Značajke jednakokračnog trokuta, formula i područje, izračun



jednakokračan trokut To je trostrani poligon, gdje dva od njih imaju ista mjerenja, a treća strana različita mjerenja. Ova posljednja strana naziva se baza. Zbog te je karakteristike dobila ovo ime, što na grčkom znači "jednake noge".

Trokuti su poligoni koji se smatraju najjednostavnijim u geometriji, jer su formirani s tri strane, tri kuta i tri vrha. To su oni koji imaju najmanji broj strana i kutova u odnosu na druge poligone, ali je njegova uporaba vrlo opsežna.

indeks

  • 1 Značajke jednakostraničnih trokuta
    • 1.1 Komponente
  • 2 Svojstva
    • 2.1 Unutarnji kutovi
    • 2.2 Zbroj strana
    • 2.3 Odgovarajuće strane
    • 2.4 Odgovarajući kutovi
    • 2.5 Visina, medijana, simetrala i simetrala su podudarni
    • 2.6 Relativne visine
    • 2.7 Orthocenter, barycenter, incenter i circumcenter podudaraju se
  • 3 Kako izračunati opseg?
  • 4 Kako izračunati visinu?
  • 5 Kako izračunati područje?
  • 6 Kako izračunati osnovicu trokuta?
  • 7 vježbi
    • 7.1 Prva vježba
    • 7.2 Druga vježba
    • 7.3 Treća vježba
  • 8 Reference

Značajke jednakostraničnih trokuta

Jednakokračni trokut klasificiran je mjerenjem njegovih strana kao parametar, budući da su dvije njegove strane kongruentne (imaju istu duljinu).

Prema amplitudi unutarnjih kutova, jednakokračni trokuti klasificirani su kao:

  • Pravokutni jednakokračan trokut: dvije njegove strane su jednake. Jedan od njegovih kutova je ravan (90. \ Tili), a ostali su isti (45. \ tili svaki od njih)
  • Trokut jednolikog tupog kuta: dvije njegove strane su jednake. Jedan od njegovih kutova je tup (> 90 °)ili).
  • Jednakokraki akutni kutni trokut: dvije njegove strane su jednake. Svi su kutovi oštri (< 90ili), gdje dvije imaju istu mjeru.

komponente

  • Srednja vrijednost: je linija koja napušta središnju točku jedne strane i doseže suprotni vrh. Tri medijana se slažu u točki zvanoj centroid ili centroid.
  • Simetrala: je zraka koja dijeli kut svakog vrha u dva kuta jednake veličine. Zato je poznata kao os simetrije i ovaj tip trokuta ima samo jedan.
  • Posrednica: je segment okomit na stranu trokuta, koji nastaje u sredini toga. Postoje tri mediatices u trokut i oni concur u točku zove circuncentro.
  • Visina: je pravac koji ide od vrha prema suprotnoj strani i također je okomita na tu stranu. Svi trokuti imaju tri visine, koje se poklapaju u točki koja se naziva ortocentar.

nekretnine

Jednakokraki trokuti su definirani ili identificirani jer imaju nekoliko svojstava koja ih predstavljaju, potječu od teorema koje su predložili veliki matematičari:

Unutarnji kutovi

Zbroj unutarnjih kutova uvijek je jednak 180ili.

Zbroj strana

Zbroj mjera dviju strana uvijek mora biti veći od mjere treće strane, a + b> c.

Congruent strane

Jednakokraki trokuti imaju dvije strane s istom mjerom ili duljinom; to jest, oni su sukladni i treća strana se razlikuje od njih.

Odgovarajući kutovi

Jednakokraki trokuti također su poznati kao trokuti izo-kutova, jer imaju dva kuta koja imaju istu mjeru (kongruenti). Oni se nalaze u podnožju trokuta, nasuprot stranama koje imaju istu dužinu.

