Euklidove teoremske formule, demonstracije, primjena i vježbe



Euklidov teorem To pokazuje svojstva pravokutnog trokuta crtu koja ga dijeli na dva nova trokuta koji su slični i, s druge strane, su slična trokuta; Zatim, tu je i odnos razmjernosti.

Euclid je bio jedan od najvećih matematičara i geometara drevnog doba koji je napravio nekoliko demonstracija važnih teorema. Jedna od glavnih je ona koja nosi njegovo ime, koja je imala široku primjenu.

To je tako zato što, kroz ovaj teorem, na jednostavan način objašnjava geometrijske odnose koji postoje u pravom trokutu, gdje su noge toga povezane s njihovim projekcijama u hipotenuzi.

indeks

  • 1 Formule i demonstracije
    • 1.1 Teorema visine
    • 1.2 Teorem nogu
  • 2 Odnos između Euclidovih teorema
  • 3 vježbe riješene
    • 3.1 Primjer 1
    • 3.2 Primjer 2
  • 4 Reference

Formule i demonstracije

Euklidove teorem ukazuje da je sve u redu trokut, kad je nacrtana linija koja predstavlja visinu koja odgovara vrhu desnog kuta da hipotenusa- dvije prave trokuta su formirane od originala.

Ovi trokuti će biti slični jedan drugome i bit će slični izvornom trokutu, što znači da su njihove slične strane proporcionalne jedna drugoj:

Kutovi triju trokuta su podudarni; to jest, kada se rotira na 180 stupnjeva na svom vrhu, kut se podudara s druge strane. To znači da će svi biti jednaki.

Na taj način možete provjeriti sličnost koja postoji između tri trokuta, jednakošću njihovih kutova. Iz sličnosti trokuta, Euclid uspostavlja razmjere tih dvaju teorema:

- Teorem o visini.

- Teorema nogu.

Ovaj teorem ima široku primjenu. U antici se koristio za izračun visine ili udaljenosti, što predstavlja veliki napredak za trigonometriju.

Trenutno se primjenjuje u nekoliko područja koja se temelje na matematici, kao što su inženjerstvo, fizika, kemija i astronomija, među mnogim drugim područjima.

Teorem o visini

Ovaj teorem tvrdi da je bilo pravo trokut, visina izvući iz pravim kutom u odnosu na hipotenuze je geometrijska sredina proporcionalna (kvadrat visine) između projekcija nogama određuje hipotenuze.

To znači da će kvadrat visine biti jednak množenju projiciranih nogu koji tvore hipotenuzu:

hc2 = m * n

predstava

S obzirom na trokut ABC, koji je pravokutnik na vrhu C, pri crtanju visine generiraju se dva slična desna trokuta, ADC i BCD; stoga su njihove odgovarajuće strane proporcionalne:

Na takav način da visina hc što odgovara segmentu CD, odgovara hipotenuze AB = c, tako da moramo:

S druge strane, to odgovara:

Čišćenje hipotenuze (hc), kako biste pomnožili dva člana jednakosti, morate:

hc * hc = m * n

hc2 = m * n

Prema tome, vrijednost hipotenuze je dana:

Teorema nogu

Ovaj teorem tvrdi da u svakom pravokutnom trokutu, opseg svaku nogu proporcionalna geometrijska sredina (trg svaku nogu) između mjera hipotenuze (komplet) i svaki projekcije na ovo:

b2 = c * m

u2 = c* n

predstava

Daje trokut ABC, odnosno pravokutnik na vrha C, tako da je njegova hipotenuza je c, iscrtavanjem visine (h) izbočenja kraka B, koji su segmenti m i n, odnosno, i koji su na određuju je dužina hipotenuze.

Dakle, imamo da visina nacrtana na pravom trokutu ABC generira dva slična desna trokuta, ADC i BCD, tako da su odgovarajuće strane proporcionalne, kao što je ovaj:

DB = n, što je projekcija CB noge na hipotenuzu.

