Sastav, vrste i primjeri izometrijskih transformacija



Izometrijske transformacije to su promjene položaja ili orijentacije određene figure koje ne mijenjaju ni oblik ni veličinu. Ove transformacije su podijeljene u tri vrste: prijevod, rotacija i refleksija (izometrija). Općenito, geometrijske transformacije omogućuju stvaranje novog lika iz drugog.

Transformacija u geometrijsku figuru znači da je na neki način bila podvrgnuta određenoj promjeni; to jest, da je izmijenjena. Prema smislu izvornog i sličnog u ravnini, geometrijske transformacije mogu se podijeliti u tri vrste: izometrijski, izomorfni i anamorfni..

indeks

  • 1 Značajke
  • 2 Vrste
    • 2.1 Prijevodom
    • 2.2 Rotacijom
    • 2.3 Odrazom ili simetrijom
  • 3 Sastav
    • 3.1 Sastav prijevoda
    • 3.2 Sastav rotacije
    • 3.3. Sastav simetrije
  • 4 Reference

značajke

Izometrijske transformacije nastaju kada se magnitude segmenata i kutovi između izvorne figure i transformirane konzerviraju.

U ovoj vrsti transformacije ne mijenjaju se ni oblik ni veličina figure (oni su sukladni), to je samo promjena položaja figure, bilo u orijentaciji ili u smjeru. Na taj će način početne i završne brojke biti slične i geometrijski sukladne.

Izometrija se odnosi na jednakost; to jest, da će geometrijske figure biti izometrijske ako imaju isti oblik i veličinu.

U izometrijskim transformacijama jedino što se može promatrati je promjena položaja u ravnini, dolazi do krutog kretanja zahvaljujući kojem se brojka kreće od početnog položaja u krajnji položaj. Ta se brojka naziva homologna (slična) izvorniku.

Postoje tri vrste pokreta koji klasificiraju izometrijsku transformaciju: translaciju, rotaciju i refleksiju ili simetriju.

vrsta

U prijevodu

Jesu li one izometrije koje omogućuju kretanje u ravnoj liniji svih točaka ravnine u zadanom smjeru i udaljenosti.

Kada se lik transformira prijevodom, on ne mijenja svoju orijentaciju u odnosu na početni položaj, niti gubi svoje unutarnje mjere, mjere svojih kutova i strana. Ovaj tip pomaka definiran je s tri parametra:

- Adresa, koja može biti vodoravna, okomita ili ukošena.

- Smisao, koji može biti lijevo, desno, gore ili dolje.

- Udaljenost ili veličina, koja je duljina od početnog položaja do kraja bilo koje točke koja se pomiče.

Da bi se ispunila izometrijska transformacija prijevodom, ona mora ispunjavati sljedeće uvjete:

- Slika mora uvijek držati sve svoje dimenzije, linearne i kutne.

- Slika ne mijenja svoj položaj u odnosu na horizontalnu os; to jest, njegov kut nikad ne varira.

- Prijevodi će uvijek biti sažeti u jednom, bez obzira na broj prijevoda.

U ravnini gdje je središte točka O, s koordinatama (0,0), prijevod se definira vektorom T (a, b), što ukazuje na pomicanje početne točke. To je:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Primjerice, ako je prijevod T (-4, 7) primijenjen na koordinatnu točku P (8, -2), dobivamo:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)

Na sljedećoj slici (lijevo) može se vidjeti kako se točka C pomiče na točku D. To je učinila u vertikalnom smjeru, smjer prema gore, a udaljenost ili veličina CD-a 8 metara. Na desnoj slici promatra se prijevod trokuta:

Rotacijom

To su one izometrije koje omogućuju da lik rotira sve točke aviona. Svaka se točka rotira za luk koji ima konstantni kut i određuje se fiksna točka (središte rotacije).

To znači da će sva rotacija biti definirana njegovim središtem rotacije i kutom zakretanja. Kada se brojka transformira rotacijom, ona zadržava mjeru svojih kutova i strana.

Rotacija se odvija u određenom smjeru, pozitivna je kada je rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (suprotno tome kako se okreću ruke sata) i negativna kada je rotacija u smjeru kazaljke na satu.

Ako se točka (x, y) zakrene u odnosu na podrijetlo - to jest, njegovo središte rotacije je (0,0) -, pod kutom od 90ili do 360ili Koordinate točaka bit će:

U slučaju kada rotacija nema središte na izvoru, podrijetlo koordinatnog sustava mora se prenijeti na novo zadano podrijetlo, kako bi se mogla okretati brojka sa središtem porijekla..

