Osnove vektorske algebre, veličine, vektori



vektorska algebra je grana matematike odgovorna za proučavanje sustava linearnih jednadžbi, vektora, matrica, vektorskih prostora i njihovih linearnih transformacija. To se odnosi na područja kao što su inženjerstvo, rješavanje diferencijalnih jednadžbi, funkcionalna analiza, operacijsko istraživanje, računalna grafika, među ostalima..

Drugo područje koje je usvojilo linearnu algebru je fizika, jer je kroz to razvijena za proučavanje fizičkih fenomena, opisujući ih kroz korištenje vektora. To je omogućilo bolje razumijevanje svemira.

indeks

  • 1 Osnove
    • 1.1 Geometrijski
    • 1.2 Analitički
    • 1.3 Aksiomatski
  • 2 Magnitude
    • 2.1 Skalarna veličina
    • 2.2 Vektorska veličina
  • 3 Što su vektori?
    • 3.1 Modul
    • 3.2 Adresa
    • 3.3 Smisao
  • 4 Klasifikacija vektora
    • 4.1 Fiksni vektor
    • 4.2 Slobodni vektor
    • 4.3 Klizni vektor
  • 5 Svojstva vektora
    • 5.1 equipolentes Vektori
    • 5.2 Ekvivalentni vektori
    • 5.3 Jednakost vektora
    • 5.4 Nasuprotni vektori
    • 5.5 Jedinica vektora
    • 5.6 Null Vector
  • 6 Komponente vektora
    • 6.1 Primjeri
  • 7 Operacije s vektorima
    • 7.1 Dodavanje i oduzimanje vektora
    • 7.2 Množenje vektora
  • 8 Reference

temelji

Vektorska algebra potječe od proučavanja kvaterniona (proširenje realnih brojeva) 1, i, j i k, kao i kartezijanske geometrije koju promiču Gibbs i Heaviside, koji su shvatili da će vektori poslužiti kao instrument za predstavljaju različite fizičke pojave.

Vektorska algebra proučava se kroz tri temelja:

geometrijsko

Vektori su predstavljeni linijama koje imaju orijentaciju, a operacije kao što su zbrajanje, oduzimanje i množenje realnim brojevima definiraju se geometrijskim metodama..

analitički

Opis vektora i njihovih operacija se radi s brojevima, koji se nazivaju komponentama. Ovaj tip opisa rezultat je geometrijskog prikaza jer se koristi koordinatni sustav.

aksiomatski

Izrađuje se opis vektora, bez obzira na koordinatni sustav ili bilo koji tip geometrijskog prikaza.

Proučavanje figura u prostoru vrši se kroz njihovu reprezentaciju u referentnom sustavu, koji može biti u jednoj ili više dimenzija. Među glavnim sustavima su:

- Jednodimenzionalni sustav, linija u kojoj jedna točka (O) predstavlja podrijetlo, a druga točka (P) određuje mjerilo (duljinu) i smjer:

- Pravokutni koordinatni sustav (dvodimenzionalni), koji se sastoji od dvije okomite linije nazvane x-osi i y-osi, koje prolaze kroz točku (O) podrijetla; na taj način ravnina je podijeljena u četiri područja koja se nazivaju kvadranti. U ovom slučaju točka (P) u ravnini je dana udaljenostima koje postoje između osi i P.

- Polarni koordinatni sustav (dvodimenzionalni). U ovom slučaju, sustav se sastoji od točke O (podrijetlo) koje se naziva polom i zrakom s početkom O nazvanom polarna os. U tom slučaju, točka P ravnine, s obzirom na pol i polarnu os, određena je kutom (Ɵ), koji je formiran razmakom između podrijetla i točke P.