Zbog toga, teorem koji utvrđuje da:

"Ako trokut ima dvije kongruentne strane, kutovi nasuprot tim stranama također će biti podudarni." Stoga, ako je trokut jednakost, kutovi njegovih baza su podudarni.

primjer:

Sljedeća slika prikazuje trokut ABC. Prateći simetrala od vrha kuta B do baze, trokut je podijeljen u dva trokuta jednaka BDA i BDC:

Tako je i kut vrha B također podijeljen u dva jednaka kuta. Simetrala je sada strana (BD) zajednička između ta dva nova trokuta, dok su strane AB i BC sukladne strane. Dakle, imate slučaj kongruencije, kuta, strane (LAL).

To pokazuje da kutovi vrhova A i C imaju istu mjeru, kao što se također može pokazati da su trokuti BDA i BDC sukladni, a AD i DC strane su također podudarne..

Visina, medijana, simetrala i simetrala su podudarni

Linija koja je nacrtana od vrha nasuprot baze do sredine baze jednakokračnog trokuta, istodobno je visina, medijana i simetrala, kao i simetrala u odnosu na suprotni kut baze.

Svi ti segmenti podudaraju se u onom koji ih predstavlja.

primjer:

Sljedeća slika prikazuje trokut ABC s srednjom točkom M koja dijeli bazu na dva segmenta BM i CM.

Kada nacrtate segment od točke M do suprotnog vrha, po definiciji dobivate medijan AM, koji je relativan na vrh A i BC stranu.

Budući da AM segment dijeli trokut ABC na dva jednaka trokuta AMB i AMC, to znači da će se uzeti slučaj bočne, kutne, bočne kongruencije i stoga će AM biti i simetrala BÂC.

Zbog toga je simetrala uvijek jednaka medijani i obratno.

AM segment tvori kutove koji imaju istu mjeru za AMB i AMC trokute; to jest, oni su dopunski na takav način da će svaka mjera biti:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180ili

2 * Med. (AMC) = 180ili

Med. (AMC) = 180ili . 2

Med. (AMC) = 90ili

Može se znati da su kutovi koje čini AM segment u odnosu na bazu trokuta ravni, što ukazuje da je taj segment potpuno okomit na bazu.

Stoga predstavlja visinu i simetrala, znajući da je M središte.

Stoga je pravac AM:

  • Predstavlja visinu BC.
  • Srednje je.
  • Ona je sadržana u medijalici BC.
  • To je simetrala kuta temena Â

Relativne visine

Visine koje su u odnosu na jednake strane također imaju istu mjeru.

Budući da jednakokračan trokut ima dvije jednake strane, njihove dvije odgovarajuće visine također će biti jednake.

Orthocenter, barycenter, incenter i circumcenter podudaraju se

Kako su visina, medijana, simetrala i simetrala u odnosu na bazu istovremeno predstavljeni istim segmentom, ortocentar, centrocentrični incenter i circumcenter će biti kolinearne točke, odnosno bit će na istoj liniji:

Kako izračunati opseg?

Obim poligona izračunava se zbrojem strana.

Kako je u ovom slučaju jednakokračan trokut s dvije strane s istom mjerom, njegov se perimetar izračunava sljedećom formulom:

P = 2*(strana a) + (strana b).

Kako izračunati visinu?

Visina je pravac okomit na bazu, dijeli trokut na dva jednaka dijela protežući se do suprotnog vrha.

Visina predstavlja suprotnu nogu (a), pola baze (b / 2) do susjedne noge i "a" strana predstavlja hipotenuzu.

Koristeći Pitagorin teorem, možete odrediti vrijednost visine:

u2 + b2 = c2

gdje je:

u2 = visina (h).

b2 = b / 2.

c2 = strana a.

Zamjenjujući ove vrijednosti Pitagoreanskim teoremom i pročišćavajući visinu imamo:

h2 + (b / 2)2 = u2

h2 + b2 / 4 = u2

h2 = u2 - b2 / 4

h = √ (u2 - b2 / 4).

Ako je poznati kut koji čine kongruentne strane, visina se može izračunati pomoću sljedeće formule:

Kako izračunati područje?

Područje trokuta uvijek se izračunava s istom formulom, množenjem baze po visini i dijeljenju na dvije:

Postoje slučajevi u kojima su poznata samo mjerenja dviju strana trokuta i kut između njih. U tom slučaju, za određivanje područja potrebno je primijeniti trigonometrijske omjere:

Kako izračunati bazu trokuta?

