Transformirana Laplaceova definicija, povijest, čemu služi, svojstva



iz Laplacea je u posljednjih nekoliko godina od velike važnosti u studijima inženjerstva, matematike, fizike, među drugim znanstvenim područjima, kao i da je od velikog interesa u teorijskim, pruža jednostavan način za rješavanje problema koji dolaze iz znanosti i inženjerstva.

Izvorno Laplaceovu transformaciju predstavio je Pierre-Simon Laplace u svojoj studiji o teoriji vjerojatnosti i prvotno se tretirao kao matematički objekt samo teoretskog interesa.

Sadašnje primjene nastaju kada različiti matematičari pokušaju dati formalno opravdanje "operativnim pravilima" koje Heaviside koristi u proučavanju jednadžbi elektromagnetske teorije..

indeks

  • 1 Definicija
    • 1.1
    • 1.2 Teorem (dostatni uvjeti za postojanje)
    • 1.3 Laplaceova transformacija nekih osnovnih funkcija
  • 2 Povijest
    • 2,1 1782, Laplace
    • 2.2 Oliver Heaviside
  • 3 Svojstva
    • 3.1 Linearnost
    • 3.2. Teorem o prvom prijevodu
    • 3.3 Teorem o drugom prijevodu
    • 3.4 Promjena ljestvice
    • 3,5 preobrazba Laplaceovih derivata
    • 3.6 Laplaceova transformacija integrala
    • 3.7 Množenje po tn
    • 3.8 Podjela po t
    • 3.9 Periodične funkcije
    • 3.10 Ponašanje F (s) kada s teži beskonačnosti
  • 4 Inverzne transformacije
    • 4.1 Vježba
  • 5 Primjene Laplaceove transformacije
    • 5.1. Diferencijalne jednadžbe
    • 5.2 Sustavi diferencijalnih jednadžbi
    • 5.3 Mehanika i električni krugovi
  • 6 Reference

definicija

Neka je f funkcija definirana za t ≥ 0. Laplaceova transformacija definirana je kako slijedi:

Rečeno je da Laplaceova transformacija postoji ako prethodni integral konvergira, inače se kaže da Laplaceova transformacija ne postoji.

Općenito, za označavanje funkcije koju netko želi transformirati, koriste se mala slova, a veliko slovo odgovara njegovoj transformaciji. Na taj ćemo način imati:

Primjeri

Razmotrimo konstantnu funkciju f (t) = 1. Imamo da je njezina transformacija:

Kad god integral konvergira, uvijek je pod uvjetom da s> 0. Inače, s < 0, la integral diverge.

Neka je g (t) = t. Vašu Laplaceovu transformaciju daje

Integracijom po dijelovima i poznavanjem vas-st ima tendenciju 0 kada t teži beskonačnosti i s> 0, zajedno s prethodnim primjerom imamo:

Transformacija može ili ne mora postojati, na primjer za funkciju f (t) = 1 / t integral koji definira njegovu Laplaceovu transformaciju ne konvergira i stoga njegova transformacija ne postoji.

Dovoljni uvjeti da se osigura da Laplaceova transformacija funkcije f postoji, da je f kontinuiran u dijelovima za t ≥ 0 i da je eksponencijalnog reda.

Rečeno je da je funkcija kontinuirana u dijelovima za t ≥ 0, kada je za bilo koji interval [a, b] s a> 0, konačni broj točaka tk, gdje f ima diskontinuitete i kontinuirano je u svakom podintervalu [tk-1,tk].

S druge strane, rečeno je da je funkcija eksponencijalnog reda c ako postoje stvarne konstante M> 0, c i T> 0 tako da:

Kao primjeri imamo da je f (t) = t2 je eksponencijalnog reda, budući da | t2| < e3t za sve t> 0.

Na formalan način imamo sljedeći teorem

Teorem (Dovoljni uvjeti za postojanje)

Ako je f kontinuirana funkcija po dijelu za t> 0 i eksponencijalnog reda c, tada postoji Laplaceova transformacija za s> c.

Važno je naglasiti da je to uvjet dostatnosti, to jest, može biti slučaj da postoji funkcija koja ne ispunjava te uvjete, pa čak i tada postoji njezina Laplaceova transformacija..

Primjer za to je funkcija f (t) = t-1/2 koja nije kontinuirana u dijelovima za t ≥ 0, ali njezina Laplaceova transformacija postoji.

Laplaceova transformacija nekih osnovnih funkcija

Sljedeća tablica prikazuje Laplaceove transformacije najčešćih funkcija.

povijest

Laplaceova transformacija je dobila ime Pierre-Simon Laplace, matematičar i francuski teoretski astronom koji je rođen 1749. i umro 1827. Njegova slava bila je takva da je bio poznat kao Newton of France..

Godine 1744. Leonard Euler posvetio je svoje studije integralima s oblikom

kao rješenja običnih diferencijalnih jednadžbi, ali su brzo napustili ovo istraživanje. Kasnije, Joseph Louis Lagrange, koji se uvelike divio Euleru, također je istraživao ovu vrstu integrala i povezao ih s teorijom vjerojatnosti..

