Značajna objašnjenja proizvoda i rješavanje vježbi



izvanredne proizvode to su algebarske operacije, gdje se izražavaju multiplikacije polinoma, koje se ne moraju rješavati tradicionalno, ali uz pomoć određenih pravila možete pronaći rezultate istih..

Polinomi se množe sami, stoga mogu imati velik broj pojmova i varijabli. Kako bi proces bio kraći, koriste se pravila izvanrednih proizvoda, koji omogućuju da se množenja vrše bez pojma pojam..

indeks

  • 1 Značajni proizvodi i primjeri
    • 1.1 Binomna kvadrat
    • 1.2 Proizvod konjugiranih binomala
    • 1.3 Produkt dva binomna s zajedničkim pojmom
    • 1.4 Polinomna kvadratna
    • 1.5 Binomna kocka
    • 1.6 Kanta trinomije
  • 2 Vježbe riješene za izvanredne proizvode
    • 2.1 Vježba 1
    • 2.2 Vježba 2
  • 3 Reference

Značajni proizvodi i primjeri

Svaki izvanredan proizvod je formula koja proizlazi iz faktorizacije, sastavljene od polinoma različitih pojmova, kao što su binomali ili trinomije, koji se nazivaju faktori.

Faktori su osnova moći i imaju eksponent. Kad se faktori množe, moraju se dodati eksponenti.

Postoji nekoliko značajnih formula proizvoda, neke su više korištene od drugih, ovisno o polinomima, a sljedeće su:

Binomna kvadrat

To je umnožavanje binomnog po sebi, izraženo u obliku moći, gdje se dodaju ili oduzimaju pojmovi:

a. Binomna suma na kvadrat: jednak je kvadratu prvog pojma, plus dvostruki produkt pojmova, plus kvadrat drugog termina. Izražava se kako slijedi:

(a + b)2 = (a + b) * (a + b).

Sljedeća slika prikazuje kako se proizvod razvija prema gore navedenom pravilu. Rezultat se zove trinomij savršenog kvadrata.

Primjer 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Primjer 2

(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4a * 2b) + (2b)2

(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2

(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.

b. Binomna oduzimanja kvadrata: isto pravilo vrijedi i za binomni zbroja, samo da je u ovom slučaju drugi pojam negativan. Njegova formula je sljedeća:

(a - b)2 = [(a) + (- b)]2

(a - b)2 = a2 +2. * (-b) + (-b)2

(a - b)2  = a2 - 2ab + b2.

Primjer 1

(2x - 6)2 = (2x)2 - 2 (2x * 6) + 62

(2x - 6)2  = 4x2 - 2 (12x) + 36

(2x - 6)2 = 4x2 - 24x + 36.

Proizvod konjugiranih binomala

Dva binomna su konjugirana kada su drugi pojmovi svakog različitog znaka, to jest, prvi od pozitivnih, a drugi negativ ili obratno. Riješite podizanjem svakog monomskog kvadrata i oduzimanjem. Njegova formula je sljedeća:

(a + b) * (a - b)

Na sljedećoj slici je razvijen produkt dva konjugirana binomna, gdje se opaža da je rezultat razlika kvadrata..

Primjer 1

(2a + 3b) (2a-3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)2)

(2a + 3b) (2a-3b) = 4a2 - 9b2.

Proizvod dva binomna s zajedničkim pojmom

To je jedan od najsloženijih i malo korištenih izvanrednih proizvoda jer se radi o umnožavanju dva binomna koji imaju zajednički pojam. Pravilo označava sljedeće:

  • Kvadrat zajedničkog termina.
  • Plus dodajte pojmove koji nisu uobičajeni, a zatim ih pomnožite s uobičajenim pojmom.
  • Plus zbroj množenja pojmova koji nisu uobičajeni.

Prikazana je u formuli: (x + a) * (x + b) i razvijen je kako je prikazano na slici. Rezultat je kvadratni trinomij koji nije savršen.

(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)

(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.

Postoji mogućnost da je drugi pojam (različiti pojam) negativan, a njegova formula je sljedeća: (x + a) * (x - b).

