Značajke, svojstva, formule i područje jednakostraničnog trokuta



jednakostraničan trokut to je poligon s tri strane, gdje su svi jednaki; to jest, imaju istu mjeru. Za tu osobinu je dobila ime jednakostraničnih (jednakih strana).

Trokuti su poligoni koji se smatraju najjednostavnijim u geometriji, jer se formiraju tri strane, tri kuta i tri vrha. U slučaju jednakostraničnog trokuta, s jednakim stranama, podrazumijeva se da će njegova tri kuta također biti.

indeks

  • 1 Značajke jednakostraničnih trokuta
    • 1.1 Jednake strane
    • 1.2 Komponente
  • 2 Svojstva
    • 2.1 Unutarnji kutovi
    • 2.2 Vanjski kutovi
    • 2.3 Zbroj strana
    • 2.4 Odgovarajuće strane
    • 2.5 Odgovarajući kutovi
    • 2. Simetrala, medijana i mediatrix su podudarni
    • 2.7 Simetrala i visina se podudaraju
    • 2.8 Orthocenter, barycenter, incenter i circumcenter koincidiraju
  • 3 Kako izračunati opseg?
  • 4 Kako izračunati visinu?
  • 5 Kako izračunati strane?
  • 6 Kako izračunati područje?
  • 7 vježbi
    • 7.1 Prva vježba
    • 7.2 Druga vježba
    • 7.3 Treća vježba
  • 8 Reference

Značajke jednakostraničnih trokuta

Jednake strane

Jednakostranični trokuti su ravni i zatvoreni, sastavljeni od tri segmenta ravnih linija. Trokuti se klasificiraju prema svojim karakteristikama, u odnosu na njihove strane i kutove; jednakostraničan je klasificiran korištenjem mjere njegovih strana kao parametar, budući da su oni potpuno isti, tj. oni su podudarni.

Jednakostraničan trokut je poseban slučaj jednakostraničnog trokuta jer su dvije njegove strane sukladne. Zato su i svi jednakostranični trokuti jednakostranični, ali svi jednakokračni trokuti neće biti jednakostranični.

Na taj način jednakostranični trokuti imaju ista svojstva jednakostraničnog trokuta.

Jednakostranični trokutići također se mogu svrstati po amplitudi njihovih unutarnjih kutova kao jednakostranični kutni trokut, koji ima tri strane i tri unutarnja kuta s istom mjerom. Kutovi će biti oštri, tj. Bit će manji od 90ili.

komponente

Trouglovi općenito imaju nekoliko redaka i točaka koje ga sastavljaju. Koriste se za izračunavanje površine, bočnih strana, kutova, medijana, simetrala, okomice i visine.

  • Srednja vrijednost: je linija koja napušta središnju točku jedne strane i doseže suprotni vrh. Tri medijana se slažu u točki zvanoj centroid ili centroid.
  • Simetrala: je zraka koja dijeli kut vertikala u dva kuta jednake veličine, zato je poznata kao os simetrije. Jednakostraničan trokut ima tri osi simetrije.

U jednakostraničnom trokutu simetrala se povlači od vrha kuta do njegove suprotne strane, rezanjem na srednjoj točki. One se slažu u točki pod nazivom incentro.

  • Posrednica: je segment okomit na stranu trokuta koji potječe iz sredine. Postoje tri mediatices u trokut i oni concur u točku zove circuncentro.
  • Visina: je pravac koji ide od vrha prema suprotnoj strani i također je okomita na tu stranu. Svi trokuti imaju tri visine koje se poklapaju u točki koja se zove orthocenter.

nekretnine

Glavno svojstvo jednakostraničnih trokuta je da će uvijek biti jednakokračni trokuti, budući da su jednakokrake oblikovane s dvije sukladne strane, a jednakostranice s tri.

Na taj način, jednakostranični trokuti naslijedili su sva svojstva jednakostraničnog trokuta:

Unutarnji kutovi

Zbroj unutarnjih kutova uvijek je jednak 180ili, i budući da su svi njegovi kutovi sukladni, svaki od njih će mjeriti 60ili.

Vanjski kutovi

Zbroj vanjskih kutova uvijek će biti jednak 360ili, stoga će svaki vanjski kut mjeriti 120ili. To je zato što su unutarnji i vanjski kutovi dopunski, tj. Dodavanje će uvijek biti jednako 180ili.

Zbroj strana

Zbroj mjera dviju strana mora uvijek biti veći od mjere treće strane, tj. A + b> c, gdje su a, b i c mjerenja svake strane.

Congruent strane

Jednakostranični trokuti imaju svoje tri strane s istom mjerom ili duljinom; to jest, oni su podudarni. Stoga u prethodnoj točki imamo a = b = c.

Odgovarajući kutovi

Jednakostrani trokuti također su poznati kao jednakokutni trokuti, jer su njihova tri unutarnja kuta sukladna jedan s drugim. To je zato što sve njegove strane imaju istu mjeru.