- Pravokutni trodimenzionalni sustav, formiran s tri okomite linije (x, y, z) koje imaju kao izvor točku O u prostoru. Formiraju se tri koordinatne ravnine: xy, xz i yz; prostor će biti podijeljen u osam područja koja se nazivaju oktanti. Referenca točke P prostora dane su udaljenostima koje postoje između ravnina i P.

magnitude

Magnituda je fizička veličina koja se može brojati ili mjeriti putem numeričke vrijednosti, kao u slučaju nekih fizičkih pojava; ipak, često je potrebno opisati te fenomene s drugim čimbenicima koji nisu numerički. Zbog toga su magnitude podijeljene u dvije vrste:

Skalarna veličina

To su one količine koje su definirane i predstavljene numerički; to jest, pomoću modula zajedno s mjernom jedinicom. Na primjer:

a) Vrijeme: 5 sekundi.

b) Masa: 10 kg.

c) Volumen: 40 ml.

d) Temperatura: 40 ° C.

Vektorska veličina

To su one količine koje su definirane i predstavljene modulom zajedno s jedinicom, kao i smislom i smjerom. Na primjer:

a) Brzina: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Ubrzanje: 13 m / s2; S 45º E.

c) Sila: 280 N, 120º.

d) Težina: -40-kg-f.

Vektorske veličine prikazane su grafički pomoću vektora.

Što su vektori?

Vektori su grafički prikazi vektorske veličine; to jest, to su segmenti ravne crte u kojima je njihov krajnji kraj vrh strelice.

Oni su određeni njihovom duljinom modula ili segmenta, čiji je smisao označen vrhom njihove strelice i njihovim smjerom prema liniji kojoj pripadaju. Podrijetlo vektora je također poznato kao točka primjene.

Elementi vektora su sljedeći:

modul

To je udaljenost od podrijetla do kraja vektora, predstavljena stvarnim brojem zajedno s jedinicom. Na primjer:

| OM | = | A | A = 6 cm

adresa

To je mjera kuta koji postoji između osi x (od pozitivnog) i vektora, kao i kardinalnih točaka (sjever, jug, istok i zapad).

osjećaj

Ona se daje glavom strelice koja se nalazi na kraju vektora, pokazujući kamo se to kreće.

Klasifikacija vektora

Općenito, vektori su klasificirani kao:

Fiksni vektor

To je ona čija je točka primjene (podrijetla) fiksna; to jest, ostaje vezan za točku prostora, razlog zašto se ne može pomaknuti u ovome.

Slobodni vektor

Može se slobodno kretati u prostoru jer se njegovo porijeklo pomiče u bilo koju točku bez mijenjanja modula, smisla ili smjera.

Klizni vektor

To je onaj koji može pomicati svoje podrijetlo duž linije djelovanja bez mijenjanja modula, smisla ili smjera.

Svojstva vektora

Među glavnim svojstvima vektora su:

Ekipolentni vektori

To su oni slobodni vektori koji imaju isti modul, smjer (ili su paralelni) i osjećaju da klizni vektor ili fiksni vektor.

Ekvivalentni vektori

To se događa kada dva vektora imaju istu adresu (ili su paralelna), isti smisao, i unatoč različitim modulima i točkama primjene, uzrokuju iste učinke.

Jednakost vektora

Oni imaju isti modul, smjer i smisao, iako su njihove polazne točke različite, što omogućuje da se paralelni vektor pomakne bez utjecaja na njega..

Nasuprotni vektori

Oni su oni koji imaju isti modul i smjer, ali njihov smisao je suprotan.

Vektorska jedinica

To je ona u kojoj je modul jednak jedinici (1). To se postiže dijeljenjem vektora s njegovim modulom i koristi se za određivanje smjera i smisla vektora, bilo u ravnini ili u prostoru, koristeći osnovni ili jedinstveni normalizirani vektor, koji su:

Nulti vektor

To je onaj čiji je modul jednak 0; to jest, njihova točka porijekla i ekstremno se podudaraju u istoj točki.

Komponente vektora

Komponente vektora su one vrijednosti projekcija vektora na osi referentnog sustava; Ovisno o razgradnji vektora, koji može biti u dvije ili tri dimenzionalne osi, dobivat će se dvije ili tri komponente, odnosno.

Komponente vektora su stvarni brojevi, koji mogu biti pozitivni, negativni ili čak nulti (0).

Dakle, ako imamo vektor Ā, koji potječe iz pravokutnog koordinatnog sustava u xy (dvodimenzionalnoj) ravnini, projekcija na x osi je andx, a projekcija na y os je Āy. Dakle, vektor će biti izražen kao zbroj njegovih komponentnih vektora.

