Objašnjenje, primjene i vježbe iz Bolzanove teoreme

Bolzanov teorem utvrđuje da ako je funkcija neprekidna u svim točkama zatvorenog intervala [a, b] i ako se uvjerava da slika "a" i "b" (pod funkcijom) ima suprotne znakove, tada će postojati najmanje jedna točka "C" u otvorenom intervalu (a, b), tako da će funkcija vrednovana u "c" biti jednaka 0.

Ovaj teorem je objavio filozof, teolog i matematičar Bernard Bolzano 1850. godine. Ovaj znanstvenik, rođen u današnjoj Češkoj Republici, bio je jedan od prvih matematičara u povijesti koji je formalno demonstrirao svojstva kontinuiranih funkcija..

indeks

• 1 Objašnjenje
• 2 Demonstracija
• 3 Za što je namijenjen??
• 4 Vježbe riješene
  • 4.1 Vježba 1
  • 4.2 Vježba 2
• 5 Reference

objašnjenje

Bolzanov teorem poznat je i kao teorem o srednjim vrijednostima, koji pomaže u određivanju specifičnih vrijednosti, osobito nula, određenih realnih funkcija realne varijable..

U danoj funkciji f (x) se nastavlja - to jest, da su f (a) i f (b) povezane krivuljom -, gdje je f (a) ispod x-osi (negativno), a f (b) je iznad x osi (to je pozitivno), ili obrnuto, grafički će biti točka rezanja na x osi koja će predstavljati srednju vrijednost "c", koja će biti između "a" i "b", a vrijednost f (c) bit će jednako 0.

Grafički analizirajući Bolzanov teorem, možemo znati da je za svaku funkciju f kontinuirano definirano u intervalu [a, b], gdje f (a)_*f (b) je manje od 0, bit će najmanje jedan korijen "c" te funkcije unutar intervala (a, b).

Ovaj teorem ne određuje broj točaka koje postoje u tom otvorenom intervalu, samo navodi da postoji barem 1 bod.

predstava

Da bi se dokazao Bolzanov teorem, pretpostavlja se bez gubitka općenitosti da f (a) < 0 y f(b) > 0; na taj način može postojati mnogo vrijednosti između "a" i "b" za koje f (x) = 0, ali samo trebate pokazati da postoji jedan.

Počnite procjenjivanjem f na sredini (a + b) / 2. Ako f ((a + b) / 2) = 0, test završava ovdje; inače, tada je f ((a + b) / 2) pozitivna ili negativna.

Izabrana je jedna od polovica intervala [a, b], tako da su znakovi funkcije koja se procjenjuje na krajevima različita. Ovaj novi interval bit će [a1, b1].

Sada, ako f ocijenjen na sredini [a1, b1] nije nula, tada se izvodi ista operacija kao i prije; to jest, odabrana je polovica tog intervala koji zadovoljava stanje znakova. Budite ovaj novi interval [a2, b2].

Ako se ovaj postupak nastavi, poduzimat će se dva niza an i bn, tako da:

an se povećava, a bn se smanjuje:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Ako izračunate duljinu svakog intervala [ai, bi], morat ćete:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Stoga je granica kada n teži beskonačnosti od (bn-an) jednaka 0.

Pomoću tog an se povećava i ograničava, a bn se smanjuje i ograničava, mora postojati vrijednost "c" tako da:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a ≤ ... ≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Granica an je "c", a granica od bn je također "c". Stoga, s obzirom na bilo koji δ> 0, uvijek postoji "n" tako da se interval [an, bn] nalazi unutar intervala (c-δ, c + δ).

Sada se mora pokazati da je f (c) = 0.

Ako je f (c)> 0, budući da je f kontinuirano, postoji ε> 0 tako da je f pozitivan tijekom cijelog intervala (c-ε, c + ε). Međutim, kako je gore navedeno, postoji vrijednost "n" takva da f mijenja znak u [an, bn], a osim toga, [an, bn] je sadržana unutar (c-ε, c + ε), što je kontradikcija.

Ako f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 je takav da je f negativan u cijelom intervalu (c-ε, c + ε); ali postoji vrijednost "n" takva da f mijenja znak u [an, bn]. Ispada da se [an, bn] nalazi unutar (c-ε, c + ε), što je također kontradikcija.

Dakle, f (c) = 0 i to je ono što smo htjeli pokazati.