Na primjer, ako je točka P (-5.2) dobila rotaciju od 90ili, oko podrijetla iu pozitivnom smislu njegove nove koordinate će biti (-2.5).

Odrazom ili simetrijom

To su one transformacije koje invertiraju točke i figure aviona. To ulaganje može biti s obzirom na točku ili također može biti s obzirom na ravnu liniju.

Drugim riječima, u ovoj vrsti transformacije svaka točka izvorne figure povezana je s drugom točkom (slikom) homologne figure na takav način da su točka i njezina slika na istoj udaljenosti od linije koja se zove os simetrije..

Tako će lijevi dio slike biti odraz desnog dijela, bez promjene oblika ili dimenzija. Simetrija pretvara jedan lik u drugi, iako u suprotnom smjeru, kao što se može vidjeti na sljedećoj slici:

Simetrija je prisutna u mnogim aspektima, kao kod nekih biljaka (suncokreta), životinja (pauna) i prirodnih fenomena (pahulje). Ljudsko biće ga odražava na licu, što se smatra čimbenikom ljepote. Refleksija ili simetrija mogu biti dva tipa:

Središnja simetrija

Upravo se ta transformacija događa s obzirom na točku u kojoj lik može promijeniti svoju orijentaciju. Svaka točka izvorne figure i njezina slika su na istoj udaljenosti od točke O, koja se naziva središte simetrije. Simetrija je središnja kada:

- I točka i njezina slika i središte pripadaju istoj liniji.

- S rotacijom od 180ili središte O dobivate lik jednak izvorniku.

- Hodovi početne figure paralelni su s potezima oblikovane figure.

- Smisao figure se ne mijenja, uvijek će biti u smjeru kazaljke na satu.

Ta se transformacija događa s obzirom na os simetrije, gdje je svaka točka početne figure povezana s drugom točkom slike i one su na istoj udaljenosti od osi simetrije. Simetrija je aksijalna:

- Segment koji spaja točku s njezinom slikom okomit je na njezinu os simetrije.

- Brojke mijenjaju smjer u odnosu na skretanje ili u smjeru kazaljke na satu.

- Prilikom dijeljenja figure s središnjom linijom (os simetrije), jedna od rezultirajućih polovica potpuno odgovara drugoj polovici.

sastav

Kompozicija izometrijskih transformacija odnosi se na uzastopnu primjenu izometrijskih transformacija na istoj slici.

Sastav prijevoda

Sastav dva prijevoda rezultira drugim prijevodom. Kada se izvrši na ravnini, na horizontalnoj osi (x) mijenjaju se samo koordinate te osi, dok koordinate okomite osi (y) ostaju iste, i obratno.

Sastav rotacije

Sastav dvaju zavoja s istim središtem rezultira u drugom skretanju, koje ima isti centar i čija će amplituda biti zbroj amplituda dvaju zavoja.

Ako središte skretanja ima različito središte, odsječak simetrale dvaju segmenata sličnih točaka bit će središte skretanja.

Sastav simetrije

U tom slučaju, sastav će ovisiti o tome kako se primjenjuje:

- Ako se ista simetrija primjenjuje dva puta, rezultat će biti identitet.

- Ako se primjenjuju dvije simetrije s obzirom na dvije paralelne osi, rezultat će biti prijevod, a njegov pomak je dvostruka udaljenost tih osi:

- Ako se primjenjuju dvije simetrije s obzirom na dvije osi koje su izrezane u točki O (središte), dobiva se rotacija sa središtem na O i njegov kut će biti dvostruko veći od kuta koji čine osi:

reference

  1. V Burgués, J.F. (1988). Materijali za izradu geometrije. Madrid: Sinteza.
  2. Cesar Calavera, I.J. (2013). Tehnički crtež II. Paraninfo S.A: Ediciones de la Torre.
  3. Coxeter, H. (1971). Osnove geometrije Meksiko: Limusa-Wiley.
  4. Coxford, A. (1971). Geometrija Transformacijski pristup. SAD: Braća Laidlaw.
  5. Liliana Siñeriz, R. S. (2005). Indukcija i formalizacija u nastavi rigidnih transformacija u CABRI okruženju.
  6. , P.J. (1996). Skupina ravninskih izometrija. Madrid: Sinteza.
  7. Suárez, A.C. (2010). Transformacije u ravnini. Gurabo, Portoriko: AMCT .