Svojstva proizvoda, aplikacije i riješene vježbe



Prečnik vektora proizvoda ili proizvoda To je način da se množe dva ili više vektora. Postoje tri načina za umnožavanje vektora, ali nijedno od njih nije umnožavanje u uobičajenom smislu te riječi. Jedan od tih oblika je poznat kao vektorski proizvod, što rezultira trećim vektorom.

Vektorski proizvod, koji se također naziva križni proizvod ili vanjski proizvod, ima različita algebarska i geometrijska svojstva. Ta svojstva su vrlo korisna, osobito u proučavanju fizike.

indeks

  • 1 Definicija
  • 2 Svojstva
    • 2.1 Imovina 1
    • 2.2 Imovina 2
    • 2.3 Imovina 3
    • 2.4 Imovina 4 (trostruki skalarni proizvod)
    • 2.5 Vlasništvo 5 (proizvod s trostrukim vektorima)
    • 2.6. Imovina 6
    • 2.7 Imovina 7
    • 2.8 Imovina 8
  • 3 Aplikacije
    • 3.1 Izračunavanje volumena paralelepipeda
  • 4 Vježbe riješene
    • 4.1 Vježba 1
    • 4.2 Vježba 2
  • 5 Reference

definicija

Formalna definicija vektorskog proizvoda je sljedeća: ako su A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3) vektori, tada je vektorski proizvod A i B, koji ćemo označiti kao AxB, sljedeći:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Zbog oznake AxB, ona se čita kao "križ B".

Primjer kako se koristi vanjski proizvod je da ako su A = (1, 2, 3) i B = (3, -2, 4) vektori, tada pomoću definicije vektorskog proizvoda imamo:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Drugi način da se izrazi vektorski proizvod daje se notacijom determinanti.

Izračun determinante drugog reda daje:

Stoga se formula vektorskog proizvoda danog u definiciji može ponovno napisati na sljedeći način:

To je obično pojednostavljeno u odrednici trećeg reda kako slijedi:

Gdje i, j, k predstavljaju vektore koji čine bazu R3.

Koristeći ovaj način izražavanja križnog proizvoda, imamo da se prethodni primjer može prepisati kao:

nekretnine

Neka svojstva koja vektorski proizvod posjeduje su sljedeća:

Vlasništvo 1

Ako je A bilo koji vektor u R3, Moramo:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Ova svojstva se lako provjeravaju pomoću samo definicije. Ako je A = (a1, a2, a3), moramo:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Ako i, j, k predstavljaju jediničnu bazu R3, Možemo ih napisati na sljedeći način:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Zatim moramo ispuniti sljedeća svojstva:

Kao mnemoničko pravilo, za pamćenje ovih svojstava obično se koristi sljedeći krug:

Tamo treba imati na umu da bilo koji vektor sa samim sobom dovodi do vektora 0, a ostatak proizvoda može se dobiti sa sljedećim pravilom:

Poprečni proizvod dva uzastopna vektora u smjeru kazaljke na satu daje sljedeći vektor; i pri razmatranju smjera suprotnog od smjera kazaljke na satu, rezultat je sljedeći vektor s negativnim predznakom.

Zahvaljujući tim svojstvima možemo vidjeti da vektorski proizvod nije komutativan; na primjer, dovoljno je primijetiti da i x j ≠ j x i. Sljedeće svojstvo nam govori kako se AxB i BxA odnose općenito.

Imovina 2

Ako su A i B R vektori3, Moramo:

AxB = - (BxA).

predstava

Ako je A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3), po definiciji vanjskog proizvoda imamo:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Možemo također primijetiti da ovaj proizvod nije asocijativan sa sljedećim primjerom:

ix (ixj) = ixk = - j ali (ixi) xj = 0xj = 0

Iz toga možemo primijetiti da:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Imovina 3

Ako su A, B, C R vektori3 i r je stvarni broj, sljedeće je točno:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Zahvaljujući tim svojstvima možemo izračunati vektorski proizvod koristeći zakone algebre, pod uvjetom da se red poštuje. Na primjer:

Ako je A = (1, 2, 3) i B = (3, -2, 4), možemo ih prepisati na temelju kanonske osnove R3.