Za što je??

Iz svoje grafičke interpretacije, Bolzanov teorem koristi se za pronalaženje korijena ili nula u kontinuiranoj funkciji, kroz bisekciju (aproksimaciju), koja je inkrementalna metoda pretraživanja koja uvijek dijeli intervale na 2.

Zatim uzmite interval [a, c] ili [c, b] gdje dolazi do promjene znaka i ponovite postupak sve dok interval nije manji i manji, tako da možete pristupiti željenoj vrijednosti; to jest, vrijednost koju funkcija čini 0.

Ukratko, da bismo primijenili Bolzanov teorem i na taj način pronašli korijene, razgraničili nule funkcije ili dali rješenje jednadžbi, provodimo sljedeće korake:

- Provjerava se je li f kontinuirana funkcija u intervalu [a, b].

- Ako interval nije naveden, treba pronaći mjesto gdje je funkcija kontinuirana.

- Provjerava se jesu li ekstremi intervala dali suprotne znakove kada se procjenjuju u f.

- Ako se ne dobiju suprotni znakovi, interval treba podijeliti u dva subintervala pomoću središnje točke.

- Procijenite funkciju na sredini i provjerite je li ispunjena Bolzanova hipoteza, gdje je f (a) _* f (b) < 0.

- Ovisno o znaku (pozitivnom ili negativnom) pronađene vrijednosti, proces se ponavlja s novim subintervalom dok se ne ispuni navedena hipoteza.

Riješene vježbe

Vježba 1

Odredite je li funkcija f (x) = x² - 2, ima barem jedno stvarno rješenje u intervalu [1,2].

otopina

Imamo funkciju f (x) = x² - 2. Budući da je polinom, to znači da je kontinuiran u bilo kojem intervalu.

Od vas se traži da odredite imate li stvarno rješenje u intervalu [1, 2], tako da sada trebate zamijeniti samo krajeve intervala u funkciji da biste znali znakove i saznali ispunjavaju li uvjet da su različiti:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (negativno)

f (2) = 2² - 2 = 2 (pozitivno)

Dakle, znak f (1) f znaka f (2).

Time se osigurava da postoji barem jedna točka "c" koja pripada intervalu [1,2], gdje f (c) = 0.

U ovom slučaju, vrijednost "c" može se lako izračunati na sljedeći način:

x² - 2 = 0

x = ± .2.

Dakle, √2 ≈ 1,4 pripada intervalu [1,2] i zadovoljava da je f ()2) = 0.

Vježba 2

Dokazati da je jednadžba x⁵ + x + 1 = 0 ima barem jedno stvarno rješenje.

otopina

Prvo primijetite da je f (x) = x⁵ + x + 1 je polinomna funkcija, što znači da je kontinuirana u svim realnim brojevima.

U ovom slučaju, ne daje se interval, tako da vrijednosti treba odabrati intuitivno, po mogućnosti blizu 0, da bi se procijenila funkcija i pronašle promjene znakova:

Ako koristite interval [0, 1] morate:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Budući da nema promjene znaka, proces se ponavlja s drugim intervalom.

Ako koristite interval [-1, 0], morate:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

U tom intervalu dolazi do promjene znaka: znaka f (-1) ≠ znaka f (0), što znači da je funkcija f (x) = x⁵ + x + 1 ima barem jedan stvarni korijen "c" u intervalu [-1, 0], tako da f (c) = 0. Drugim riječima, istina je da je x⁵ + x + 1 = 0 ima stvarno rješenje u intervalu [-1,0].

reference

1. Bronshtein I, S.K. (1988). Priručnik za matematiku za inženjere i studente ... Uvodnik MIR.
2. George, A. (1994). Matematika i um. Oxford University Press.
3. Ilín V, P.E. (1991). Matematička analiza U tri sveska ...
4. Jesús Gómez, F. G. (2003). Nastavnici srednjeg obrazovanja. Svezak II. MAD.
5. Mateos, M.L. (2013). Osnovna svojstva analize u R. Editores, 20. prosinca.
6. Piskunov, N. (1980). Diferencijalni i integralni račun ...
7. Sydsaeter K, H. P. (2005). Matematika za ekonomsku analizu. Felix Varela.
8. William H. Barker, R.H. (s.f.). Kontinuirana simetrija: Od Euclida do Kleina. American Mathematical Soc.