Paralelepipedne karakteristike, vrste, površina, volumen

paralelopiped je geometrijsko tijelo formirano sa šest lica, čija je glavna karakteristika da su sva njihova lica paralelogrami i da su njihova suprotna lica međusobno paralelna. To je uobičajeni poliedar u našem svakodnevnom životu, budući da ga možemo naći u kutijama za cipele, obliku opeke, obliku mikrovalne pećnice itd..

Budući da je poliedar, paralelopiped obuhvaća konačni volumen i sva njegova lica su ravna. To je dio grupe prizmi, to su oni poliedri u kojima su svi njihovi vrhovi sadržani u dvije paralelne ravnine..

indeks

• 1 Elementi paralelepipeda
  • 1.1 Lica
  • 1.2 Rubovi
  • 1.3 Vertex
  • 1.4 Dijagonala
  • 1.5 Centar
• 2 Značajke paralelepipeda
• 3 Vrste
  • 3.1 Izračun dijagonala
• 4 Područje
  • 4.1 Područje ortoedrona
  • 4.2 Područje kocke
  • 4.3 Područje romboedra
  • 4.4 Područje rombičnog
• 5 Volumen paralelepipeda
  • 5.1 Savršen paralelepiped
• 6 Bibliografija

Elementi paralelepipeda

Caras

To su sva područja formirana paralelograma koji ograničavaju paralelopiped. Paralelepiped ima šest lica, gdje svako lice ima četiri susjedna lica i jedno nasuprot. Osim toga, svaka strana je paralelna sa svojom suprotnošću.

Aristas

Oni su zajednička strana dva lica. Ukupno paralelopiped ima dvanaest rubova.

tjeme

To je zajednička točka triju lica koja se nalaze jedan do drugoga dva do dva. Paralelopiped ima osam vrhova.

dijagonala

S obzirom na dvije suprotne strane paralelepipeda, možemo nacrtati segment koji ide od vrha jednog lica do suprotnog vrha drugog.

Ovaj segment je poznat kao dijagonala paralelopipeda. Svaki paralelopiped ima četiri dijagonale.

centar

To je točka na kojoj se sijeku sve dijagonale.

Značajke paralelepipeda

Kao što smo spomenuli, ovo geometrijsko tijelo ima dvanaest rubova, šest lica i osam vrhova.

U paralelopipedu možete identificirati tri skupa formirana četirima rubovima, koji su paralelni jedan s drugim. Osim toga, rubovi ovih kompleta također ispunjavaju svojstvo iste dužine.

Još jedno svojstvo koje posjeduju paralelopipedi je da su konveksni, tj. Ako uzmemo bilo koji par točaka koje pripadaju unutrašnjosti paralelepipeda, segment određen spomenutim parom točaka također će biti unutar paralelopipeda..

Osim toga, paralelopipedi koji su konveksni poliedri sukladni su Eulerovom teoremu za poliedre, što nam daje vezu između broja lica, broja rubova i broja vrhova. Ovaj odnos je dan u obliku sljedeće jednadžbe:

C + V = A + 2

Ta je značajka poznata kao Eulerova karakteristika.

Gdje je C broj lica, V broj vrhova i A broj rubova.

vrsta

Paralelopipede možemo klasificirati na temelju njihovih lica, u sljedećim vrstama:

kuboidan

Oni su paralelepipedi gdje njihova lica čine šest pravokutnika. Svaki pravokutnik je okomit na one koji dijele rub. Oni su najčešći u našem svakodnevnom životu, a to je uobičajeni način kutija za cipele i cigle.

Kocka ili regularni heksaedron

Ovo je poseban slučaj prethodnog, gdje je svako lice kvadrat.

Kocka je također dio geometrijskih tijela koja se nazivaju platonske krutine. Platonska krutina je konveksni poliedar, tako da su oba lica i unutarnji kutovi jednaki.

romboedro

To je paralelepiped s dijamantima na licu. Svi ti dijamanti su jednaki, jer dijele rubove.

Romboiedro

Šest lica su romboidi. Sjetite se da je romboid poligon s četiri strane i četiri kuta jednaka dva prema dva. Romboidi su paralelogrami koji nisu ni kvadratni, ni pravokutni, ni rombovi.

