Morganovi zakoni



LMorganove oči to su pravila zaključivanja koja se koriste u logici propozicija, koja uspostavljaju ono što je rezultat negiranja disjunkcije i konjukcije propozicija ili propozicijskih varijabli. Ove zakone definirao je matematičar Augustus De Morgan.

Morganovi zakoni predstavljaju vrlo koristan alat za dokazivanje valjanosti matematičkog zaključivanja. Kasnije su bili generalizirani unutar koncepta skupova matematičara Georgea Boolea.

Ova generalizacija Boolea potpuno je ekvivalentna Morganovim početnim zakonima, ali je razvijena posebno za skupove, a ne za propozicije. Ova generalizacija je također poznata kao Morganovi zakoni.

indeks

  • 1 Pregled propozicijske logike
    • 1.1 Pogreške
    • 1.2
  • 2 Morganovi zakoni
    • 2.1 Demonstracija
  • 3 Postavi
    • 3.1 Unija, sjecište i nadopune skupova
  • 4 Morganovi zakoni za skupove
  • 5 Reference

Pregled propozicijske logike

Prije nego što pogledamo što su Morganovi zakoni specifični i kako se oni koriste, prikladno je zapamtiti neke osnovne pojmove propozicijske logike. (Za više detalja pogledajte članak o prijedlogu).

U području matematičke (ili propozicijske) logike zaključak je zaključak koji se emitira iz skupa premisa ili hipoteza. Ovaj zaključak, zajedno s navedenim premisama, dovodi do toga što je poznato kao matematičko rasuđivanje.

Ovo obrazloženje mora biti moguće dokazati ili odbiti; to jest, nisu valjani svi zaključci ili matematički zaključci.

zabluda

Lažni zaključak koji se emitira iz određenih pretpostavki za koje se pretpostavlja da su istinite, poznat je kao zabluda. Pogreške imaju osobitost da su argumenti ispravni, ali matematički nisu.

Propozicijska logika je zadužena za precizno razvijanje i pružanje metoda pomoću kojih se, bez ikakve dvosmislenosti, može potvrditi ili opovrgnuti matematički zaključak; iz toga proizlazi valjani zaključak iz premisa. Te su metode poznate kao pravila zaključivanja, od kojih su Morganovi zakoni dio.

propozicije

Bitni elementi propozicijske logike su propozicije. Propozicije su izjave o kojima se može reći jesu li valjane ili ne, ali da ne mogu biti istinite ili lažne u isto vrijeme. Ne bi smjelo biti dvosmislenosti u ovom pitanju.

Kao što se brojevi mogu kombinirati kroz operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja, propozicije se mogu upravljati pomoću poznatih veznih (ili konektora) logičkih: negacija (¬, "ne"), disjunkcija (V) , "O"), veznik ("," i "), uvjetno (→," ako ..., zatim ... ") i biconditional (↔," da, i samo ako ").

Da bismo radili općenitije, umjesto da razmatramo specifične propozicije, razmatramo propozicijske varijable koje predstavljaju bilo koje propozicije i obično ih označavamo malim slovima p, q, r, s, itd..

Propozicijska formula je kombinacija propozicijskih varijabli kroz neke od logičkih veza. Drugim riječima, to je sastav propozicijskih varijabli. Obično su označeni grčkim slovima.

Rečeno je da formula propozicije logički implicira drugu kada je potonja istinita svaki put kad je prva istinita. To označava:

Kada je logička implikacija između dviju propozicijskih formula recipročna - to jest, kada prethodna implikacija vrijedi iu suprotnom smjeru - za formule se kaže da su logički ekvivalentne, a označava ih

Logička ekvivalentnost je svojevrsna jednakost između propozicijskih formula i dopušta zamjenu jedne za drugu kada je to potrebno.

Morganovi zakoni

Morganovi zakoni sastoje se od dvije logičke ekvivalencije između dvaju propozicijskih oblika, i to:

Ovi zakoni dopuštaju da se razdvoji negacija disjunkcije ili konjukcije, kao negacije uključenih varijabli.

Prvi se može čitati kako slijedi: negacija disjunkcije jednaka je konjunkciji negacija. A drugi glasi ovako: negacija konjukcije je disjunkcija negacija.

