Sintetička metoda podjele i riješene vježbe

sintetička podjela to je jednostavan način dijeljenja polinoma P (x) bilo kojim od oblika d (x) = x - c. To je vrlo korisno oruđe jer, osim što nam omogućuje da dijelimo polinome, to nam također omogućuje da ocjenimo polinom P (x) u bilo kojem broju c, što nam pak govori točno je li taj broj nula ili ne polinoma.

Zahvaljujući algoritmu podjele, znamo da ako imamo dva polinoma P (x) i d (x) nisu konstantni, postoje polinomi q (x) i r (x) jedinstven tako da je istina da je P (x) = q (x) d (x) + r (x), gdje je r (x) nula ili je manje od q (x). Ti su polinomi poznati kao kvocijenti i ostaci ili ostatak.

U slučajevima kada polinom d (x) ima oblik x-c, sintetička dioba daje kratak način pronalaženja tko su q (x) i r (x).

indeks

• 1 Sintetička metoda podjele
• 2 Vježbe riješene
  • 2.1 Primjer 1
  • 2.2 Primjer 2
  • 2.3 Primjer 3
  • 2.4 Primjer 4
• 3 Reference

Metoda sintetičke podjele

Neka je P (x) = a_nxⁿ+u_n-1x^n-1+... + a₁x + a₀ polinom želimo podijeliti i d (x) = x-c djelitelj. Za dijeljenje metodom sintetičkog dijeljenja postupamo na sljedeći način:

1 - Pišemo koeficijente P (x) u prvom redu. Ako se ne pojavi bilo koja snaga X, stavljamo nulu kao njezin koeficijent.

2- U drugom redu, lijevo od a_n mjesto c i crtanje linija razdiobe kako je prikazano na sljedećoj slici:

3- Snizujemo vodeći koeficijent na treći red.

U ovom izrazu b_n-1= a_n

4- Pomnožimo c s vodećim koeficijentom b_n-1 a rezultat se upisuje u drugi red, ali stupac desno.

5 - Dodamo stupac u kojem smo napisali prethodni rezultat i rezultat stavljamo pod taj iznos; to jest, u istom stupcu, treći red.

Dodavanjem, imamo kao rezultat_n-1+c * b_n-1, koje ćemo iz praktičnosti nazvati b_n-2

6- Umnožavamo c prethodnim rezultatom i upisujemo rezultat u njegov desni u drugom redu.

7- Ponavljamo korake 5 i 6 dok ne dostignemo koeficijent a₀.

8- Napišite odgovor; to jest, kvocijent i ostatak. Kako vršimo podjelu polinoma stupnja n između polinoma stupnja 1, imamo da je ozbiljan kvocijent stupnja n-1.

Koeficijenti polinoma količnika bit će brojevi trećeg reda osim posljednjeg, koji će biti rezidualni polinom ili ostatak dijeljenja.

Riješene vježbe

Primjer 1

Izvedite sljedeću podjelu metodom sintetičkog dijeljenja:

(x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

otopina

Prvo napišemo koeficijente dividende kako slijedi:

Tada pišemo c na lijevoj strani, u drugom redu, zajedno s linijama podjele. U ovom primjeru c = -1.

Smanjimo vodeći koeficijent (u ovom slučaju b_n-1 = 1) i pomnožite ga s -1:

Vaš rezultat unosimo desno u drugom redu, kao što je prikazano u nastavku:

Dodamo brojeve u drugi stupac:

Pomnožimo 2 sa -1 i upišemo rezultat u treći stupac, drugi red:

U treći stupac dodamo:

Nastavljamo analogno dok ne dođemo do posljednjeg stupca:

Dakle, imamo da je posljednji dobiveni broj ostatak dijeljenja, a preostali brojevi su koeficijenti kvocijentnog polinoma. To se piše na sljedeći način:

Ako želimo provjeriti je li rezultat točan, dovoljno je provjeriti je li ispunjena sljedeća jednadžba:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Tako možemo provjeriti je li dobiveni rezultat točan.

Primjer 2

Izvedite sljedeću podjelu polinoma metodom sintetičke podjele

(7x³-x + 2): (x + 2)

otopina

U ovom slučaju imamo pojam x² ne pojavljuje se, pa ćemo kao njegov koeficijent upisati 0. Dakle, polinom će biti kao 7x³+0x²-x + 2.

Pišemo njihove koeficijente u nizu, to je:

Pišemo vrijednost C = -2 na lijevu stranu u drugom redu i nacrtamo linije podjele.

Snižavamo vodeći koeficijent b_n-1 = 7 i pomnožimo ga s -2, upisujući njegov rezultat u drugi red na desno.

Dodamo i nastavljamo kao što smo prethodno objasnili, dok ne dođemo do zadnjeg termina:

U ovom slučaju, ostatak je r (x) = - 52, a dobiveni kvocijent je q (x) = 7x²-14x + 27.

Primjer 3

Drugi način za korištenje sintetičke podjele je sljedeći: pretpostavimo da imamo polinom P (x) stupnja n i da želimo znati što je vrijednost pri ocjenjivanju u x = c.

Algoritmom podjele imamo da možemo napisati polinom P (x) na sljedeći način:

U ovom izrazu q (x) i r (x) su kvocijent i ostatak. Sada, ako je d (x) = x- c, pri ocjenjivanju u c u polinomu nalazimo sljedeće:

Za to samo trebamo pronaći r (x), a to možemo učiniti zahvaljujući sintetičkoj podjeli.

Primjerice, imamo polinom P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12X⁴-3x³+19x²-37x-37 i želimo znati kakva je njegova vrijednost pri ocjenjivanju u x = 5. Za to provodimo podjelu između P (x) i d (x) = x -5 metodom sintetičke diobe:

Kada se operacije završe, znamo da možemo pisati P (x) na sljedeći način:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (x-5) + 4253

Stoga pri ocjenjivanju moramo:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Kao što možemo vidjeti, moguće je koristiti sintetičku podjelu da bismo pronašli vrijednost polinoma pri ocjenjivanju u c umjesto da jednostavno zamijenimo c s x. 

Ako bismo pokušali procijeniti P (5) na tradicionalan način, trebali bismo provesti neke izračune koji postaju dosadni.

Primjer 4

Algoritam podjele za polinome je također ispunjen za polinome sa složenim koeficijentima i, kao posljedica toga, imamo da metoda sintetičke podjele radi i za navedene polinome. Zatim ćemo vidjeti primjer.

Koristit ćemo metodu sintetičke podjele kako bismo pokazali da je z = 1+ 2i nula polinoma P (x) = x³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); to jest, ostatak odjeljka P (x) između d (x) = x - z jednak je nuli.

Nastavljamo kao i prije: u prvom redu upisujemo koeficijente P (x), zatim u drugom pišemo z i crtamo linije podjele..

Napravili smo podjelu kao prije; ovo je:

Možemo vidjeti da je ostatak nula; stoga zaključujemo da je z = 1+ 2i nula od P (x).

reference

1. Baldor Aurelio. algebra. Patria Editorial Group.
2. Demana, Waits, Foley i Kennedy. Prekalkulacija: grafički, numerički, algebarski 7. izdanje Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Prentice Hall
4. Michael Sullivan. Viša aritmetika 4. izd. Obrazovanje Pearson.
5. Crvena. Armando O. Algebra 1 6. izd. Athenaeum.