Značajke trokuta, formula i područja, izračun



trokut To je trostrani poligon, gdje svatko ima različita mjerenja ili duljine; iz tog razloga dobiva ime skalen, što na latinskom znači penjanje.

Trokuti su poligoni koji se smatraju najjednostavnijim u geometriji, jer se formiraju tri strane, tri kuta i tri vrha. U slučaju skalen trokuta, budući da ima sve različite strane, to znači da će njegova tri kuta također biti različita..

indeks

  • 1 Značajke skalenskih trokuta
    • 1.1 Komponente
  • 2 Svojstva
    • 2.1 Unutarnji kutovi
    • 2.2 Zbroj strana
    • 2.3 Nedosljedne strane
    • 2.4 Incongruent kutovi
    • 2.5 Visina, medijana, simetrala i simetrala nisu podudarni
    • 2.6 Orthocenter, barycenter, incenter i circumcenter nisu slučajni
    • 2.7 Relativne visine
  • 3 Kako izračunati opseg?
  • 4 Kako izračunati područje?
  • 5 Kako izračunati visinu?
  • 6 Kako izračunati strane?
  • 7 vježbi
    • 7.1 Prva vježba
    • 7.2 Druga vježba
    • 7.3 Treća vježba
  • 8 Reference

Značajke skalenskih trokuta

Trokuti skale su jednostavni poligoni jer niti jedna njihova strana ili kutovi nemaju istu mjeru, za razliku od jednakokračnih i jednakostraničnih trokuta.

Budući da sve njegove strane i kutovi imaju različita mjerenja, ti se trokuti smatraju nepravilnim konveksnim poligonima.

Prema amplitudi unutarnjih kutova, skalenski trokuti se klasificiraju kao:

  • Mjerilo pravokutnog trokuta: sve su njegove strane različite. Jedan od njegovih kutova je ravan (90. \ Tili), a ostali su oštri i s različitim mjerama.
  • Trokut oštrih kutova mjerila: sve njegove strane su različite i jedan od njegovih kutova je tup (> 90)ili).
  • Skaliranje pravokutnog trokuta: sve su njegove strane različite. Svi su kutovi oštri (< 90ili), s različitim mjerama.

Još jedna karakteristika skalenih trokuta je da zbog nesukladnosti njihovih strana i kutova nemaju os simetrije.

komponente

Srednja vrijednost: je linija koja napušta središnju točku jedne strane i doseže suprotni vrh. Tri medijana se slažu u točki zvanoj centroid ili centroid.

Simetrala: je zrak koji dijeli svaki kut na dva kuta jednake veličine. Simptomi trokuta slagaju se u točki pod nazivom incentro.

Posrednica: je segment okomit na stranu trokuta, koji nastaje u sredini toga. Postoje tri medijate u trokutu i slažu se u točki zvanoj circumcenter.

Visina: je pravac koji ide od vrha prema suprotnoj strani i također je okomita na tu stranu. Svi trokuti imaju tri visine koje se poklapaju u točki koja se zove orthocenter.

nekretnine

Skala trokuta su definirana ili identificirana jer imaju nekoliko svojstava koja ih predstavljaju, nastala iz teorema koje su predložili veliki matematičari. To su:

Unutarnji kutovi

Zbroj unutarnjih kutova uvijek je jednak 180ili.

Zbroj strana

Zbroj mjera dviju strana uvijek mora biti veći od mjere treće strane, a + b> c.

Nedosljedne strane

Sve strane raznobojnih trokuta imaju različite mjere ili duljine; to jest, oni su nepodudarni.

Nedosljedni kutovi

Budući da su sve strane skalen trokuta različite, njihovi će kutovi biti različiti. Međutim, zbroj unutarnjih kutova uvijek će biti jednak 180º, au nekim slučajevima jedan od njegovih kutova može biti tup ili ravan, dok će u drugima svi njegovi kutovi biti akutni.

Visina, medijana, simetrala i simetrala nisu podudarni

Kao i svaki trokut, skalen ima nekoliko segmenata ravnih linija koje ga sastavljaju, kao što su: visina, medijana, simetrala i simetrala.

Zbog posebnosti njegovih strana, u ovoj vrsti trokuta niti jedna od tih linija neće se podudarati u jednoj jedinici.

