Distribucije diskretnih značajki i vježbi vjerojatnosti

Diskretne razdiobe vjerojatnosti su funkcija koja dodjeljuje svakom elementu X (S) = x1, x2, ..., xi, ..., gdje je X zadana diskretna slučajna varijabla, a S je prostor za uzorak, vjerojatnost da će se taj događaj dogoditi. Ova funkcija f od X (S) definirana kao f (xi) = P (X = xi) ponekad se naziva funkcija mase vjerojatnosti.

Ova masa vjerojatnosti obično se predstavlja kao tablica. Budući da je X diskretna slučajna varijabla, X (S) ima konačan broj događaja ili brojčanu beskonačnost. Među najčešćim diskretnim razdiobama vjerojatnosti imamo jednoliku raspodjelu, binomnu raspodjelu i Poissonovu distribuciju.

indeks

• 1 Značajke
• 2 Vrste
  • 2.1. Ujednačena raspodjela na n točaka
  • 2.2 Binomna raspodjela
  • 2.3 Poissonova distribucija
  • 2.4. Hipergeometrijska distribucija
• 3 vježbe riješene
  • 3.1 Prva vježba
  • 3.2 Druga vježba
  • 3.3 Treća vježba
  • 3.4 Treća vježba
• 4 Reference

značajke

Funkcija razdiobe vjerojatnosti mora ispunjavati sljedeće uvjete:

Također, ako X uzima samo konačan broj vrijednosti (npr. X1, x2, ..., xn), tada p (xi) = 0 ako je i> ny, dakle beskonačni niz uvjeta b postaje konačne serije.

Ova funkcija također ispunjava sljedeća svojstva:

Neka je B događaj povezan s slučajnom varijablom X. To znači da je B sadržana u X (S). Naime, pretpostavimo da je B = xi1, xi2, .... Stoga:

Drugim riječima: vjerojatnost događaja B jednaka je zbroju vjerojatnosti pojedinačnih rezultata povezanih s B.

Iz toga možemo zaključiti da ako je < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

vrsta

Ravnomjerna raspodjela preko n točaka

Kaže se da slučajna varijabla X slijedi raspodjelu koja je karakterizirana jednakom u n točaka ako je svakoj vrijednosti dodijeljena ista vjerojatnost. Njegova masa za vjerojatnost je:

Pretpostavimo da imamo eksperiment koji ima dva moguća ishoda, to može biti bacanje novčića čiji su mogući ishodi lice ili pečat, ili izbor cijelog broja čiji rezultat može biti paran broj ili neparan broj; ovaj tip eksperimenta poznat je kao Bernoullijevi testovi.

Općenito, dva moguća ishoda nazivaju se uspjehom i neuspjehom, gdje je p vjerojatnost uspjeha i 1-p neuspjeha. Možemo odrediti vjerojatnost x uspjeha u n Bernoullijevim testovima koji su međusobno neovisni sljedećom distribucijom.

Binomna raspodjela

Upravo ta funkcija predstavlja vjerojatnost dobivanja x uspjeha u n nezavisnim Bernoullijevim testovima, čija je vjerojatnost uspjeha p. Njegova masa za vjerojatnost je:

Sljedeći grafikon predstavlja funkcijsku masu vjerojatnosti za različite vrijednosti parametara binomne distribucije.

Sljedeća distribucija duguje svoje ime francuskom matematičaru Simeonu Poissonu (1781.-1840.), Koji ju je dobio kao granicu binomne raspodjele..

Poissonova distribucija

Rečeno je da slučajna varijabla X ima Poissonovu raspodjelu parametra λ kada može uzeti pozitivne cjelobrojne vrijednosti 0,1,2,3, ... sa sljedećom vjerojatnošću:

U ovom izrazu λ je prosječan broj koji odgovara pojavama događaja za svaku jedinicu vremena, a x je broj pojavljivanja događaja..

Njegova masa za vjerojatnost je:

Zatim, graf koji predstavlja funkciju mase vjerojatnosti za različite vrijednosti parametara Poissonove distribucije.

Imajte na umu da, dok je broj uspjeha nizak i da je broj n testova provedenih u binomnoj raspodjeli visok, uvijek možemo aproksimirati te distribucije, budući da je Poissonova distribucija granica binomne raspodjele..

Glavna razlika između ove dvije raspodjele je da, dok binomna ovisi o dva parametra - naime, n i p -, Poisson-ova ovisi samo o λ, što se ponekad naziva intenzitet distribucije..

Do sada smo govorili samo o razdiobama vjerojatnosti za slučajeve u kojima su različiti eksperimenti međusobno neovisni; to jest, kada na rezultat jednog ne utječe neki drugi rezultat.

Kada dođe do eksperimenta koji nisu neovisni, hipergeometrijska raspodjela je vrlo korisna.

Hipergeometrijska distribucija

Neka je N ukupan broj objekata konačnog skupa, od kojih možemo na neki način identificirati k, formirajući podskup K, čiji je komplement oblikovan preostalim N-k elementima.

Ako slučajno odaberemo n objekata, slučajna varijabla X koja predstavlja broj objekata koji pripadaju K u tom izboru ima hipergeometrijsku raspodjelu parametara N, n i k. Njegova masa za vjerojatnost je:

Sljedeći grafikon predstavlja funkcijsku masu vjerojatnosti za različite vrijednosti parametara hipergeometrijske distribucije.

Riješene vježbe

Prva vježba

Pretpostavimo da je vjerojatnost da radio cijev (stavljena u određenu vrstu opreme) radi više od 500 sati 0,2. Ako se testira 20 cijevi, kolika je vjerojatnost da će točno njih k djelovati više od 500 sati, k = 0, 1,2, ..., 20?

otopina

Ako je X broj epruveta koje rade više od 500 sati, pretpostavit ćemo da X ima binomnu raspodjelu. tada

I tako:

Za k≥11, vjerojatnosti su manje od 0,001

Tako možemo vidjeti kako se povećava vjerojatnost da će ti k raditi više od 500 sati, sve dok ne dosegne svoju maksimalnu vrijednost (s k = 4), a zatim počne opadati.

Druga vježba

Novčić se baca 6 puta. Kada je rezultat skup, reći ćemo da je uspjeh. Kolika je vjerojatnost da će dva lica točno izaći?

otopina

Za ovaj slučaj imamo n = 6 i oba su vjerojatnost uspjeha i neuspjeha p = q = 1/2

Dakle, vjerojatnost davanja dvaju lica (tj. K = 2) je od

Treća vježba

Kolika je vjerojatnost pronalaženja najmanje četiri lica?

otopina

Za ovaj slučaj imamo k = 4, 5 ili 6

Treća vježba

Pretpostavimo da je 2% predmeta proizvedenih u tvornici neispravno. Pronađite vjerojatnost P da postoje tri neispravne stavke na uzorku od 100 stavki.

otopina

Za ovaj slučaj možemo primijeniti binomnu raspodjelu za n = 100 i p = 0.02, dobivši kao rezultat:

Međutim, budući da je p mali, koristimo Poissonovu aproksimaciju s λ = np = 2. tako,

reference

1. Kai Lai Chung Teorija elementarne dostupnosti s slučajnim procesima. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen, diskretna matematika i njezine primjene. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Vjerojatnost i statističke primjene. Inc. MEXICAN ALHAMBRA.
4. Seymour Lipschutz 2000 Problemi s diskretnom matematikom. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Teorija i problemi vjerojatnosti. McGraw-Hill.