AD = m, što je projekcija katetusa AC na hipotenuzu.

Zatim se hipotenuza c određuje zbrojem nogu njegovih projekcija:

c = m + n

Zbog sličnosti trokuta ADC i BCD, moramo:

Gore navedeno je isto kao:

Čišćenjem noge "a" da bi se pomnožila dva člana jednakosti, treba:

u * a = c * n

u2 = c * n

Prema tome, vrijednost noge "a" je dana:

Slično tome, zbog sličnosti trokuta ACB i ADC, moramo:

Gore navedeno jednako je:

Čišćenjem noge "b" da bi se pomnožila dva člana jednakosti, treba:

b * b = c * m

b2 = c * m

Dakle, vrijednost nogu "b" je dana:

Odnos između Euclidovih teorema

Teoremi koji se odnose na visinu i noge su međusobno povezani, jer je mjera oba napravljena s obzirom na hipotenuzu pravog trokuta..

Kroz odnos Euclidovih teorema može se pronaći i vrijednost visine; to je moguće očistiti od vrijednosti m i n iz teorema nogu i zamijeniti ih u teoremu o visini. Na taj način visina je jednaka množenju nogu, podijeljenoj hipotenuza:

b2 = c * m

m = b2 C

u2 = c * n

n = a2 C

U teoremu visine m i n se zamjenjuju:

hc2 = m * n

hc2 = (b2 C) * (a2 C)

hc = (b2* u2) ÷ c

Riješene vježbe

Primjer 1

S obzirom na trokut ABC, pravokutnik u A, odredite mjeru AC i AD, ako je AB = 30 cm i BD = 18 cm

otopina

U ovom slučaju imamo mjerenja jedne od projiciranih nogu (BD) i jedne od nogu izvornog trokuta (AB). Na taj način možete primijeniti teorem o nogu kako biste pronašli vrijednost nogu BC.

AB2 = BD * prije Krista

(30)2 = 18 * prije Krista

900 = 18 * prije Krista

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Vrijednost CD katetusa može se naći znajući da je BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Sada je moguće odrediti vrijednost katetusa AC, ponovno primjenjujući teorem o nogama:

AC2 = CD * BD

AC2 = 32 * 50

AC2 = 160

AC = 001600 = 40 cm

Za određivanje vrijednosti visine (AD) primjenjuje se teorem o visini, budući da su vrijednosti projiciranih nogu CD i BD poznate:

AD2 = 32 * 18

AD2 = 576

AD = 76576

AD = 24 cm

Primjer 2

Odredite vrijednost visine (h) trokuta MNL, pravokutnika u N, znajući mjerenja segmenata:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

otopina

Imate mjerenje jedne od nogu projiciranih na hipotenuzu (PM), kao i mjerenja nogu izvornog trokuta. Na taj se način može primijeniti teorem nogu kako bi se pronašla vrijednost druge projicirane noge (LN):

NL2 = PM * LM

(10)2 = 5 * LM

100 = 5 * LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Kako već znamo vrijednost nogu i hipotenuze, kroz odnos teorema visine i nogu, može se odrediti vrijednost visine:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b2* u2) ÷ c.

h = (102* 52)  ÷ (20)

h = (100 * 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

reference

  1. Braun, E. (2011). Kaos, fraktali i čudne stvari. Fond za ekonomsku kulturu.
  2. Cabrera, V.M. (1974). Suvremena matematika, svezak 3.
  3. Daniel Hernandez, D.P. (2014). 3. godina matematike Caracas: Santillana.
  4. Enciklopedija Britannica, i. (1995). Španjolska enciklopedija: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
  5. Euclid, R.P. (1886). Euclidovi elementi geometrije.
  6. Guardeño, A.J. (2000). Nasljeđe matematike: od Euklida do Newtona, genijalci kroz njegove knjige. Sveučilište u Sevilli.