1782, Laplace

Godine 1782. Laplace je počeo proučavati te integrale kao rješenja za diferencijalne jednadžbe i prema povjesničarima, 1785. odlučio je preformulirati problem, koji je kasnije rađao Laplaceove transformacije onako kako se danas shvaćaju..

Nakon što je uveden u polje teorije vjerojatnosti, bio je od malog interesa za znanstvenike tog vremena i bio je viđen samo kao matematički objekt samo teoretskog interesa..

Oliver Heaviside

Sredinom devetnaestog stoljeća engleski inženjer Oliver Heaviside otkrio je da se diferencijalni operatori mogu tretirati kao algebarske varijable, dajući tako njihovu modernu primjenu Laplaceovim transformacijama..

Oliver Heaviside bio je engleski fizičar, inženjer elektrotehnike i matematičar koji je rođen 1850. u Londonu i umro 1925. godine. suvremene primjene Laplaceovih transformacija.

Rezultati koje je prikazao Heaviside brzo su se proširili kroz znanstvenu zajednicu tog vremena, ali kako njegov rad nije bio strog, brzo su ga kritizirali tradicionalniji matematičari..

Međutim, korisnost Heavisideovog rada u rješavanju jednadžbi fizike učinila je njegove metode popularnim kod fizičara i inženjera.

Unatoč tim zastojima i nakon nekoliko desetljeća neuspjelih pokušaja, početkom 20. stoljeća moglo bi se dati strogo opravdanje za operativna pravila koja je dao Heaviside..

Ovi se pokušaji isplatili zahvaljujući naporima raznih matematičara poput Bromwicha, Carsona, van der Pola, među ostalima..

nekretnine

Među svojstvima Laplaceove transformacije ističu se:

linearnost

Neka su c1 i c2 konstante i f (t) i g (t) funkcije čije su Laplaceove transformacije F (s) odnosno G (s), tada moramo:

Zbog toga je rečeno da je Laplaceova transformacija linearni operator.

primjer

Teorem o prvom prijevodu

Ako se dogodi:

A 'a' je bilo koji stvarni broj, a zatim:

primjer

Kao Laplaceova transformacija cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) tada:

Drugi teorem o prijevodu

ako

tada

primjer

Ako je f (t) = t ^ 3, tada F (s) = 6 / s ^ 4. I stoga, transformacija

je G (s) = 6e-2s/ s ^ 4

Promjena ljestvice

ako

A 'a' je ne-nula stvarna, moramo

primjer

Budući da je transformacija f (t) = sin (t) F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) mora biti

transformacija Laplaceovih derivata

Ako f, f ', f ", ..., f(N) su kontinuirani za t ≥ 0 i imaju eksponencijalni red i f(N)(t) tada je kontinuirano u dijelovima za t ≥ 0, zatim

Laplaceova transformacija integrala

ako

tada

Množenje s tn

Ako moramo

tada

Podjela po t

Ako moramo

tada

Periodične funkcije

Neka je f periodička funkcija s razdobljem T> 0, to jest, f (t + T) = f (t), tada

Ponašanje F (s) kada s teži beskonačnosti

Ako je f kontinuirano u dijelovima i eksponencijalnom redu i

tada

Inverzne transformacije

Kada primijenimo Laplaceovu transformaciju na funkciju f (t) dobivamo F (s), koja predstavlja tu transformaciju. Na isti način možemo reći da je f (t) inverzna Laplaceova transformacija F (s) i napisana je kao

Znamo da su Laplaceove transformacije od f (t) = 1 i g (t) = t F (s) = 1 / s i G (s) = 1 / s2 stoga moramo to učiniti

Neke uobičajene inverzne Laplaceove transformacije su sljedeće

Osim toga, inverzna Laplaceova transformacija je linearna, tj. Ispunjena je

vježba

naći

Da bismo riješili ovu vježbu moramo uskladiti funkciju F (s) s jednom od prethodne tablice. U ovom slučaju, ako uzmemo n + 1 = 5 i upotrijebimo svojstvo linearnosti inverzne transformacije, množimo i dijelimo sa 4! uzimajući

Za drugu inverznu transformaciju primjenjujemo djelomične frakcije za ponovno upisivanje funkcije F (s), a zatim svojstvo linearnosti, dobivanje

Kao što možemo vidjeti iz ovih primjera, uobičajeno je da se funkcija F (s) koja se ocjenjuje ne slaže točno s bilo kojom od funkcija danih u tablici. Za ove slučajeve, kao što je uočeno, dovoljno je prepisati funkciju dok ne dođete do odgovarajućeg oblika.

Primjene Laplaceove transformacije

Diferencijalne jednadžbe

Glavna primjena Laplaceovih transformacija je rješavanje diferencijalnih jednadžbi.