S druge strane, kosi paralelopipedi su oni u kojima se barem jedna visina ne slaže s njezinim rubom. U ovu klasifikaciju možemo uključiti romboedrone i rombikedrone.

Dijagonalni izračun

Da bismo izračunali dijagonalu ortoedrona, možemo upotrijebiti Pitagorinu teoremu za R³.

Podsjetimo se da ortoedron ima karakteristiku da je svaka strana okomita sa stranama koje dijele rub. Iz te činjenice možemo zaključiti da je svaki rub okomit na one koji dijele vrh.

Za izračunavanje duljine dijagonale ortoedrona postupamo kako slijedi:

1. Izračunavamo dijagonalu jednog od lica, koje ćemo postaviti kao bazu. Za to koristimo Pitagorin teorem. Imenujte ovu dijagonalu d_b.

2. Zatim s d_b možemo formirati novi pravi trokut, tako da je hipotenuza navedenog trokuta dijagonala D koja se traži.

3. Ponovno koristimo Pitagorin teorem i imamo da je duljina navedene dijagonale:

Drugi način za izračunavanje dijagonala na grafički način je zbroj slobodnih vektora.

Sjetite se da su dva slobodna vektora A i B dodana stavljanjem repa vektora B s vrhom vektora A.

Vektor (A + B) je onaj koji počinje na repu A i završava na vrhu B.

Razmotrimo paralelopiped na koji želimo izračunati dijagonalu.

Rubove identificiramo pomoću prikladno orijentiranih vektora.

Tada ćemo dodati te vektore i dobiveni vektor biti će dijagonala paralelopipeda.

područje

Područje paralelepipeda dano je sumom svakog područja njihovih lica.

Ako odredimo jednu od strana kao bazu,

_L + 2A_B = Ukupna površina

Gdje je A_L je jednak zbroju područja svih strana susjednih baze, koje se nazivaju bočnim područjem i A_B je osnovno područje.

Ovisno o tipu paralelepipeda s kojim radimo možemo preformulirati navedenu formulu.

Područje ortoedrona

To je dano formulom

A = 2 (ab + bc + ca).

Primjer 1

S obzirom na sljedeći ortoedron, sa stranama a = 6 cm, b = 8 cm i c = 10 cm, izračunajte površinu paralelepipeda i duljinu njegove dijagonale.

Koristeći formulu za područje ortoedrona moramo

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Imajte na umu da je duljina bilo koje od njegovih četiriju dijagonala, budući da je ortohedron, ista.

Koristimo Pitagorin teorem za prostor koji moramo

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Područje kocke

Budući da svaki rub ima istu duljinu, imamo a = b i a = c. Zamjena u prethodnoj formuli imamo

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Primjer 2

Kutija igraće konzole ima oblik kocke. Ako želimo omotati ovu kutiju s poklon papirom, koliko papira ćemo potrošiti znajući da je dužina rubova kocke 45 cm?

Koristeći formulu kockastog područja to dobivamo

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm)²= 12150 cm²

Područje romboedra

Budući da su sva njihova lica jednaka, dovoljno je izračunati površinu jednog od njih i pomnožiti ih s šest.

Možemo izračunati površinu dijamanta koristeći njezine dijagonale sljedećom formulom

_R = (Dd) / 2

Iz ove formule slijedi da je ukupna površina romboedra

_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Primjer 3

Lica sljedećeg romboedra su oblikovana rombom čije su dijagonale D = 7 cm i d = 4 cm. Vaše područje će biti

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Područje rombičnog

Da bismo izračunali površinu rombičnog, moramo izračunati površinu romboida koji je čine. Budući da se paralelopipedi slažu sa svojstvom da suprotne strane imaju isto područje, možemo povezati strane u tri para.

Na taj način ćemo imati vaše područje

_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Gdje b_ja su baze povezane sa stranama i_ja njegova relativna visina odgovara navedenim bazama.

