Svojstva jednakosti



svojstva jednakosti odnose se na odnos između dvaju matematičkih objekata, bilo brojeva ili varijabli. Označava se simbolom "=", koji uvijek ulazi između ta dva objekta. Ovaj izraz se koristi za utvrđivanje da dva matematička objekta predstavljaju isti objekt; drugim riječima, da su dva objekta ista stvar.

Postoje slučajevi u kojima je nepravedno koristiti jednakost. Na primjer, jasno je da je 2 = 2. Međutim, kada je riječ o varijablama, više nije trivijalna i ima specifične namjene. Na primjer, ako imate y = x, as druge strane x = 7, možete zaključiti da je y = 7.

Prethodni primjer temelji se na jednom od svojstava jednakosti, kao što će se uskoro vidjeti. Ta svojstva su bitna za rješavanje jednadžbi (jednakosti koje uključuju varijable), koje čine vrlo važan dio u matematici.

indeks

  • 1 Koja su svojstva jednakosti?
    • 1.1 Reflektirajuća imovina
    • 1.2 Simetrično svojstvo
    • 1.3 Prijelazno vlasništvo
    • 1.4 Jedinstveno vlasništvo
    • 1.5 Otkaz nekretnine
    • 1.6 Zamjena imovine
    • 1.7. Svojstvo moći u jednakosti
    • 1.8 Svojstvo korijena u jednakosti
  • 2 Reference

Koja su svojstva jednakosti?

Reflektirajuća imovina

Reflektivno svojstvo, u slučaju jednakosti, navodi da je svaki broj jednak samom sebi i izražen je kao b = b za bilo koji stvarni broj b.

U konkretnom slučaju jednakosti ovo svojstvo čini se očiglednim, ali u drugoj vrsti odnosa brojeva nije. Drugim riječima, nije svaki odnos realnih brojeva ispunio ovo svojstvo. Na primjer, takav slučaj odnosa "manje od" (<); ningún número es menor que sí mismo.

Simetrično svojstvo

Simetrično svojstvo za jednakost kaže da ako je a = b, tada b = a. Bez obzira koji se redoslijed koristi u varijablama, to će se očuvati odnosom ravnopravnosti.

Određena analogija ovog svojstva može se promatrati s komutativnom svojinom u slučaju dodavanja. Na primjer, zbog ovog svojstva je ekvivalentan za pisanje y = 4 ili 4 = y.

Prijelazno vlasništvo

Prijelazno svojstvo u jednakosti navodi da ako je a = b i b = c, tada je a = c. Na primjer, 2 + 7 = 9 i 9 = 6 + 3; dakle, po tranzitivnom svojstvu imamo 2 + 7 = 6 + 3.

Jednostavna aplikacija je sljedeća: pretpostavimo da je Julian star 14 godina i da je Mario iste dobi kao Rosa. Ako je Rosa istih godina kao Julian, koliko je star Mario??

Iza ovog scenarija koristi se tranzitivno svojstvo dva puta. Matematički se interpretira ovako: biti "a" doba Marija, "b" doba Rose i "c" doba Juliana. Poznato je da je b = c i da je c = 14.

Za tranzitivno svojstvo imamo b = 14; to jest, Rosa ima 14 godina. Budući da je a = b i b = 14, ponovno koristimo tranzitivno svojstvo a = 14; to jest, da Mario ima 14 godina.

Jedinstveno vlasništvo

Ujednačeno svojstvo je da, ako se obje strane jednakosti dodaju ili pomnože s istim iznosom, očuva se jednakost. Na primjer, ako je 2 = 2, onda je 2 + 3 = 2 + 3, što je jasno, onda 5 = 5. Ovo svojstvo ima više korisnosti kada je u pitanju rješavanje jednadžbe.

Na primjer, pretpostavimo da se od vas traži rješavanje jednadžbe x-2 = 1. Pogodno je zapamtiti da se rješavanje jednadžbe sastoji od eksplicitnog određivanja uključene varijable (ili varijabli), na temelju određenog broja ili prethodno specificirane varijable.

Vraćajući se na jednadžbu x-2 = 1, potrebno je izričito pronaći koliko vrijedi x. Da biste to učinili, varijabla se mora izbrisati.

Pogrešno je naučeno da u ovom slučaju, budući da je broj 2 negativan, prelazi na drugu stranu jednakosti s pozitivnim predznakom. Ali nije ispravno reći tako.

U osnovi, ono što se radi je primjena jedinstvene imovine, kao što ćemo vidjeti u nastavku. Ideja je izbrisati "x"; to jest, ostavite ga na jednoj strani jednadžbe. Po dogovoru obično je lijevo.

U tu svrhu, broj koji želite "eliminirati" je -2. Način na koji se to radi bi dodavanje 2, jer -2 + 2 = 0 i x + 0 = 0. Da bi se to moglo učiniti bez mijenjanja jednakosti, ista se operacija mora primijeniti na drugoj strani.

To omogućuje da se ostvaruje jedinstveno svojstvo: kao x-2 = 1, ako je broj 2 dodan na obje strane jednakosti, jedinstveno svojstvo kaže da se isto ne mijenja. Tada imamo x-2 + 2 = 1 + 2, što je ekvivalentno tvrdnji da je x = 3. Time bi se riješila jednadžba.