Primjeri

Prvi primjer

Imamo vektor Ā koji polazi od porijekla i daju se koordinate njegovih krajeva. Dakle, vektor Ā = (Āx;i) = (4; 5) cm.

Ako vektor Ā djeluje na podrijetlo trodimenzionalnog trokutastog koordinatnog sustava (u prostoru) x, y, z, na drugu točku (P), projekcije na njegovim osima bit će Āx, andy i ;z; prema tome, vektor će biti izražen kao zbroj njegovih triju komponentnih vektora.

Drugi primjer

Imamo vektor Ā koji polazi od porijekla i daju se koordinate njegovih krajeva. Dakle, vektor Ā = (Ax;i; z) = (4; 6; -3) cm.

Vektori koji imaju svoje pravokutne koordinate mogu se izraziti u smislu njihovih baznih vektora. Za to, samo svaka koordinata mora biti pomnožena sa svojim odgovarajućim jediničnim vektorom, na takav način da će za ravninu i prostor biti sljedeći:

Za ravninu: Ā = Axi + Aij.

Za prostor: Ā = Axi + Aij + Azk.

Operacije s vektorima

Postoje mnoge veličine koje imaju modul, smisao i smjer, kao što su ubrzanje, brzina, premještanje, sila, među ostalima..

One se primjenjuju u raznim područjima znanosti, a za njihovu primjenu potrebno je u nekim slučajevima izvoditi operacije kao što su zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje vektora i skalara..

Dodavanje i oduzimanje vektora

Dodavanje i oduzimanje vektora smatra se jednom algebarskom operacijom jer se oduzimanje može zapisati kao suma; na primjer, oduzimanje vektora Ē i Ē može se izraziti kao:

Ē - Ā = Ā + (-Ē)

Postoje različiti načini za izvršavanje zbrajanja i oduzimanja vektora: oni mogu biti grafički ili analitički.

Grafičke metode

Koristi se kada vektor ima modul, smisao i smjer. Da bi se to postiglo, crtaju se crte koje tvore lik koji kasnije pomaže u određivanju rezultanta. Među najpoznatijima ističu se sljedeći:

Metoda paralelograma

Da bi se zbrajalo ili oduzimalo dva vektora, točka se bira zajednički na koordinatnoj osi - koja predstavlja točku porijekla vektora, zadržavajući njezin modul, smjer i smjer..

Tada su linije povučene paralelno s vektorima kako bi se formirao paralelogram. Dobiveni vektor je dijagonala koja izlazi iz točke porijekla oba vektora do vrha paralelograma:

Metoda trokuta

U ovoj metodi vektori su postavljeni jedan uz drugi, održavajući svoje module, smjerove i smjerove. Dobiveni vektor će biti unija porijekla prvog vektora s krajem drugog vektora:

Analitičke metode

Možete dodati ili oduzeti dva ili više vektora pomoću geometrijske ili vektorske metode:

Geometrijska metoda

Kada dva vektora tvore trokut ili paralelogram, modul i smjer dobivenog vektora može se odrediti pomoću zakona sinus i kosinus. Dakle, modul dobivenog vektora, primjenjujući zakon kosinusa i trokutnom metodom, daje:

U ovoj formuli β je kut suprotan strani R, a to je jednako 180º - Ɵ.

Nasuprot tome, metodom paralelograma rezultirajući vektorski modul je:

Smjer dobivenog vektora dan je kutom (α), koji formira rezultanta s jednim od vektora.

Po zakonu dojke, dodavanje ili oduzimanje vektora se može obavljati metodom trokuta ili paralelogram, znajući da su svi trokut strane su proporcionalne sines kutova Elegantni:

Vektorska metoda

To se može učiniti na dva načina: ovisno o njihovim pravokutnim koordinatama ili njihovim osnovnim vektorima.