Primjer 4

Razmotrite sljedeći paralelopiped,

gdje strana A i strana A '(njezina suprotna strana) imaju kao bazu b = 10, a za visinu h = 6. Označena površina će imati vrijednost

₁ = 2 (10) (6) = 120

B i B 'imaju b = 4 i h = 6

₂ = 2 (4) (6) = 48

A C i C 'imaju b = 10 i h = 5, dakle

₃ = 2 (10) (5) = 100

Naposljetku je područje romboedra

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volumen paralelepipeda

Formula koja nam daje volumen paralelepipeda je proizvod površine jednog od njegovih lica visinom koja odgovara navedenom licu.

V = A_Ch_C

Ovisno o tipu paralelepipeda, navedena formula se može pojednostaviti.

Tako imamo, na primjer, volumen ortoedrona

V = abc.

Gdje a, b i c predstavljaju duljinu ortoedronskih rubova.

U konkretnom slučaju kocke je

V = a³

Primjer 1

Postoje tri različita modela za kutije kolačića i želite znati u kojem od ovih modela možete pohraniti više kolačića, to jest, koji od kutija ima najveći volumen.

Prvi je kocka čiji rub ima duljinu a = 10 cm

Njegov će volumen biti V = 1000 cm³

Drugi ima rubove b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Stoga je njegov volumen V = 765 cm³

Treći ima e = 9 cm, f = 9 cm i g = 13 cm

Njegov volumen je V = 1053 cm³

Stoga je kutija s najvećim volumenom treća.

Druga metoda za dobivanje volumena paralelepipeda jest pribjegavanje vektorskoj algebri. Konkretno, trostruki skalarni proizvod.

Jedna od geometrijskih interpretacija koja ima trostruki skalarni proizvod je volumen paralelepipeda, čiji su rubovi tri vektora koji dijele isti vrh kao početnu točku.

Na taj način, ako imamo paralelepiped i želimo znati koji je njegov volumen, dovoljno je da ga predstavimo u koordinatnom sustavu u R³ usklađivanje jednog od njegovih vrhova s ​​podrijetlom.

Tada predstavljamo rubove koji se slažu u podrijetlu s vektorima kao što je prikazano na slici.

I na taj način imamo da je volumen spomenutog paralelopipeda dat s

V = | AxB | C |

Ili je ekvivalentno volumen determinanta matrice 3 × 3, koju čine komponente rubnih vektora.

Primjer 2

Predstavljajući sljedeći paralelepiped u R³ možemo vidjeti da su vektori koji ga određuju sljedeći

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) i w = (-0.25, -4, 4)

Koristimo trostruki skalarni proizvod koji imamo

V = | (uxv) | w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) = w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Iz toga zaključujemo da je V = 60

Sada razmotrite sljedeće paralelopipede u R3 čije rubove određuju vektori

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) i C = (3, 4, 4)

To nam služi pomoću odrednica

Tako da imamo volumen navedenog paralelopipeda 112.

Oba su ekvivalentna načina izračunavanja volumena.

Savršen paralelepiped

To je poznato kao Eulerova opeka (ili Eulerov blok) do ortoedra koji ispunjava svojstvo da su i duljina njezinih rubova i duljina dijagonala svakog njezina lica cijeli brojevi.

Dok Euler nije bio prvi znanstvenik koji je proučavao ortoedrone koji ispunjavaju tu imovinu, pronašao je zanimljive rezultate o njima.

Manju Euler-ovu opeku otkrio je Paul Halcke, a duljine njezinih rubova su a = 44, b = 117 i c = 240.

Otvoreni problem u teoriji brojeva je sljedeći

Postoje li savršeni ortoedroni?

Trenutno se na ovo pitanje nije moglo odgovoriti, budući da nije bilo moguće dokazati da ta tijela ne postoje, ali niti jedno nije pronađeno.

Do sada je pokazano da postoje savršeni paralelopipedi. Prvi koji je otkriven ima duljinu svojih rubova vrijednosti 103, 106 i 271.

bibliografija

1. Guy, R. (1981). Nerešeni problemi u teoriji brojeva. skakač.
2. Landaverde, F. d. (1997). GEOMETRIJA. napredak.
3. Leithold, L. (1992). IZRAČUN s analitičkom geometrijom. HARLA, S.A..
4. Rendon, A. (2004). Tehnički crtež: Radna knjiga 3 Druga matura . Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., i Krane, K. (2001). Physics Vol. Meksiko: kontinentalni.