Upotrebom svojstva transformacije izvedenice jasno je da

I od n-1 derivata procijenjenih pri t = 0.

To svojstvo čini transformaciju vrlo korisnom za rješavanje problema početne vrijednosti gdje su uključene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima.

Sljedeći primjeri pokazuju kako koristiti Laplaceovu transformaciju za rješavanje diferencijalnih jednadžbi.

Primjer 1

S obzirom na sljedeći početni problem vrijednosti

Koristite Laplaceovu transformaciju kako biste pronašli rješenje.

Primjenjujemo Laplaceovu transformaciju na svakog člana diferencijalne jednadžbe

Za svojstvo transformacije izvedenice imamo

Razvijanjem svih izraza i čišćenja, ostaje nam

Koristeći djelomične frakcije za ponovno upisivanje desne strane jednadžbe koju dobijemo

Konačno, naš je cilj pronaći funkciju y (t) koja zadovoljava diferencijalnu jednadžbu. Korištenje inverzne Laplaceove transformacije daje nam rezultat

Primjer 2

riješiti

Kao iu prethodnom slučaju, transformaciju primjenjujemo na obje strane jednadžbe i odvajamo po pojam.

Na taj način imamo kao rezultat

Zamjena danih početnih vrijednosti i čišćenje Y (s)

Pomoću jednostavnih frakcija možemo ponovno napisati jednadžbu kako slijedi

I primjena inverzne transformacije Laplacea daje nam kao rezultat

U tim primjerima može se doći do pogrešnog zaključka da ova metoda nije mnogo bolja od tradicionalnih metoda za rješavanje diferencijalnih jednadžbi.

Prednosti koje nudi Laplaceova transformacija su da nije potrebno koristiti varijacije parametara ili brinuti o različitim slučajevima metode neodređenog koeficijenta..

Osim rješavanja problema početne vrijednosti ovom metodom, od samog početka koristimo početne uvjete, tako da nije potrebno izvesti druge izračune kako bi se pronašlo određeno rješenje..

Sustavi diferencijalnih jednadžbi

Laplaceova transformacija može se također koristiti za pronalaženje rješenja za istodobne obične diferencijalne jednadžbe, kao što pokazuje sljedeći primjer.

primjer

riješiti

Uz početne uvjete x (0) = 8 e i (0) = 3.

Ako moramo

tada

Rješavanje rezultata u nama

A kada primijenimo Laplaceovu inverznu transformaciju imamo

Mehanika i električni krugovi

Laplaceova transformacija je od velike važnosti u fizici, uglavnom ima primjene za mehaničke i električne krugove.

Jednostavan električni krug sastoji se od sljedećih elemenata

Prekidač, baterija ili izvor, induktor, otpornik i kondenzator. Kada je sklopka zatvorena, proizvodi se električna struja koja je označena s (t). Kondenzatorski naboj označen je s q (t).

Kirchhoffovim drugim zakonom napon proizveden iz izvora E do zatvorenog kruga mora biti jednak zbroju svakog od napona.

Električna struja i (t) povezana je s nabojem q (t) u kondenzatoru s i = dq / dt. S druge strane, pad napona definiran je u svakom od elemenata kako slijedi:

Pad napona u otporniku je iR = R (dq / dt)

Pad napona u induktoru je L (di / dt) = L (d2q / dt2)

Pad napona u kondenzatoru je q / C

Ovim podacima i primjenom drugog Kirchhoffovog zakona na zatvoreni jednostavan krug, dobiva se diferencijalna jednadžba drugog reda koja opisuje sustav i omogućuje nam određivanje vrijednosti q (t).

primjer

Induktor, kondenzator i otpornik spojeni su na bateriju E, kao što je prikazano na slici. Induktor je od 2 henrija, kondenzator od 0,02 farads i otpor od 16 onhm. U trenutku t = 0 sklop je zatvoren. Pronađite opterećenje i struju u bilo kojem trenutku t> 0 ako je E = 300 volti.

Imamo da je diferencijalna jednadžba koja opisuje ovaj sklop sljedeća

Gdje su početni uvjeti q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Primjenjujući Laplaceovu transformaciju, dobivamo to

I čišćenje Q (t)

Zatim, primjenjujući obrnutu Laplaceovu transformaciju imamo

reference

  1. G. Holbrook, J. (1987). Laplaceova transformacija za inženjere elektronike. Limusa.
  2. Ruiz, L. M., i Hernandez, M. P. (2006). Diferencijalne jednadžbe i Laplaceova transformacija s aplikacijama. Uvodnik UPV.
  3. Simmons, G. F. (1993). Diferencijalne jednadžbe s aplikacijama i povijesnim bilješkama. McGraw-Hill.
  4. Spiegel, M. R. (1991). Laplaceova transformacija. McGraw-Hill.
  5. Zill, D.G., & Cullen, M.R. (2008). Diferencijalne jednadžbe s problemima vrijednosti na granici. Cengage Learning Editores, S.A..