Kako jednakokračan trokut ima dvije jednake strane, za određivanje vrijednosti njegove baze treba znati barem mjeru visine ili jednog od njegovih kutova..

Poznavajući visinu koristi se Pitagorin teorem:

u2 + b2 = c2

gdje je:

u2 = visina (h).

c2 = strana a.

b2 = b / 2, nije poznato.

Očistili smo b2 formule i moramo:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Budući da ta vrijednost odgovara polovici baze, mora se pomnožiti s dva da bi se dobila potpuna mjera baze jednakostraničnog trokuta:

b = 2 * (. A2 - c2)

U slučaju da su poznate samo vrijednosti jednakih stranica i kuta između njih, primjenjuje se trigonometrija koja prati liniju od vrha do baze koja dijeli jednakokračan trokut na dva desna trokuta.

Na taj se način pola baze izračunava pomoću:

Također je moguće da je poznata samo vrijednost visine i kuta vrha koji je suprotan bazi. U tom slučaju pomoću trigonometrije može se odrediti baza:

trening

Prva vježba

Nađite područje jednakostraničnog trokuta ABC, znajući da dvije njegove strane mjere 10 cm, a treća strana 12 cm.

otopina

Za pronalaženje područja trokuta potrebno je izračunati visinu pomoću formule područja koje je povezano s Pitagorejskom teoremom, budući da vrijednost kuta formiranog između jednakih strana nije poznata..

Imamo sljedeće podatke jednakostraničnog trokuta:

  • Jednake strane (a) = 10 cm.
  • Baza (b) = 12 cm.

Vrijednosti u formuli se zamjenjuju:

Druga vježba

Duljina dviju jednakih strana jednakokračnog trokuta mjeri 42 cm, spoj tih strana tvori kut od 130 cmili. Odredite vrijednost treće strane, područje tog trokuta i opseg.

otopina

U ovom slučaju poznata su mjerenja strana i kut između njih.

Da bismo znali vrijednost nedostajuće strane, tj. Bazu tog trokuta, crta je okomita na nju, dijeleći kut na dva jednaka dijela, jedan za svaki pravokutnik koji je formiran.

  • Jednake strane (a) = 42 cm.
  • Kut (Ɵ) = 130ili

Sada se trigonometrijom izračunava vrijednost polovice baze koja odgovara polovici hipotenuze:

Za izračun površine potrebno je znati visinu tog trokuta koji se može izračunati trigonometrijski ili Pitagorinim teoremom, sada kada je vrijednost baze već određena.

Prema trigonometriji to će biti:

Perimetar se izračunava:

P = 2*(strana a) + (strana b).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Treća vježba

Izračunajte unutarnje kutove jednakostraničnog trokuta, znajući da je kut osnove. = 55ili

otopina

Da biste pronašli dva nedostajuća kuta (Ô i Ô) potrebno je zapamtiti dva svojstva trokuta:

  • Zbroj unutarnjih kutova svakog trokuta uvijek će biti = 180ili:

 + Ê + Ô = 180 ili

  • U jednakokračnom trokutu, kutovi baze uvijek su sukladni, tj. Imaju istu mjeru, dakle:

 = Ô

55 = 55ili

Za određivanje vrijednosti kuta Ê, zamijenite vrijednosti drugih kutova u prvom pravilu i očistite Ê:

55ili + 55ili + 180 = 180 ili

110 ili + 180 = 180 ili

180 = 180 ili - 110 ili

70 = 70 ili.

reference

  1. Álvarez, E. (2003). Elementi geometrije: s brojnim vježbama i geometrijom kompasa. Sveučilište u Medellinu.
  2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tehničko crtanje: bilježnica aktivnosti.
  3. Angel, A.R. (2007). Elementarna algebra Obrazovanje Pearson.
  4. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Obrazovanje Pearson.
  5. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultura.
  6. José Jiménez, L. J. (2006). Matematika 2.
  7. Tuma, J. (1998). Priručnik za inženjersku matematiku. Wolfram MathWorld.