Drugim riječima, poricanje disjunkcije dviju propozicijskih varijabli ekvivalentno je konjunkciji negacija obje varijable. Isto tako, poricati konjunkciju dvije propozicijske varijable jednako je disjunkciji negacija obje varijable.

Kao što je ranije spomenuto, zamjena ove logičke ekvivalencije pomaže pokazati važne rezultate, zajedno s drugim postojećim pravilima zaključivanja. Pomoću njih možete pojednostavniti mnoge propozicijske formule, tako da su korisnije raditi.

Slijedi primjer matematičkog dokaza koji koristi pravila zaključivanja, među tim Morganovim zakonima. Naime, pokazano je da formula:

odgovara:

Potonje je jednostavnije razumjeti i razviti.

predstava

Vrijedno je spomenuti da se valjanost Morganovih zakona može pokazati matematički. Jedan od načina je usporedbom tablica istine.

setovi

Ista pravila zaključivanja i pojmovi logike primijenjeni na propozicije, također se mogu razviti s obzirom na skupove. To je ono što je poznato kao Booleova algebra, nakon matematičara Georgea Boolea.

Da bi se razlikovali slučajevi, potrebno je promijeniti notaciju i prelazak na skupove, a svi pojmovi koji su već viđeni na propozicijsku logiku.

Skup je skup objekata. Skupovi su označeni velikim slovima A, B, C, X, ... a elementi skupa označeni su malim slovima a, b, c, x, itd. Kada element a pripada skupu X, označen je sa:

Kada ne pripada X-u, oznaka je:

Način predstavljanja skupova stavlja njihove elemente unutar ključeva. Na primjer, skup prirodnih brojeva predstavlja:

Skupovi mogu biti predstavljeni i bez pisanja eksplicitnog popisa njihovih elemenata. Mogu se izraziti u obliku :. Dvije točke se čitaju "tako da". Varijabla koja predstavlja elemente skupa postavlja se lijevo od dvije točke, a svojstvo ili uvjet koji zadovoljavaju smješteni su na desnoj strani. Ovo je:

Na primjer, skup prirodnih brojeva većih od -4 može se izraziti kao:

Ili ekvivalentno, i skraćeno, kao:

Slično tome, sljedeći izrazi predstavljaju skupove parnih i neparnih brojeva, redom:

Unija, sjecište i nadopune skupova

Zatim ćemo vidjeti analoge logičke veze u slučaju skupova, koji su dio osnovnih operacija između skupova.

Unija i raskrižje

Sjedinjavanje i sjecište skupova definirano je na sljedeći način:

Na primjer, razmotrite skupove:

Zatim morate:

dopuna

Komplement skupa čine elementi koji ne pripadaju tom skupu (istog tipa koji predstavlja izvornik). Komplement skupa A označen je s:

Na primjer, unutar prirodnih brojeva, komplement seta parnih brojeva je od neparnih brojeva, i obrnuto.

Da bi se odredilo dopunjavanje skupa, mora biti jasno od početka univerzalni ili glavni skup elemenata koji se razmatraju. Na primjer, nije jednako razmatrati komplement skupa na prirodnim brojevima na racionalnim.

Sljedeća tablica prikazuje odnos ili analogiju koja postoji između operacija na prethodno definiranim skupovima i veznih komponenti propozicijske logike:

Morganovi zakoni za skupove

Konačno, Morganovi zakoni o skupovima su:

Riječima: komplement sindikata je sjecište komplementa, a komplement križanja je sjedinjenje nadopuna.

Matematički dokaz prve jednakosti bio bi sljedeći:

Demonstracija drugog je analogna.

reference

  1. Almaguer, G. (2002). Matematika 1. Uvodnik Limusa.
  2. Aylwin, C. U. (2011). Logika, skupovi i brojevi. Merida - Venezuela: Vijeće publikacija, Universidad de Los Andes.
  3. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Uvod u teoriju brojeva. EUNED.
  4. Castañeda, S. (2016). Osnovni tečaj teorije brojeva. Sveučilište Sjever.
  5. Cofré, A., i Tapia, L. (1995). Kako razviti matematičko logičko rasuđivanje. Uvodnik Sveučilišta.
  6. Guevara, M.H. (s.f.). Teorija brojeva. EUNED.
  7. Zaragoza, A.C. (s.f.). Teorija brojeva. Knjige uredničke vizije.