Dakle, A = i + 2j + 3k i B = 3i - 2j + 4k. Zatim, primjenjujući prethodna svojstva:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Objekat 4 (trostruki skalarni proizvod)

Kao što smo na početku spomenuli, postoje i drugi načini umnožavanja vektora osim vektorskog proizvoda. Jedan od tih načina je skalarni proizvod ili unutarnji proizvod, koji je označen kao A and B i čija je definicija:

Ako je A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3), onda je A = B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Svojstvo koje se odnosi na oba proizvoda poznato je kao trostruki skalarni proizvod.

Ako su A, B i C R vektori3, tada A x BxC = AxB. C

Primjerice, da vidimo da, s obzirom na A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) i C = (- 5, 1, - 4), ovo svojstvo je ispunjeno.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A x BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

S druge strane:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Drugi trostruki proizvod je Ax (BxC), koji je poznat kao trostruki vektorski proizvod.

Svojstvo 5 (proizvod s trostrukim vektorima)

Ako su A, B i C R vektori3,  tada je:

Ax (BxC) = (A) C) B - (A) B) C

Primjerice, da vidimo da, s obzirom na A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) i C = (- 5, 1, - 4), ovo svojstvo je ispunjeno.

Iz prethodnog primjera znamo da je BxC = (- 18, - 22, 17). Izračunaj Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

S druge strane, moramo:

A = C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A = B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Dakle, moramo:

(A) C) B - (A) B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Vlasništvo 6

To je jedno od geometrijskih svojstava vektora. Ako su A i B dva vektora u R3 i Θ je kut koji se formira između njih, a zatim:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), gdje || || označava modul ili veličinu vektora.

Geometrijska interpretacija ovog svojstva je sljedeća:

Neka je A = PR i B = PQ. Zatim je kut koji tvore vektori A i B kut P trokuta RQP, kao što je prikazano na sljedećoj slici.

Stoga je površina paralelograma s susjednim stranama PR i PQ || A |||| B || sin (Θ), jer možemo uzeti kao osnovu || A || i njegova visina je dana || B || sin (Θ).

Zbog toga možemo zaključiti da || AxB || je područje navedenog paralelograma.

primjer

S obzirom na sljedeće vrhove četverokuta P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) i S (5,7, -3), pokazati da je navedeni četverokut je paralelogram i pronalazi svoje područje.

Prvo ćemo odrediti vektore koji određuju smjer stranica četverokuta. Ovo je:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Kao što možemo promatrati A i C imaju istog vektorskog upravitelja, za koji imamo da su oba paralelna; na isti način kao i B i D. Stoga zaključujemo da je PQRS paralelogram.

Da bismo imali područje navedenog paralelograma, izračunamo BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Stoga će kvadrat biti:

|| BxA ||2 = (- 6)2 + (- 2)2 + (- 7)2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Može se zaključiti da će paralelogram biti kvadratni korijen od 89.

Nekretnine 7

Dva vektora A i B su paralelna u R3 da i samo ako je AxB = 0

predstava

Jasno je da ako su A ili B nulti vektor, slijedi da je AxB = 0. Budući da je nulti vektor paralelan s bilo kojim drugim vektorom, tada je svojstvo valjano.

Ako nijedan od dva vektora nije nulti vektor, imamo da su njihove veličine različite od nule; to jest, oba || A || As 0 kao || B || , 0, tako da ćemo morati | | AxB || = 0 ako i samo ako sin (=) = 0, a to se događa ako i samo ako je π = π ili Θ = 0.

Stoga možemo zaključiti da je AxB = 0 ako i samo ako je or = π ili 0 = 0, što se događa samo kada su oba vektora paralelna jedan s drugim..

Nekretnine 8

Ako su A i B dva vektora u R3, tada je AxB okomita na oba A i B.

predstava

Za ovu demonstraciju, zapamtite da su dva vektora okomita ako je A is B jednaka nuli. Osim toga, znamo da:

A B AxB = AxA ∙ B, ali AxA je jednaka 0. Stoga moramo:

A B AxB = 0 = B = 0.

Time možemo zaključiti da su A i AxB okomite jedna na drugu. Na analogan način moramo:

AxB = B = A x BxB.

Kao BxB = 0, moramo:

AxB = B = A = 0 = 0.