To se može obaviti pomicanjem vektori koji se dodaje ili oduzima na podrijetlo, a zatim rastaviti na pravokutnih komponenti Sve projekcije u svakoj od osi za ravnini (x, y) ili (x, i, z); konačno, njegove se komponente dodaju algebarski. Dakle, za avion je:

Modul dobivenog vektora je:

Dok je za prostor to:

Modul dobivenog vektora je:

Prilikom izvršavanja vektorskih suma primjenjuje se nekoliko svojstava:

- Asocijativno svojstvo: rezultanta se ne mijenja dodavanjem dvaju vektora, a zatim dodavanjem trećeg vektora.

- Komutativna svojstva: redoslijed vektora ne mijenja rezultat.

- Distributivno svojstvo vektora: ako je skalar pomnožen sa zbrojem dvaju vektora, on je jednak množenju skalara za svaki vektor.

- Skalarna distributivna svojstva: ako je vektor pomnožen sa zbrojem dva skalara, on je jednak množenju vektora za svaki skalar.

Množenje vektora

Umnožavanje ili proizvod vektora može se izvršiti kao zbrajanje ili oduzimanje, ali pri tome gubi fizičko značenje i gotovo se nikada ne nalazi u aplikacijama. Stoga su najčešće korištene vrste proizvoda skalarni i vektorski proizvod.

Skalarni proizvod

Također je poznat kao točkovni proizvod dvaju vektora. Kada se moduli dva vektora množe s kosinusom manjeg kuta koji se formira između njih, dobiva se skalar. Da bi se skalarni proizvod smjestio između dva vektora, između njih se nalazi točka, koja se može definirati kao:

Vrijednost kuta koji postoji između dva vektora ovisit će o tome jesu li paralelni ili okomiti; Dakle, morate:

- Ako su vektori paralelni i imaju isti smisao, kosinus 0º = 1.

- Ako su vektori paralelni i imaju suprotna čula, kosinus 180º = -1.

- Ako su vektori okomiti, kosinus 90º = 0.

Taj se kut također može izračunati znajući da:

Skalarni proizvod ima sljedeća svojstva:

- Komutativno svojstvo: redoslijed vektora ne mijenja skalar.

-Distributivno svojstvo: ako je skalar pomnožen sa zbrojem dva vektora, on je jednak množenju skalara za svaki vektor.

Vektorski proizvod

Vektorsko umnožavanje ili poprečni proizvod dvaju vektora A i B rezultirat će novim vektorom C i izražava se križanjem vektora:

Novi će vektor imati svoja svojstva. Na taj način:

- Smjer: ovaj novi vektor će biti okomit na ravninu, koja je određena izvornim vektorima.

- Smisao: to se određuje po pravilu desne ruke, gdje se vektor A zakreće prema B usmjeravanjem smjera rotacije prstima, a palcem se označava smisao vektora..

- Modul: određuje se množenjem modula vektora AxB, sinusom najmanjeg kuta koji postoji između tih vektora. Izražava se:

Vrijednost kuta koji postoji između dva vektora ovisit će o tome jesu li paralelni ili okomiti. Zatim je moguće potvrditi sljedeće:

- Ako su vektori paralelni i imaju isti smisao, sin 0º = 0.

- Ako su vektori paralelni i imaju suprotna čula, sinus 180º = 0.

- Ako su vektori okomiti, sinus 90º = 1.

Kada je vektorski proizvod izražen u obliku njegovih baznih vektora, on mora:

Skalarni proizvod ima sljedeća svojstva:

- To nije komutativno: redoslijed vektora mijenja skalar.

- Distributivno svojstvo: ako je skalar pomnožen sa zbrojem dva vektora, on je jednak množenju skalara za svaki vektor.

reference

  1. Altman Naomi, M.K. (2015). "Jednostavna linearna regresija." Prirodne metode .
  2. Angel, A.R. (2007). Elementarna algebra Obrazovanje Pearson,.
  3. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Obrazovanje Pearson.
  4. Gusiatnikov, P., & Reznichenko, S. (s.f.). Algebr u vektorski u primjerima. Moskva: Mir.
  5. Lay, D.C. (2007). Linearna algebra i njezine primjene. Obrazovanje Pearson.
  6. Llinares, J.F. (2009). Linearna algebra: vektorski prostor. Euklidski vektorski prostor. Sveučilište Alicante.
  7. Mora, J.F. (2014). Linearna algebra domovina.