Što su relativni rođaci? Karakteristike i primjeri



Zove se rođaci (coprimos ili rođaci u odnosu jedan na drugi) na bilo koji par cijelih brojeva koji nemaju zajednički djelitelj, osim 1.

Drugim riječima, dva cijela broja su relativni rođaci ako u svojim razgradnjama u prostim brojevima nemaju zajednički faktor.

Na primjer, ako se izaberu 4 i 25, svaki od faktora raspodjele premaza je 2² odnosno 5². Kao što se ceni, oni nemaju nikakav zajednički faktor, stoga su 4 i 25 relativni rođaci.

S druge strane, ako su izabrani 6 i 24, kada se provode njihove dekompozicije u primarnim faktorima, dobivamo da je 6 = 2 * 3 i 24 = 2³ * 3.

Kao što možete vidjeti, ova dva posljednja izraza imaju barem jedan zajednički faktor, stoga nisu relativni prosti brojevi.

Relativni rođaci

Jedna stvar o kojoj treba paziti jest da je izgovaranje da su par cijelih brojeva relativni primes, da to ne znači da je bilo koji od njih prost broj.

S druge strane, gore navedena definicija može se sažeti na sljedeći način: dva cijela broja "a" i "b" su relativni prosti brojevi ako i samo ako je najveći zajednički djelitelj tih 1, tj. Mcd ( a, b) = 1.

Dva neposredna zaključka ove definicije su:

-Ako je "a" (ili "b") prost broj, tada je mcd (a, b) = 1.

-Ako su "a" i "b" prosti brojevi, tada je mcd (a, b) = 1.

To jest, ako je barem jedan od odabranih brojeva prost broj, tada su izravno par brojeva relativni prosti brojevi.

Ostale značajke

Drugi rezultati koji se koriste za određivanje jesu li dva broja relativna primes:

-Ako su dva cijela broja uzastopna onda su to relativni rođaci.

-Dva prirodna broja "a" i "b" su relativni prosti brojevi ako i samo ako su brojevi "(2 ^ a) -1" i "(2 ^ b) -1" relativni prosti brojevi.

-Dva cijela broja "a" i "b" su relativni prosti brojevi ako i samo ako, crtajući točku (a, b) u kartezijanskoj ravnini, konstruiramo liniju koja prolazi kroz porijeklo (0,0) i (a) , b), to ne sadrži niti jednu točku s cijelim koordinatama.

Primjeri

1.- Razmotrimo cijele brojeve 5 i 12. Glavni faktor dekompozicije oba broja je: 5 i 2² * 3. U zaključku, gcd (5,12) = 1, dakle, 5 i 12 su relativni prosti brojevi.

2.- Neka brojevi -4 i 6. Tada -4 = -2² i 6 = 2 * 3, tako da LCD (-4.6) = 2. 1. U zaključku -4 i 6 nisu relativni rođaci.

Ako nastavimo grafički prikazati liniju koja prolazi kroz naredene parove (-4.6) i (0.0), te odrediti jednadžbu ove linije, možemo provjeriti da ona prolazi kroz točku (-2.3).

Ponovno se zaključuje da -4 i 6 nisu relativni rođaci.

3.- Brojevi 7 i 44 su relativni prosti brojevi i mogu se brzo zaključiti zahvaljujući gore navedenom, budući da je 7 prost broj.

4.- Razmotrimo brojeve 345 i 346. Budući da su dva uzastopna broja, potvrđeno je da je mcd (345,346) = 1, dakle 345 i 346 su relativni prosti brojevi.

5.- Ako se uzmu u obzir brojevi 147 i 74, onda su to relativni rođaci, jer 147 = 3 * 7² i 74 = 2 * 37, dakle gcd (147.74) = 1.

6.- Brojevi 4 i 9 su relativni prosti brojevi. Da se to pokaže, može se koristiti druga gore navedena karakterizacija. Zapravo, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 i 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Dobiveni brojevi su 15 i 511. Razlomci premijera faktora tih brojeva su 3 * 5 odnosno 7 * 73, tako da je mcd (15,511) = 1.

Kao što možete vidjeti, korištenje druge karakterizacije je dulji i naporniji zadatak nego izravno potvrđivanje.

7.- Razmotrimo brojeve -22 i -27. Tada se ti brojevi mogu ponovno napisati na sljedeći način: -22 = -2 * 11 i -27 = -3³. Stoga su gcd (-22, -27) = 1, tako da su -22 i -27 relativne prašine.

reference

  1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Uvod u teoriju brojeva. EUNED.
  2. Bourdon, P. L. (1843). Aritmetički elementi. Knjižara Lords and Children Sons of Calleja.
  3. Castañeda, S. (2016). Osnovni tečaj teorije brojeva. Sveučilište Sjever.
  4. Guevara, M.H. (s.f.). Skup cijelih brojeva. EUNED.
  5. Viši institut za obrazovanje učitelja (Španjolska), J. L. (2004). Brojevi, oblici i količine u dječjem okruženju. Ministarstvo obrazovanja.
  6. Palmer, C. I., & Bibb, S. F. (1979). Praktična matematika: aritmetika, algebra, geometrija, trigonometrija i pravilo slajda (reprint ed.). Reverte.
  7. Rock, N. M. (2006). Algebra je jednostavna! Tako jednostavno. Tim Rock Press.
  8. Smith, S.A. (2000). algebra. Obrazovanje Pearson.
  9. Szecsei, D. (2006). Osnovna matematika i predalgebra (ilustrirano ed.). Karijera Press.
  10. Toral, C., i Preciado, M. (1985). 2. tečaj matematike. Uređivanje Progreso.
  11. Wagner, G., Caicedo, A., i Colorado, H. (2010). Osnovna načela aritmetike. ELIZCOM S.A.S.