Simetrala, medijana i mediatrix su slučajne

Simetrala dijeli stranu trokuta na dva dijela. U jednakostraničnim trokutima ta će strana biti podijeljena na dva točno jednaka dijela, tj. Trokut će biti podijeljen u dva kongruentna desna trokuta.

Dakle, simetrala izvučena iz bilo kojeg kuta jednakostraničnog trokuta podudara se s medijanom i simetralom suprotne strane tog kuta.

primjer:

Sljedeća slika prikazuje trokut ABC sa središnjom točkom D koja dijeli jednu od njegovih strana na dva segmenta AD i BD.

Kada nacrtate liniju od točke D do suprotnog vrha, po definiciji dobivate medijan CD-a, koji je relativan na vrh C i AB stranu.

Budući da CD segment dijeli trokut ABC na dva trokuta jednaka CDB i CDA, to znači da ćemo imati slučaj kongruencije: bočni, kutni, bočni i stoga će i CD biti simetrala BCD-a..

Prilikom crtanja CD segmenta, podijelite kut vrha u dva jednaka kuta od 30ili, kut vrha A nastavlja mjeriti 60ili i ravno CD formira kut od 90ili u odnosu na središnju točku D.

Segmentni CD formira kutove koji imaju ista mjerenja za trokute ADC i BDC, tj. Oni su dopunski na takav način da će mjerenje svakog od njih biti:

Med. (ADB) + srednja vrijednost (ADC) = 180ili

2 * Med. (ADC) = 180ili

Med. (ADC) = 180ili . 2

Med. (ADC) = 90ili.

I tako, imate da je CD segment također simetrala AB strane.

Simetrala i visina se podudaraju

Kada nacrtate simetrala od vrha kuta do sredine suprotne strane, ona deli jednakostraničan trokut na dva kongruentna trokuta.

Na takav način da se formira kut od 90 °ili (Ravno). To ukazuje da je taj segment pruge potpuno okomit na tu stranu, a po definiciji linija bi bila visina.

Na taj način simetrala bilo kojeg kuta jednakostraničnog trokuta podudara se s relativnom visinom na suprotnoj strani tog kuta.

Orthocenter, barycenter, incenter i circumcenter podudaraju se

Kako su visina, medijana, simetrala i simetrala istodobno predstavljeni istim segmentom, u jednakostraničnom trokutu točke susreta ovih segmenata - ortocentar, barycenter, incenter i circumcenter-, bit će u istoj točki:

Kako izračunati opseg?

Obim poligona izračunava se zbrojem strana. Budući da u ovom slučaju jednakostraničan trokut ima sve svoje strane s istom mjerom, njegov se perimetar izračunava sljedećom formulom:

P = 3 * strana.

Kako izračunati visinu?

Budući da je visina linija koja je okomita na bazu, ona je dijeli na dva jednaka dijela protežući se do suprotnog vrha. Tako se oblikuju dva jednaka pravokutna trokuta.

Visina (h) predstavlja suprotnu stranu (a), a polovica AC od susjedne strane (b) i strana BC predstavlja hipotenuzu (c).

Koristeći Pitagorin teorem, možete odrediti vrijednost visine:

u2 + b2= c2

gdje je:

u2 = visina (h).

b2 = strana b / 2.

c2 = strana a.

Zamjenjujući ove vrijednosti Pitagoreanskim teoremom i pročišćavajući visinu imamo:

h2 + ( l / 2)2 = l2

h2 +  l2/ 4 = l2

h2 = l2  -  l2/ 4

h2 = (4*l2 -  l2) / 4

h2 =  3*l2/4

√h2 = √ (3*l2/4)

Ako je poznati kut koji čine kongruentne strane, visina (predstavljena nogom) može se izračunati primjenom trigonometrijskih omjera.

Noge se nazivaju suprotne ili susjedne, ovisno o kutu koji se uzima kao referenca.

Na primjer, u prethodnoj slici kathetus h bit će suprotan za kut C, ali uz kut B:

Stoga se visina može izračunati pomoću:

Kako izračunati strane?

Postoje slučajevi kada mjerenja strana trokuta nisu poznata, ali njihova visina i kutovi koji se formiraju u vrhovima.

Za određivanje površine u tim slučajevima potrebno je primijeniti trigonometrijske omjere.

Poznavajući kut jednog od njegovih vrhova, noge se identificiraju i koristi se odgovarajući trigonometrijski omjer:

Stoga će noga AB biti suprotna za kut C, ali u blizini kuta A. Ovisno o strani ili nozi koja odgovara visini, druga strana je očišćena da bi se dobila vrijednost toga, znajući da u jednakostraničnom trokutu tri strane će uvijek imati istu veličinu.

Kako izračunati područje?

