Objašnjenje Bayesovog teorema, aplikacije, vježbe



Bayesov teorem je postupak koji nam omogućuje da izrazimo uvjetnu vjerojatnost slučajnog događaja A danog B, u smislu razdiobe vjerojatnosti događaja B i A i distribucije vjerojatnosti samo A.

Ovaj teorem je vrlo koristan, jer zahvaljujući njemu možemo povezati vjerojatnost da se dogodi događaj A znajući da je B nastao, s vjerojatnošću da se događa suprotno, to jest da se B događa s obzirom da je A.

Bayesov teorem bio je srebrni prijedlog velečasnog Thomasa Bayesa, engleskog teologa iz osamnaestog stoljeća koji je također bio matematičar. Autor je nekoliko radova u teologiji, ali je trenutno poznat po nekoliko matematičkih rasprava, među kojima se spomenuti Bayesov teorem ističe kao glavni rezultat..

Bayes se bavio ovim teoremom u radu pod naslovom "Esej ka rješavanju problema u doktrini šansi", objavljenom 1763., i na kojem su se razvili veliki radovi kako bi se riješio problem u doktrini mogućnosti. Studije s primjenama u različitim područjima znanja.

indeks

  • 1 Objašnjenje
  • 2 Primjena Bayesove teoreme
    • 2.1 Riješene vježbe
  • 3 Reference

objašnjenje

Prvo, za daljnje razumijevanje ovog teorema, nužni su neki osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti, posebno teorem o umnožavanju uvjetne vjerojatnosti, koji navodi da

Za E i A proizvoljni događaji uzorkovanog prostora S.

I definicija particija, koja nam govori da ako imamo A1 ,2,..., An događaji uzorkovanog prostora S, oni će tvoriti particiju S, ako je Aja međusobno se isključuju i njihova unija je S.

Imajući ovo, neka B bude još jedan događaj. Tada možemo vidjeti B kao

Gdje je Aja presječene s B su međusobno isključivi događaji.

I posljedično tome,

Zatim primjenjujući teorem o množenju

S druge strane, uvjetna vjerojatnost Ai danog B definirana je s

Na odgovarajući način zamijenimo moramo za bilo koji i

Primjene Bayesove teoreme

Zahvaljujući tom rezultatu, istraživačke grupe i različite korporacije su uspjele poboljšati sustave koji se temelje na znanju.

Primjerice, u proučavanju bolesti, Bayesov teorem može pomoći otkriti vjerojatnost da će se bolest naći u skupini ljudi s danom karakteristikom, uzimajući kao podatke globalne stope bolesti i prevlast navedenih obilježja u ljudi i zdravi i bolesni.

S druge strane, u svijetu visokih tehnologija, utjecao je na velike tvrtke koje su zahvaljujući tom rezultatu razvile softver "Based on Knowledge"..

Kao svakodnevni primjer imamo pomoćnika za Microsoft Office. Bayesov teorem pomaže softveru da procijeni probleme koje korisnik prezentira i utvrdi koji savjet pružiti i na taj način biti u mogućnosti ponuditi bolju uslugu u skladu s navikama korisnika.

Valja napomenuti da je ova formula bila ignorirana sve do nedavno, uglavnom zbog činjenice da je, kada je taj rezultat razvijen prije 200 godina, za njih bilo malo praktične uporabe. Međutim, u naše vrijeme, zahvaljujući velikom tehnološkom napretku, znanstvenici su postigli načine da ovaj rezultat uvedu u praksu.

Riješene vježbe

Vježba 1

Mobilna tvrtka ima dva stroja A i B. 54% proizvedenih mobitela je napravljeno strojom A, a ostatak strojom B. Nisu svi proizvedeni mobiteli u dobrom stanju..

Udio neispravnih mobitela A iznosi 0,2, a B je 0,5. Kolika je vjerojatnost da je mobilni telefon te tvornice neispravan? Što je vjerojatnost da, znajući da je mobitel neispravan, dolaze iz stroja A?

otopina

Evo, imate eksperiment koji se radi u dva dijela; u prvom dijelu događaji se događaju:

A: mobitel napravljen od stroja A.

B: mobitel napravljen strojem B.

Budući da stroj A proizvodi 54% mobitela, a ostatak proizvodi stroj B, stroj B proizvodi 46% mobilnih telefona. Navedene su vjerojatnosti tih događaja:

P (A) = 0,54.

P (B) = 0,46.

Događaji drugog dijela eksperimenta su:

D: neispravna stanica.

E: nefunkcionalna stanica.

Kao što je rečeno u izjavi, vjerojatnosti tih događaja ovise o rezultatu dobivenom u prvom dijelu:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

Pomoću tih vrijednosti možete odrediti i vjerojatnosti nadopunjavanja tih događaja:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0.2

= 0.8

i

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0.5

= 0.5.

Sada se događaj D može napisati na sljedeći način:

Koristeći teorem o množenju za uvjetnu vjerojatnost, rezultat je:

S kojim se odgovori na prvo pitanje.

Sada samo trebamo izračunati P (A | D), za koje vrijedi Bayesova teorema:

Zahvaljujući Bayesovoj teoremi, može se reći da je vjerojatnost da je mobitel napravljen pomoću stroja A, znajući da je mobitel neispravan, 0.319.

Vježba 2

Tri kutije sadrže bijele i crne kuglice. Sastav svakog od njih je sljedeći: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.

Jedna od kutija se bira nasumce i iz nje se izvlači slučajna lopta, koja se ispostavi da je bijela. Koja je kutija najvjerojatnije odabrana?

otopina

Kroz U1, U2 i U3, također ćemo predstavljati odabranu kutiju.

Ovi događaji tvore podjelu S i potvrđuje se da je P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 budući da je izbor okvira slučajan.

Ako je B = izvađena kugla bijela, imat ćemo P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .

Ono što želimo dobiti je vjerojatnost da je lopta izvađena iz kutije Ui znajući da je lopta bijela, to jest, P (Ui | B), i vidjeti koja je od triju vrijednosti najviša da bi znala koja je kutija je najvjerojatnije vađenje bijele kugle.

Primjena Bayesova teorema na prvi od okvira:

A za druga dva:

P (U2 | B) = 2/6 i P (U3 | B) = 1/6.

Zatim, prva kutija je ona koja ima veću vjerojatnost da je odabrana za vađenje bijele kuglice.

reference

  1. Kai Lai Chung Teorija elementarne dostupnosti s slučajnim procesima. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen, diskretna matematika i njezine primjene. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Vjerojatnost i statističke primjene. Inc. MEXICAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz 2000 Problemi s diskretnom matematikom. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Teorija i problemi vjerojatnosti. McGraw-Hill.