Chebyshovljev teorem o čemu se sastoji, primjene i primjeri



Chebyshovljev teorem (ili Chebyshovljeva nejednakost) jedan je od najvažnijih klasičnih rezultata teorije vjerojatnosti. Omogućuje procjenu vjerojatnosti događaja opisanog u smislu slučajne varijable X, dajući nam dimenziju koja ne ovisi o raspodjeli slučajne varijable, nego o varijanci X.

Teorem je nazvan po ruskom matematičaru Pafnutyju Chebyshovu (također napisanom kao Chebychev ili Tchebycheff) koji je, unatoč tome što nije bio prvi koji je izrekao ovaj teorem, prvi dao demonstraciju u godini 1867..

Ova nejednakost, ili ona koja se po svojim karakteristikama nazivaju Chebyshov nejednakost, uglavnom se koristi za približavanje vjerojatnosti pomoću izračuna dimenzija.

indeks

  • 1 Od čega se sastoji??
  • 2 Primjene i primjeri
    • 2.1 Vjerojatnosti ograničenja
    • 2.2 Demonstracija graničnih teorema
    • 2.3 Veličina uzorka
  • 3 Vrsta nejednakosti Chebyshov
  • 4 Reference

Od čega se sastoji??

U proučavanju teorije vjerojatnosti događa se da, ako znamo funkciju raspodjele slučajne varijable X, možemo izračunati njezinu očekivanu vrijednost - ili matematičko očekivanje E (X) - i njezinu varijancu Var (X), sve dok navedene količine postoje. Međutim, uzajamnost nije nužno istinita.

To jest, znajući E (X) i Var (X), nije nužno dobiti funkciju raspodjele X, tako da su količine kao što je P (| X |> k) za neke k> 0 vrlo teško dobiti. No, zahvaljujući Chebyshovljevoj nejednakosti moguće je procijeniti vjerojatnost slučajne varijable.

Chebyshovljev teorem nam govori da ako imamo slučajnu varijablu X preko prostora uzorka S s funkcijom vjerojatnosti p, i ako k> 0, onda:

Primjene i primjeri

Među mnogim primjenama koje posjeduje Chebyshovljev teorem, može se spomenuti sljedeće:

Ograničavanje vjerojatnosti

To je najčešća primjena i koristi se za dobivanje gornje granice za P (| X-E (X) | ≥k) gdje je k> 0, samo uz varijancu i očekivanje slučajne varijable X, bez poznavanja funkcije vjerojatnosti..

Primjer 1

Pretpostavimo da je broj proizvoda proizvedenih u poduzeću tijekom tjedna slučajna varijabla s prosjekom 50.

Ako znamo da je varijanca tjedna proizvodnje jednaka 25, što možemo reći o vjerojatnosti da će se u ovom tjednu proizvodnja razlikovati za više od 10 od prosjeka?

otopina

Primjenjujući nejednakost Chebyshova moramo:

Iz toga se može zaključiti da je vjerojatnost da će u tjednu proizvodnje broj članaka premašiti više od 10 do prosjeka najviše 1/4.

Demonstracija graničnih teorema

Nejednakost Chebyshova igra važnu ulogu u demonstraciji najvažnijih graničnih teorema. Kao primjer imamo sljedeće:

Slab zakon velikih brojeva

Ovim se zakonom utvrđuje da su s obzirom na slijed X1, X2, ..., Xn, ... nezavisnih slučajnih varijabli s istom prosječnom raspodjelom E (Xi) = μ i varijacijom Var (X) = σ2, i poznati prosječni uzorak:

Zatim za k> 0 morate:

Ili, ekvivalentno:

predstava

Prvo ćemo primijetiti sljedeće:

Budući da su X1, X2, ..., Xn neovisni, slijedi:

Stoga je moguće potvrditi sljedeće:

Zatim, koristeći Chebyshovljev teorem, moramo:

Konačno, teorem proizlazi iz činjenice da je granica desno nula kada n teži beskonačnosti.

Valja napomenuti da je ovaj test proveden samo za slučaj u kojem postoji varijacija Xi; to jest, ne odstupa. Stoga vidimo da je teorem uvijek istinit ako postoji E (Xi).

Chebyshovljev granični teorem

Ako je X1, X2, ..., Xn, ... slijed neovisnih slučajnih varijabli takvih da postoji neki C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

predstava

Kako je sukcesija varijanci jednoliko ograničena, imamo Var (Sn) ≤ C / n za sve prirodne n. Ali znamo da:

Čineći n težeći beskonačnosti, slijedeći rezultati:

Budući da vjerojatnost ne može premašiti vrijednost 1, dobiva se željeni rezultat. Kao posljedica ovog teorema mogli bismo spomenuti poseban slučaj Bernoullija.

Ako se pokus ponavlja n puta neovisno s dva moguća ishoda (neuspjeh i uspjeh), gdje je p vjerojatnost uspjeha u svakom eksperimentu i X je slučajna varijabla koja predstavlja broj postignutih uspjeha, onda za svaki k> 0 morate:

Veličina uzorka

Što se tiče varijance, Chebyshovljeva nejednakost omogućuje nam da pronađemo veličinu uzorka n koja je dovoljna da jamči da je vjerojatnost da se | Sn-μ |> = k dogodi, mala, što nam omogućuje da imamo aproksimaciju do prosjeka.

Točno, neka su X1, X2, ... Xn uzorak neovisnih slučajnih varijabli veličine n i pretpostavimo da je E (Xi) = μ i njegova varijacija σ2. Zatim, zbog Chebyshovljeve nejednakosti, moramo:

primjer

Pretpostavimo da su X1, X2, ... Xn uzorak neovisnih slučajnih varijabli s Bernoullijevom distribucijom, tako da uzmu vrijednost 1 s vjerojatnošću p = 0,5..

Koja bi trebala biti veličina uzorka kako bi se jamčila vjerojatnost da je razlika između aritmetičke sredine Sn i njezine očekivane vrijednosti (veća od 0,1) manja ili jednaka 0. 01?

otopina

Imamo da je E (X) = μ = p = 0,5 i da je Var (X) = σ2= p (1-p) = 0,25. Za nejednakost Chebyshova, za bilo koji k> 0 moramo:

Sada, uzimajući k = 0.1 i δ = 0.01, moramo:

Na taj način se zaključuje da je potrebna veličina uzorka od najmanje 2500 da bi se osiguralo da je vjerojatnost događaja | Sn - 0.5 |> = 0.1 manja od 0.01.

Nejednakosti tipa Chebyshov

Postoje različite nejednakosti povezane s nejednakostima Chebyshova. Jedna od najpoznatijih je Markovljeva nejednakost:

U ovom izrazu X je ne-negativna slučajna varijabla s k, r> 0.

Markovljeva nejednakost može poprimiti različite oblike. Primjerice, neka je Y ne-negativna slučajna varijabla (tako da P (Y> = 0) = 1) i pretpostavimo da postoji E (Y) = μ. Pretpostavimo također da (E (Y))r= μr postoji za neki cijeli broj r> 1. tada je:

Druga je nejednakost Gaussova, koja nam govori da je dano unimodalna slučajna varijabla X s modom na nuli, zatim za k> 0,

reference

  1. Kai Lai Chung Teorija elementarne dostupnosti s slučajnim procesima. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen, diskretna matematika i njezine primjene. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Vjerojatnost i statističke primjene. Inc. MEXICAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz 2000 Problemi s diskretnom matematikom. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Teorija i problemi vjerojatnosti. McGraw-Hill.