Orthocenter, barycenter, incenter i circumcenter nisu slučajni

Kako su visina, medijana, simetrala i simetrala predstavljeni različitim segmentima ravnih linija, u skalenskom trokutu susjedne točke - orthocenter, centrocenter, incenter i circumcenter - nalaze se u različitim točkama (ne podudaraju se).

Ovisno o tome je li trokut akutan, pravokutnik ili skalen, orthocenter ima različite lokacije:

a. Ako je trokut akutan, ortocentar će biti unutar trokuta.

b. Ako je trokut pravokutnik, ortocentar će se podudarati s vrhom ravne strane.

c. Ako je trokut tup, ortocentar će biti s vanjske strane trokuta.

Relativne visine

Visine su u odnosu na strane.

U slučaju skalen trokuta ove visine će imati različita mjerenja. Svaki trokut ima tri relativne visine i za izračunavanje se koristi formula Heron.

Kako izračunati opseg?

Obim poligona izračunava se zbrojem strana.

Kao što u ovom slučaju skalen trokut ima sve svoje strane s različitim mjerama, njegov perimetar će biti:

P = strana a + strana b + strana c.

Kako izračunati područje?

Područje trokuta uvijek se izračunava s istom formulom, množenjem baze po visini i dijeljenju na dvije:

Površina = (baza * h). 2

U nekim slučajevima visina raznovrsnog trokuta nije poznata, ali postoji formula koju je predložila matematička čaplja, kako bi izračunala područje znajući mjerenje tri strane trokuta..

gdje je:

  • a, b i c, predstavljaju strane trokuta.
  • sp, odgovara poluperimetru trokuta, tj. polovici perimetra:

sp = (a + b + c). 2

U slučaju da imate samo mjerenje dviju strana trokuta i kut koji se formira između njih, područje se može izračunati primjenom trigonometrijskih omjera. Dakle, morate:

Površina = (strana * h). 2

Gdje je visina (h) rezultat jedne strane sinusom suprotnog kuta. Na primjer, za svaku stranu područje će biti:

  • Površina = (b * c * sen A) 2
  • Područje = (a * c * B). 2.
  • Područje = (a * b * sen C) 2

Kako izračunati visinu?

Budući da su sve strane skalen trokuta različite, nije moguće izračunati visinu s Pitagorovim teoremom..

Iz formule Heron, koja se temelji na mjerenju tri strane trokuta, može se izračunati područje.

Visina se može izbrisati iz opće formule područja:

Strana je zamijenjena mjerenjem strane a, b ili c.

Drugi način izračunavanja visine kada je poznata vrijednost jednog od kutova je primjena trigonometrijskih omjera, gdje će visina predstavljati nogu trokuta..

Na primjer, kada je poznati suprotni kut do visine, on će biti određen sinusom:

Kako izračunati strane?

Kada imate mjeru dviju strana i kut suprotan njima, moguće je odrediti treću stranu primjenom teorema kosinusa.

Na primjer, u trokutu AB iscrtava se visina u odnosu na segment AC. Tako je trokut podijeljen u dva pravokutna trokuta.

Za izračunavanje c-strane (segment AB), Pythagorean teorem se primjenjuje za svaki trokut:

  • Za plavi trokut morate:

c2 = h2 + m2

Kao m = b - n, zamjenjuje se:

c2 = h2 + b2 (b - n)2

c2 = h2 + b2 - 2bn + n2.

  • Za ružičasti trokut morate:

h2 = a2 - n2

Zamjenjuje se u prethodnoj jednadžbi:

c2 = a2 - n2 + b2 - 2bn + n2

c2 = a2 + b2 - 2bn.

Znajući da je n = a * cos C, zamjenjuje se u prethodnoj jednadžbi i dobiva se vrijednost strane c:

c2 = a2 + b2 - 2b* u * cos C.

Prema Zakonu o kosinusima, strane se mogu izračunati kao:

  • u2 = b2 + c2 - 2b* c * cos A.
  • b2 = a2 + c2 - 2.* c * cos B.
  • c2 = a2 + b2 - 2b* u * cos C.

Postoje slučajevi kada mjerenja strana trokuta nisu poznata, već njihova visina i kutovi koji se formiraju u vrhovima. Za određivanje površine u tim slučajevima potrebno je primijeniti trigonometrijske omjere.