Primjer 2

(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2)* 7x + (4 * -2)

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2)* 7x - 8

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.

Može se dogoditi da su oba različita pojma negativna. Njegova formula će biti: (x - a) * (x - b).

Primjer 3

(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5)* (3b) + (-6 * -5)

(3b - 6) * (3b-5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)

(3b - 6) * (3b-5) = 9b2 - 33b + 30.

Kvadratni polinom

U ovom slučaju postoji više od dva pojma i da bi se razvio, svaki je kvadratan i dodan zajedno s dvostrukim umnožavanjem jednog pojma s drugim; njegova formula je: (a + b + c)2 a rezultat operacije je trinomijalni kvadrat.

Primjer 1

(3x + 2y + 4z)2 = (3x)2 + (2y)2 + (R4z)2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)2 = 9x2 + 4y2 + 16Z2 + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomna kocka

To je izvanredan kompleksan proizvod. Da bi ga razvio, pomnožite binomij s njegovim kvadratom, na sljedeći način:

a. Za binom za kocku suma:

  • Kocka prvog termina, plus trostruki kvadratić prvog pojma za drugi.
  • Plus tri puta prvi pojam, za drugi kvadrat.
  • Plus kocka drugog pojma.

(a + b)3 = (a + b) * (a + b)2

(a + b)3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)

(a + b)3 = a3 + 2.2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3

(a + b)3 = a3 + 3.2b + 3ab2 + b3.

Primjer 1

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(3)2 + (3)3

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(9) + 27

(a + 3)3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.

b. Za binom za kocku oduzimanja:

  • Kocka prvog termina, minus trostruki kvadratić prvog pojma za drugi.
  • Plus tri puta prvi pojam, za drugi kvadrat.
  • Manje kocke drugog pojma.

(a - b)3 = (a - b) * (a - b)2

(a - b)3 = (a - b) * (a2 - 2ab + b2)

(a - b)3 = a3 - 2.2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3

(a - b)3 = u3 - 3.2b + 3ab2 - b3.

Primjer 2

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(-5)2 + (-5)3

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(25) -125

(b - 5)3 = b3 - 15b2 +75b - 125.

Kanta trinomije

Razvija se množenjem s kvadratom. To je izvanredan proizvod vrlo opsežan, jer postoje 3 termina podignuta na kocku, plus tri puta svaki pojam u kvadrat, pomnožen sa svakim od pojmova, plus šest puta proizvod tri termina. Gledano na bolji način:

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a + b + c)2

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)3 = A3 + b3 + c3 + 3.2b + 3ab2 + 3.2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.

Primjer 1

Riješene vježbe izvanrednih proizvoda

Vježba 1

Izradite sljedeći binom u kocku: (4x - 6)3.

otopina

Podsjećajući da je binomna kocka jednaka prvom pojmu podignutom na kocku, manje trostrukom kvadratu prvog termina za drugi; plus trostruki prvi pojam, za drugi kvadrat, minus kocka drugog termina.

(4x - 6)3 = (4x)3 - 3 (4x)2(6) + 3 (4x) * (6)2 - (6)2

(4x - 6)3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x)* (36) - 36

(4x - 6)3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.

Vježba 2

Razvijte sljedeći binom: (x + 3) (x + 8).

otopina

Postoji binom u kojem postoji zajednički termin, koji je x, a drugi je pozitivan. Da biste ga razvili, samo trebate kvadrirati zajednički termin, plus zbroj izraza koji nisu uobičajeni (3 i 8), a zatim ih pomnožiti s uobičajenim pojmom, plus zbroj množenja pojmova koji nisu uobičajeni.

(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3*8)

(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.

reference

  1. Angel, A. R. (2007). Elementarna algebra. Obrazovanje Pearson,.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Obrazovanje Pearson.
  3. Das, S. (s.f.). Matematika Plus 8. Velika Britanija: Ratna Sagar.
  4. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Elementarna i srednja algebra: kombinirani pristup. Florida: Cengage učenje.
  5. Pérez, C.D. (2010). Obrazovanje Pearson.