Područje trokuta uvijek se izračunava s istom formulom, množenjem baze po visini i dijeljenju na dvije:

Površina = (b * h). 2

Znajući da je visina određena formulom:

trening

Prva vježba

Stranice jednakostraničnog trokuta ABC mjere 20 cm svaka. Izračunajte visinu i područje tog poligona.

otopina

Da bi se odredilo područje tog jednakostraničnog trokuta potrebno je izračunati visinu, znajući da se pri crtanju dijeli trokut na dva jednaka pravokutna trokuta..

Na taj način Pitagorin teorem može se koristiti za njegovo pronalaženje:

u2 + b2= c2

gdje je:

a = 20/2 = 10 cm.

b = visina.

c = 20 cm.

Podaci u teoremu zamjenjuju se:

102 + b2 = 202

100 cm + b2 = 400 cm

b2 = (400 - 100) cm

b2 = 300cm

b = 300 cm

b = 17,32 cm.

To znači da je visina trokuta jednaka 17,32 cm. Sada je moguće izračunati površinu zadanog trokuta zamjenom u formuli:

Površina = (b * h). 2

Površina = (20 cm) * 17,32 cm). 2

Površina = 346,40 cm2 . 2

Površina = 173,20 cm2.

Još jednostavniji način rješavanja vježbe je zamjena podataka u direktnoj formuli područja, gdje je vrijednost visine također implicitno:

Druga vježba

U zemlji koja ima oblik jednakostraničnog trokuta, zasadit će se cvijeće. Ako je perimetar tog zemljišta jednak 450 m, izračunajte broj četvornih metara koje zauzima cvijeće.

otopina

Znajući da opseg trokuta odgovara zbroju njegovih triju strana i kako teren ima oblik jednakostraničnog trokuta, tri strane ovog trokuta imat će istu mjeru ili duljinu:

P = strana + strana + strana = 3 * l

3 * l = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Sada je potrebno samo izračunati visinu tog trokuta.

Visina dijeli trokut na dva sukladna desna trokuta, gdje jedna od nogu predstavlja visinu, a druga polovica baze. Prema Pitagorinom teoremu, visina se može odrediti:

u2 + b2= c2

gdje je:

u = 150 m = 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = visina

Podaci u teoremu zamjenjuju se:

(75 m)2+ b2 = (150 m)2

5.625 m + b2 = 22.500 m

b2 = 22.500 m - 5.625 m

b2 = 16,875 m

b = 16.875 m

b = 129,90 m.

Tako će područje koje će zauzeti cvijeće biti:

Površina = b * h ÷ 2

Površina = (150 m * 129,9 m). 2

Površina = (19.485 m2) ÷ 2

Površina = 9,742.5 m2

Treća vježba

Jednakostraničan trokut ABC podijeljen je pravcem koji ide od njegove točke C do sredine D, koja se nalazi na suprotnoj strani (AB). Ovaj segment iznosi 62 metra. Izračunajte površinu i opseg tog jednakostraničnog trokuta.

otopina

Znajući da je jednakostraničan trokut podijeljen segmentnim pravcem koji odgovara visini, tvoreći dva kongruentna desna trokuta, to također dijeli kut vrha C u dva kuta s istom mjerom, 30ili svaki.

Visina čini kut od 90ili u odnosu na segment AB, a kut vrha A tada će mjeriti 60ili.

Zatim kao referentni kut od 30ili, visina CD-a je uspostavljena kao noga koja se nalazi uz kut i BC kao hipotenuza.

Iz tih podataka može se odrediti vrijednost jedne od strana trokuta pomoću trigonometrijskih omjera:

Kako u jednakostraničnom trokutu sve strane imaju točno istu mjeru ili duljinu, to znači da je svaka strana jednakostraničnog trokuta ABC jednaka 71,6 metara. Znajući to, moguće je odrediti vaše područje:

Površina = b * h ÷ 2

Površina = (71,6 m * 62 m). 2

Površina = 4.438,6 m2 . 2

Površina = 2.219,3 m2

Perimetar je dan sumom triju strana:

P = strana + strana + strana = 3 * l

P = 3*l

P = 3 * 71,6 m

P = 214,8 m.

reference

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tehničko crtanje: bilježnica aktivnosti.
  2. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Obrazovanje Pearson.
  3. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultura.
  4. BARBOSA, J.L. (2006). Ravna euklidska geometrija. SGS. Rio de Janeiro, .
  5. Coxford, A. (1971). Geometrija Transformacijski pristup. SAD: Braća Laidlaw.
  6. Euclid, R.P. (1886). Euclidovi elementi geometrije.
  7. Héctor Trejo, J.S. (2006). Geometrija i trigonometrija.
  8. León Fernández, G.S. (2007). Integrirana geometrija Metropolitanski tehnološki institut.
  9. Sullivan, J. (2006). Algebra i trigonometrija Obrazovanje Pearson.