Poznavajući kut jednog od njegovih vrhova, noge se identificiraju i koristi se odgovarajući trigonometrijski omjer:

Na primjer, kathetus AB će biti suprotan za kut C, ali uz kut A. Ovisno o strani ili kathetusu koji odgovara visini, druga strana je očišćena kako bi se dobila vrijednost ovog.

trening

Prva vježba

Izračunajte područje i visinu skalen trokuta ABC, znajući da su njegove strane:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

otopina

Kao podaci daju se mjerenja tri strane skalen trokuta.

Budući da nemate vrijednost visine, možete odrediti područje primjenom Heron formule.

Prvo se izračunava semiperimetar:

sp = (a + b + c). 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) 2

sp = 36 cm. 2

sp = 18 cm.

Sada se vrijednosti u formuli Heron zamjenjuju:

Znajući područje može se izračunati relativna visina na b. B. Iz opće formule, očistite je:

Površina = (strana * h). 2

46, 47 cm2 = 12 cm * h). 2

h = (2 * 46,47 cm2) Cm 12 cm

h = 92,94 cm2 Cm 12 cm

= 7.75 cm.

Druga vježba

S obzirom na skalirani trokut ABC, čije su mjere sljedeće:

  • Segment AB = 25 m.
  • Segment BC = 15 m.

Na vrhu B se formira kut od 50 °. Izračunajte relativnu visinu na stranu c, obod i područje tog trokuta.

otopina

U tom slučaju imate mjere dviju strana. Za određivanje visine potrebno je izračunati mjerenje treće strane.

Budući da je naveden kut koji je suprotan danim stranama, moguće je primijeniti zakon kosinusa kako bi se odredilo mjerenje AC strane (b):

b2 = a2 + c2 - 2.*c * cos B

gdje je:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50ili.

Podaci su zamijenjeni:

b2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

b2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

b2 = (225) + (625) - (482.025)

b2 = 367,985

b = 367.985

b = 19,18 m.

Kako već imate vrijednost tri strane, izračunajte opseg tog trokuta:

P = strana a + strana b + strana c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Sada je moguće odrediti područje primjenom Heron formule, ali prvo se mora izračunati semiperimetar:

sp = P. 2

sp = 59,18 m. 2

sp = 29,59 m.

Mjerenja strana i poluperimetra zamijenjena su u Heron formuli:

Konačno, znajući područje, može se izračunati relativna visina na strani c. Iz opće formule, čisteći je morate:

Površina = (strana * h). 2

143,63 m2 = 25 m * h). 2

h = (2 * 143,63 m2) ÷ 25 m

h = 287,3 m2 M 25 m

h = 11,5 m.

Treća vježba

U skalenskom trokutu ABC strana b mjeri 40 cm, strana c mjeri 22 cm, a na vrhu A formira se kut od 90 cm.ili. Izračunajte područje tog trokuta.

otopina

U ovom slučaju daju se mjerenja dviju strana skalen trokuta ABC, kao i kut koji se formira na vrhu A.

Za određivanje površine nije potrebno izračunati mjeru strane a, budući da se kroz trigonometrijske omjere koristi kut za njegovo pronalaženje..

Budući da je poznati suprotni kut u odnosu na visinu, to će odrediti proizvod s jedne strane i sinus kuta.

Zamjenom u formuli područja morate:

  • Površina = (strana * h). 2
  • h = c * sen A

Površina = (b * c * sen A) 2

Površina = (40 cm * 22 cm * s 90) 2

Površina = (40 cm * 22 cm * 1). 2

Površina = 880 cm2 . 2

Područje = 440 cm2.

reference

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tehničko crtanje: bilježnica aktivnosti.
  2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Geometrije. Tehnologija CR, .
  3. Angel, A.R. (2007). Elementarna algebra Obrazovanje Pearson,.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultura.
  5. Barbosa, J.L. (2006). Ravna euklidska geometrija. Rio de Janeiro,.
  6. Coxeter, H. (1971). Osnove geometrije Meksiko: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Osnovna geometrija za studente. Cengage učenje.
  8. Harpe, P. d. (2000). Teme u geometrijskoj teoriji grupa. Sveučilište Chicago Press.