Slično tome, ako želite riješiti jednadžbu (1/5) y-1 = 9, možete nastaviti s korištenjem jedinstvenog svojstva kako slijedi:

Općenitije, mogu se dati sljedeće izjave:

- Ako je a-b = c-b, tada je a = c.

- Ako je x-b = y, onda je x = y + b.

- Ako je (1 / a) z = b, tada je z = a ×

- Ako je (1 / c) a = (1 / c) b, tada je a = b.

Otkazivanje imovine

Odustajanje od imovine je poseban slučaj jedinstvenog vlasništva, posebno s obzirom na slučaj oduzimanja i dijeljenja (koji u konačnici također odgovara zbrajanju i množenju). Ovo svojstvo tretira ovaj slučaj zasebno.

Na primjer, ako je 7 + 2 = 9, tada je 7 = 9-2. Ili ako je 2y = 6, tada y = 3 (dijeljenje na dvije na obje strane).

Analogno prethodnom slučaju, putem svojstva poništenja mogu se utvrditi sljedeće izjave:

- Ako je a + b = c + b, tada je a = c.

- Ako je x + b = y, onda je x = y-b.

- Ako je az = b, tada je z = b / a.

- Ako je ca = cb, tada je a = b.

Zamjenska nekretnina

Ako znamo vrijednost matematičkog objekta, svojstvo supstitucije navodi da se ta vrijednost može zamijeniti u bilo kojoj jednadžbi ili izrazu. Na primjer, ako je b = 5 i a = bx, a zatim zamjenjuje vrijednost "b" u drugoj jednakosti, imamo a = 5x.

Drugi primjer je sljedeći: ako "m" dijeli "n" i također "n" dijeli "m", onda mora biti da je m = n.

U stvari, reći da "m" dijeli "n" (ili ekvivalentno, da je "m" djelitelj "n") znači da je podjela m is n točna; to jest, dijeljenjem "m" s "n" dobivate cijeli broj, a ne decimalni broj. To se može izraziti tvrdnjom da postoji cijeli broj "k" takav da je m = k × n.

Budući da "n" također dijeli "m", tada postoji cijeli broj "p" takav da je n = p × m. Za svojstvo supstitucije imamo da je n = p × k × n, a da bi se to dogodilo postoje dvije mogućnosti: n = 0, u kojem slučaju bismo imali identitet 0 = 0; ili p × k = 1, gdje bi identitet trebao biti n = n.

Pretpostavimo da je "n" različit od nule. Tada nužno p × k = 1; dakle, p = 1 i k = 1. Koristeći opet svojstvo supstitucije, pri zamjeni k = 1 jednakosti m = k × n (ili ekvivalentno, p = 1 u n = p × m) konačno se dobiva da je m = n, što je ono što se željelo pokazati..

Vlasništvo nad moći u jednakosti

Kao što se ranije vidjelo, ako se operacija izvodi kao zbroj, množenje, oduzimanje ili dijeljenje u oba termina jednakosti, ona se sačuva, na isti način na koji se mogu primijeniti i druge operacije koje ne mijenjaju jednakost.

Ključno je uvijek to učiniti na obje strane jednakosti i unaprijed se uvjeriti da se operacija može provesti. Takav je slučaj osnaživanja; to jest, ako su obje strane jednadžbe podignute na istu snagu, još uvijek postoji jednakost.

Na primjer, kao 3 = 3, zatim 32= 32 (9 = 9). Općenito, dati cijeli broj "n", ako je x = y, onda xn= yn.

Svojstvo korijena u jednakosti

Ovo je poseban slučaj potenciranja i primjenjuje se kada je snaga ne-cijeli broj racionalni broj, kao što je ½, koji predstavlja kvadratni korijen. Ovo svojstvo kaže da ako se isti korijen primjenjuje na obje strane jednakosti (gdje god je to moguće), jednakost se očuva.

Za razliku od prethodnog slučaja, ovdje morate biti oprezni s paritetom korijena koji će se primijeniti, jer je dobro poznato da čak i korijen negativnog broja nije dobro definiran..

U slučaju da je radikal ravan, nema problema. Na primjer, ako je x3= -8, iako je jednakost, na primjer, ne možete primijeniti kvadratni korijen s obje strane. Međutim, ako možete primijeniti kubni korijen (što je još prikladnije ako želite eksplicitno znati vrijednost x), dobivanje x = -2.

reference

  1. Aylwin, C. U. (2011). Logika, skupovi i brojevi. Merida - Venezuela: Vijeće publikacija, Universidad de Los Andes.
  2. Jiménez, J., Rofríguez, M., i Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. prag.
  3. Lira, M. L. (1994). Simon and Mathematics: Matematički tekst za drugu osnovnu godinu: studentska knjiga. Andres Bello.
  4. Preciado, C. T. (2005). Tečaj matematike 3o. Uređivanje Progreso.
  5. Segovia, B.R. (2012). Matematičke aktivnosti i igre s Miguelom i Lucijom. Baldomero Rubio Segovia.
  6. Toral, C., i Preciado, M. (1985). 2. tečaj matematike. Uređivanje Progreso.