Trinomij oblika x ^ 2 + bx + c (s primjerima)

Prije učenja za rješavanje trinomij oblika x ^ 2 + bx + c, čak i prije poznavanja pojma trinomije važno je znati dva bitna pojma; naime, pojmovi monomijalnog i polinomnog. Monomial je izraz tipa a * xⁿ, gdje je a racionalni broj, n je prirodni broj i x je varijabla.

Polinom je linearna kombinacija monomiala oblika a_n* xⁿ+u_n-1* x^n-1+... + a₂* x²+u₁* x + a₀, gdje je svaka od njih a_ja, s i = 0, ..., n je racionalni broj, n je prirodni broj, a_n je nula. U ovom slučaju se kaže da je stupanj polinoma n.

Polinom formiran sumom samo dva pojma (dva monoma) različitih stupnjeva, poznat je kao binom.

indeks

• 1 Trinomije
  • 1.1 Savršen kvadratni trinomij
• 2 Značajke trinomenata stupnja 2. \ t
  • 2.1 Savršen trg
  • 2.2 Formula otapala
  • 2.3 Geometrijsko tumačenje
  • 2.4 Faktoring trinomija
• 3 Primjeri
  • 3.1 Primjer 1
  • 3.2 Primjer 2
• 4 Reference

trinomials

Polinom formiran sumom samo tri termina (tri monomijala) različitih stupnjeva poznat je kao trinomij. Slijedi primjer trinomija:

• x³+x²+5x
• 2x⁴-x³+5
• x²+6x + 3

Postoji nekoliko vrsta trinomija. Od njih se ističe savršeni kvadratni trinomij.

Savršen kvadratni trinomij

Savršen kvadratni trinomij rezultat je podizanja binomnog kvadrata. Na primjer:

• (3 x-2)²= 9x²-12x + 4
• (2x³+y)²= 4x⁶+4x³y + y²
• (4x²-2y⁴)²= 16x⁴-16x²i⁴+4y⁸
• 1 / 16x²i⁸-1 / 2xy⁴z + z²= (1/4xy⁴)²-2 (1/4xy⁴) z + z²= (1/4xy⁴-z)²

Značajke trinomenata stupnja 2. \ t

Savršen trg

Općenito, trinomij oblika sjekira²+bx + c je savršeni kvadrat ako je njegova diskriminantna jednaka nuli; to jest, ako b²-4ac = 0, jer će u tom slučaju imati samo jedan korijen i može se izraziti u obliku a (x-d)²= ((A (x-d))², gdje je d korijen već spomenut.

Korijen polinoma je broj u kojem polinom postaje nula; drugim riječima, broj koji, zamjenom u x u izrazu polinoma, rezultira nulom.

Formula otapala

Opća formula za izračunavanje korijena polinoma drugog stupnja oblika ax²+bx + c je formula rezolvera, koja navodi da su ti korijeni dani kao (-b ± √ (b²-4ac)) / 2a, gdje b²-4ac je poznat kao diskriminantan i obično je označen s Δ. Iz ove formule slijedi ta sjekira²+bx + c ima:

- Dva različita stvarna korijena ako Δ> 0.

- Jedan pravi korijen ako je Δ = 0.

- Ako nema Δ, nema pravog korijena<0.

U nastavku ćemo razmotriti samo trinomije oblika x²+bx + c, gdje jasno c mora biti ne-nulti broj (inače bi to bio binom). Ova vrsta trinomija ima određene prednosti kod faktoringa i poslovanja s njima.

Geometrijska interpretacija

Geometrijski, trinomijalni x²+bx + c je parabola koja se otvara prema gore i ima vrh na točki (-b / 2, -b²/ 4 + c) kartezijanske ravnine jer x²+bx + c = (x + b / 2)²-b²/ 4 + c.

Ova parabola reže Y os na točkama (0, c) i X na točkama (d₁,0) i (d)₂,0); tada, d₁ i d₂ oni su korijeni trinomije. Može se dogoditi da trinomij ima jedan korijen d, u tom slučaju jedini rez s osi X bi bio (d, 0).

Također se može dogoditi da trinomij nema pravih korijena, u kojem slučaju ne bi rezao X osi u bilo kojoj točki.

Na primjer, x²+6x + 9 = (x + 3)²-9 + 9 = (x + 3)² je parabola s vrhom u (-3,0), koja reže Y osi u (0,9) i X osi u (-3,0).

Trinomska faktorizacija

Vrlo koristan alat pri radu s polinomima je faktoring, koji znači izraziti polinom kao proizvod čimbenika. Općenito, daje se trinomij oblika x²+bx + c, ako ima dva različita korijena d₁ i d₂, može se uračunati kao (x-d)₁) (x-d)₂).

Ako imate samo jedan korijen d, možete ga označiti kao (x-d) (x-d) = (x-d)², ako nema stvarnih korijena, ostaje isto; u ovom slučaju ne podupire faktorizaciju kao produkt drugih čimbenika osim sebe.

To znači da, poznavajući korijene trinomijuma već uspostavljenog oblika, njegova se faktorizacija može lako izraziti, i kao što je već spomenuto, ti se korijeni uvijek mogu odrediti pomoću rezolventa.

Međutim, postoji značajna količina ove vrste trinomija koja se može faktorizirati bez prethodnog poznavanja njihovih korijena, što pojednostavljuje rad.

Korijeni se mogu odrediti izravno iz faktorizacije bez potrebe za korištenjem formule razlučivača; to su polinomi oblika x² +(a + b) x + ab. U ovom slučaju imate:

x²+(a + b) x + ab = x²+ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Odavde se lako uočava da su korijeni -a i -b.

Drugim riječima, s obzirom na trinomijsku x²+bx + c, ako postoje dva broja u i v takva da je c = uv i b = u + v, onda x²+bx + c = (x + u) (x + v).

To jest, s obzirom na trinomijsku x²+bx + c, prvo provjerite postoje li dva broja koja umnožavaju den nezavisni izraz (c) i dodaju (ili oduzimaju, ovisno o slučaju), navedite pojam koji prati x (b).

Ne sa svim trodimenzijama na ovaj način može se primijeniti ova metoda; gdje ne možete, idete u razrjeđivač i primijenite gore spomenuto.

Primjeri

Primjer 1

Faktor sljedećeg trinomijalnog x²+3x + 2 postupamo kako slijedi:

Morate pronaći dva broja tako da kada ih dodate, rezultat je 3, a kada ih pomnožite, rezultat je 2.

Nakon inspekcije može se zaključiti da su traženi brojevi: 2 i 1. Dakle, x²+3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Primjer 2

Faktor trinomije x²-5x + 6 tražimo dva broja čiji je zbroj -5 i njegov proizvod je 6. Brojevi koji zadovoljavaju ova dva uvjeta su -3 i -2. Stoga je faktorizacija danog trinomija x²-5x + 6 = (x-3) (x-2).

reference

1. Izvori, A. (2016). OSNOVNA MATEMATIKA. Uvod u izračun. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratne jednadžbe: Kako riješiti kvadratnu jednadžbu. Marilù Garo.
3. Haeussler, E.F. i Paul, R.S. (2003). Matematika za upravu i ekonomiju. Obrazovanje Pearson.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., i Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. prag.
5. Preciado, C. T. (2005). Tečaj matematike 3o. Uređivanje Progreso.
6. Rock, N. M. (2006). Algebra je jednostavna! Tako jednostavno. Tim Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra i trigonometrija. Obrazovanje Pearson.