražiti kontinuiranu funkciju koja se optimalno približava tim točkama.

Jedan od načina pronalaženja funkcije koja "najbolje aproksimira" dane podatke je metoda najmanjih kvadrata.

Osim toga, kao što smo vidjeli iu vježbi, zahvaljujući ovoj metodi možemo dobiti približne aproksimacije fizičkim konstantama.

reference

  1. Charles W Curtis Linearna algebra. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Teorija elementarne dostupnosti s slučajnim procesima. Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Burden i J. Douglas Faires. Numerička analiza (7ed). Thompson Learning.
  4. Stanley I. Grossman. Primjena linearne algebre. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEKSIKO
  5. Stanley I. Grossman. Linearna algebra MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEKSIKO