Matematičko logičko porijeklo, koje studije, vrste



matematička logika ili simbolička logika je matematički jezik koji uključuje potrebne alate pomoću kojih se matematička rasuđivanja mogu potvrditi ili odbiti.

Poznato je da u matematici nema dvosmislenosti. S obzirom na matematički argument, to vrijedi ili jednostavno nije. Ne može biti lažna i istinita u isto vrijeme.

Poseban aspekt matematike je da ima formalni i rigorozni jezik kroz koji se može odrediti valjanost rasuđivanja. Što je to što određeno rasuđivanje ili neki matematički dokaz čini nepobitnim? To je matematička logika.

Prema tome, logika je disciplina matematike koja je odgovorna za proučavanje matematičkog rasuđivanja i demonstracija, te daje alate za izvođenje ispravnog zaključka iz prethodnih izjava ili prijedloga.

Da bi se to postiglo, koristi aksiome i druge matematičke aspekte koji će se kasnije razviti.

indeks

  • 1 Podrijetlo i povijest
    • Aristotel
  • 2 Koje studije matematičke logike?
    • 2.1
    • 2.2 Tablice istine
  • 3 Vrste matematičke logike
    • 3.1 Područja
  • 4 Reference

Podrijetlo i povijest

Točni datumi s obzirom na mnoge aspekte matematičke logike su neizvjesni. Međutim, većina bibliografija na tu temu prati podrijetlo toga u antičku Grčku.

Aristotel

Početak rigoroznog tretmana logike dijelom se pripisuje Aristotelu, koji je napisao niz logičkih djela, koje su kasnije sakupljali i razvijali različiti filozofi i znanstvenici, sve do srednjeg vijeka. To se može smatrati "starom logikom".

Zatim, u onom što je poznato kao suvremeno doba, Leibniz, potaknut dubokom željom za uspostavljanjem univerzalnog jezika za matematički razum i drugim matematičarima kao što su Gottlob Frege i Giuseppe Peano, utjecali su osobito na razvoj matematičke logike s velikim doprinosom. među njima, aksiomi Peano, koje formuliraju neophodna svojstva prirodnih brojeva.

Matematičari George Boole i Georg Cantor također su imali veliki utjecaj u ovom trenutku, s važnim doprinosima u teoriji skupova i tablicama istine, naglašavajući, između ostalog, Booleovu algebru (George Boole) i Aksiom izbora (George Cantor).

Tu je i Augustus De Morgan s poznatim Morganovim zakonima, koji razmatraju poricanja, veznike, razdvojenost i uvjetovanje između propozicija, ključeva za razvoj simboličke logike, i Ivana Venna s poznatim Vennovim dijagramima..

U 20. stoljeću, otprilike između 1910. i 1913. godine, Bertrand Russell i Alfred North Whitehead ističu se objavljivanjem Principia mathematica, skup knjiga koje prikupljaju, razvijaju i postuliraju niz aksioma i logičkih rezultata.

Što proučava matematička logika?

propozicije

Matematička logika započinje proučavanjem tvrdnji. Prijedlog je potvrda da se bez ikakve dvosmislenosti može reći ako je istinita ili ne. Slijede primjeri prijedloga:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • Godine 1930. došlo je do potresa u Europi.

Prvi je pravi prijedlog, a drugi lažna tvrdnja. Treći, iako je moguće da osoba koja ga čita ne zna je li istina ili odmah, to je izjava koja se može provjeriti i utvrditi ako se doista dogodilo ili nije.

Slijede primjeri izraza koji nisu prijedlozi:

  • Ona je plavuša.
  • 2x = 6.
  • Igrajmo se!
  • Volite li kino?

U prvom prijedlogu nije precizirano tko je "ona", stoga se ništa ne može potvrditi. U drugoj tvrdnji, ono što predstavlja "x" nije specificirano. Ako je umjesto toga rečeno da je 2x = 6 za neki prirodni broj x, u ovom slučaju bi odgovaralo predlogu, zapravo istinito, jer je za x = 3 ispunjen.

Posljednje dvije izjave ne odgovaraju prijedlogu, jer ih nema načina da ih se poriče ili potvrdi.

Dvije ili više tvrdnji mogu se kombinirati (ili povezati) pomoću poznatih veznih konektora (ili konektora). To su:

  • Odbijanje: "Ne pada kiša".
  • Disjunction: "Luisa je kupila bijelu ili sivu torbu".
  • Veza: "42= 16 i 2 × 5 = 10 ".
  • Uvjetno: "Ako pada kiša, onda poslijepodne ne idem u teretanu".
  • Biconditional: "Idem u teretanu poslijepodne ako, i samo ako, ne pada kiša".

Tvrdnja koja ne posjeduje niti jednu prethodnu vezivnu skupinu naziva se jednostavna pretpostavka (ili atomska). Na primjer, "2 je manje od 4", jednostavan je prijedlog. Tvrdnje koje imaju neke veze nazivaju se složenim tvrdnjama, kao na primjer "1 + 3 = 4 i 4 je paran broj".

Izjave koje su iznesene putem propozicija su obično duge, pa je dosadno pisati ih uvijek kao što smo do sada vidjeli. Zbog toga se koristi simbolički jezik. Prijedlozi su obično prikazani velikim slovima kao što su P, Q, R, S, itd I simbolička poveznica, kako slijedi:

Tako da

recipročan uvjetnog prijedloga

je prijedlog

I contrapositive (ili kontrapositivno) prijedloga

je prijedlog

Tablice istine

Još jedan važan pojam u logici je i tablica istine. Vrijednosti istine propozicije su dvije mogućnosti koje su dostupne za tvrdnju: istina (koja će biti označena s V i njezina istinitost će se reći da je V) ili lažna (koja će biti označena s F i njezina vrijednost će biti \ t stvarno je F).

Istinitost složene tvrdnje ovisi isključivo o istinitim vrijednostima jednostavnih tvrdnji koje se u njemu pojavljuju.

Da bismo radili općenitije, nećemo razmatrati specifične propozicije, nego propozicijske varijable p, q, r, s, itd., koji će predstavljati sve propozicije.

S ovim varijablama i logičkim vezama formiraju se dobro poznate propozicijske formule kao što se sastavljaju složeni izrazi.

Ako je svaka od varijabli koje se pojavljuju u propozicijskoj formuli zamijenjena prijedlogom, dobiva se složeni prijedlog.

U nastavku su tablice istine za logičke poveznice:

Postoje propozicijske formule koje primaju samo vrijednost V u svojoj tablici istine, to jest, posljednji stupac njihove tablice istine ima samo vrijednost V. Ova vrsta formula je poznata kao tautologija. Na primjer:

Slijedi tablica istine formule

Kaže se da formula α logički implicira drugu formulu β, ako je α točno svaki put kada je β istinito. To jest, u tablici istine α i β, redovi u kojima α ima V, β također imaju V. Samo interesantni redovi u kojima α imaju vrijednost V. Oznaka za logičku implikaciju je sljedeća: :

Sljedeća tablica sažima svojstva logičke implikacije:

Rečeno je da su dvije propozicijske formule logički ekvivalentne ako su njihove tablice istine identične. Sljedeći zapis se koristi za izražavanje logičke ekvivalencije:

Sljedeće tablice sumiraju svojstva logičke ekvivalencije:

Vrste matematičke logike

Postoje različite vrste logike, osobito ako se uzme u obzir pragmatična ili neformalna logika koja upućuje na filozofiju, među ostalim područjima.

Što se tiče matematike, vrste logike mogu se sažeti na sljedeći način:

  • Formalna ili aristotelijska logika (antička logika).
  • Propozicijska logika: odgovorna je za proučavanje svega što se odnosi na valjanost argumenata i propozicija upotrebom formalnog jezika i također simbolično.
  • Simbolička logika: usmjerena na proučavanje skupova i njihovih svojstava, također s formalnim i simboličkim jezikom, i duboko je povezana s propozicijskom logikom.
  • Kombinatorna logika: jedna od nedavno razvijenih, uključuje rezultate koji se mogu razviti algoritmima.
  • Logičko programiranje: koristi se u različitim paketima i programskim jezicima.

područja

Među područjima koja koriste matematičku logiku na nezamjenjiv način u razvoju njihovih rasuđivanja i argumenata, oni ističu filozofiju, teoriju skupova, teoriju brojeva, konstruktivnu algebarsku matematiku i programske jezike..

reference

  1. Aylwin, C. U. (2011). Logika, skupovi i brojevi. Merida - Venezuela: Vijeće publikacija, Universidad de Los Andes.
  2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Uvod u teoriju brojeva. EUNED.
  3. Castañeda, S. (2016). Osnovni tečaj teorije brojeva. Sveučilište Sjever.
  4. Cofré, A., i Tapia, L. (1995). Kako razviti matematičko logičko rasuđivanje. Uvodnik Sveučilišta.
  5. Zaragoza, A.C. (s.f.). Teorija brojeva. Knjige uredničke vizije.