Stoga su AxB i B okomiti jedan na drugi i time se dokazuje svojstvo. To je vrlo korisno, jer nam omogućuju da odredimo jednadžbu ravnine.

Primjer 1

Dobiti jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točke P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) i R (2, 1, 3).

Neka je A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) i B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Tada je A = - i + 3j + k i B = i - 2j + k. Da bismo pronašli ravninu koju čine te tri točke, dovoljno je pronaći vektor koji je normalan na ravninu, a to je AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

S ovim vektorom, uzimajući točku P (1, 3, 2), možemo odrediti jednadžbu ravnine kako slijedi:

(5, 2, - 1) x (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Dakle, imamo jednadžbu ravnine 5x + 2y - z - 9 = 0.

Primjer 2

Pronađite jednadžbu ravnine koja sadrži točku P (4, 0, - 2) i koja je okomita na svaku od ravnina x - y + z = 0 i 2x + y - 4z - 5 = 0 .

Znajući da je normalni vektor na ravninu ax + by + cz + d = 0 (a, b, c), imamo da je (1, -1,1) normalan vektor x - y + z = 0 y ( 2.1, - 4) je normalni vektor 2x + y - 4z - 5 = 0.

Dakle, normalni vektor na željenu ravninu mora biti okomit na (1, -1,1) i a (2, 1, - 4). Navedeni vektor je:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Zatim imamo da je tražena ravnina ona koja sadrži točku P (4,0, - 2) i ima vektor (3,6,3) kao normalni vektor.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

aplikacije

Izračunavanje volumena paralelepipeda

Aplikacija koja ima trostruki skalarni proizvod mora biti u stanju izračunati volumen paralelopipeda čiji su rubovi dani vektorima A, B i C, kao što je prikazano na slici:

Možemo zaključiti ovu primjenu na sljedeći način: kao što smo već rekli, vektor AxB je vektor koji je normalan na ravninu A i B. Također imamo da je vektor - (AxB) drugi vektor normalan za navedenu ravninu..

Odabiremo normalni vektor koji oblikuje najmanji kut s vektorom C; bez gubitka općenitosti neka je AxB vektor čiji je kut s C najmanji.

Imamo da i AxB i C imaju istu polaznu točku. Osim toga, znamo da je područje paralelograma koje čini bazu paralelepipeda || AxB ||. Stoga, ako je visina paralelepipeda dana h, imamo da je njezin volumen:

V = || AxB || h.

S druge strane, razmotrite skalarni proizvod između AxB i C, koji se može opisati kako slijedi:

Međutim, trigonometrijskim svojstvima imamo h = || C || cos (Θ), tako da moramo:

Na taj način moramo:

Općenito govoreći, imamo da je volumen paralelepipeda dan apsolutnom vrijednošću trostrukog skalarnog proizvoda AxB ∙ C.

Riješene vježbe

Vježba 1

S obzirom na točke P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) i S = (2, 6, 9), te točke tvore paralelepiped čiji rubovi oni su PQ, PR i PS. Odredite volumen navedenog paralelopipeda.

otopina

Ako uzmemo:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Koristeći svojstvo trostrukog skalarnog proizvoda, moramo:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB = C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 + 80 = 52.

Prema tome, imamo da je volumen navedenog paralelopipeda 52.

Vježba 2

Odredite volumen paralelepipeda čiji su rubovi dani s A = PQ, B = PR i C = PS, gdje su točke P, Q, R i S (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) i (2, 2, 5).

otopina

Prvo imamo A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Izračunamo AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Tada izračunamo AxB: C:

AxB = C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Stoga zaključujemo da je volumen spomenutog paralelopipeda 1 kubična jedinica.

reference

  1. Leithold, L. (1992). IZRAČUN s analitičkom geometrijom. HARLA, S.A..
  2. Resnick, R., Halliday, D., i Krane, K. (2001). Physics Vol. Meksiko: kontinentalni.
  3. Saenz, J. (s.f.). Izračunavanje vektora 1ed. hipotenuza.
  4. Spiegel, M. R. (2011). Vektorska analiza 2ed. Mc Graw Hill.
  5. Zill, D.G. & Wright, W. (2011). Izračun različitih varijabli 4ed. Mc Graw Hill.