Moivreova teorema o tome što se sastoji, demonstracije i riješene vježbe

Moivreov teorem primjenjuje temeljne procese algebre, kao što su moći i ekstrakcija korijena u kompleksnim brojevima. Teorem je objavio poznati francuski matematičar Abraham de Moivre (1730.), koji je složene brojeve povezao s trigonometrijom.

Abraham Moivre napravio je tu povezanost kroz izraze dojke i kosinusa. Ovaj je matematičar generirao neku formulu kroz koju je moguće podići složeni broj z na snagu n, koja je pozitivan cijeli broj veći ili jednak 1.

indeks

• 1 Što je Moivre teorem??
• 2 Demonstracija
  • 2.1 Induktivna baza
  • 2.2. Induktivna hipoteza
  • 2.3 Provjera
  • 2.4 Negativni cijeli broj
• 3 vježbe riješene
  • 3.1 Izračun pozitivnih snaga
  • 3.2 Izračunavanje negativnih sila
• 4 Reference

Što je Moivre teorem??

Moivreov teorem navodi sljedeće:

Ako imate kompleksan broj u polarnom obliku z = r_ɵ, gdje je r modul kompleksnog broja z, a kut Ɵ naziva se amplituda ili argument bilo kojeg kompleksnog broja s 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, da bi se izračunala njena n-ta snaga, neće biti potrebno pomnožiti je n-puta; to jest, nije potrebno napraviti sljedeći proizvod:

Zⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_* r_* r_{... * ... *} r_ɵ   n puta.

Naprotiv, teorem kaže da kada pišemo z u svom trigonometrijskom obliku, da izračunamo n-tu snagu, postupimo kako slijedi:

Ako je z = r (cos i + i _* sin Ɵ) zatim zⁿ = rⁿ (cos n * i + i _* sin n * Ɵ).

Na primjer, ako je n = 2, tada je z² = r²[cos 2 (+) + i sin 2 (Ɵ)]. Ako imate n = 3, tada z³ = z² _* z. Dodatno:

z³ = r²[cos 2 (+) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (+) + i sin 2 (])] = r³[cos 3 (+) + i sin 3 (Ɵ)].

Na taj način, trigonometrijski omjeri sinusnog i kosinusnog mogu se dobiti za višekratnike kuta, sve dok su poznati trigonometrijski omjeri kuta..

Na isti način može se koristiti za pronalaženje preciznijih i manje zbunjujućih izraza za n-ti korijen kompleksnog broja z, tako da zⁿ = 1.

Da bi se pokazao Moivreov teorem, koristi se princip matematičke indukcije: ako cijeli broj "a" ima svojstvo "P", a za bilo koji cijeli broj "n" veći od "a" koji ima svojstvo "P" to je zadovoljava da n + 1 također ima svojstvo "P", a svi cijeli brojevi veći ili jednaki "a" imaju svojstvo "P".

predstava

Na taj se način dokaz teorema izvodi sljedećim koracima:

Induktivna baza

Prva provjera za n = 1.

Kao i z¹ = (r (cos i + i _* sen))¹ = r¹ (cos i + i _* sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* +) + I _* sen (1_* ])], Imamo da je za n = 1 ispunjen teorem.

Induktivna hipoteza

Pretpostavlja se da je formula istinita za neki pozitivni cijeli broj, tj. N = k.

z^k = (r (cos i + i _* sen))^k  = r^k (cos k + i _* sen k Ɵ).

testiranje

Dokazano je da je to vrijedi za n = k + 1.

Kao i z^{k + 1}= z^k _* z, zatim z^{k + 1} = (r (cos i + i _* sen))^{k + 1} = r^k (cos k + i _* sen kƟ) _*  r (cos i + i_* senƟ).

Tada se izrazi množe:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(i_*senƟ) + (i _* sen kƟ)_*(cos) + (i _* sen kƟ)_*(i_* senƟ)).

Na trenutak se faktor r ignorira^{k + 1},  i zajednički faktor i je uklonjen:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cos) + i²(sen kƟ)_*(SenƟ).

Kako i² = -1, zamjenjujemo ga u izrazu i dobivamo:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(SenƟ).

Sada se uređuje stvarni i imaginarni dio:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(SenƟ)].

Da bi se pojednostavio izraz, primjenjuju se trigonometrijski identiteti zbroja kutova za kosinus i sinus, koji su:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A. \ t _* B.

sen (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

U ovom slučaju varijable su kutovi Ɵ i kƟ. Primjenjujući trigonometrijske identitete, imamo:

cos kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

Na taj način ostaje izraz:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kƟ + +) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1) Ɵ] + i _* sen [(k +1) Ɵ]).

Stoga se može pokazati da je rezultat istinit za n = k + 1. Prema principu matematičke indukcije, zaključuje se da je rezultat istinit za sve pozitivne cijele brojeve; to jest, n ≥ 1.

Cijeli broj negativan

Moivreov teorem također se primjenjuje kada je n ≤ 0. Razmotrimo negativni cijeli broj "n"; tada "n" može biti napisan kao "-m", to jest, n = -m, gdje je "m" pozitivan cijeli broj. Stoga:

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = (cos i + i _* sen Ɵ) ^-m

Za dobivanje eksponenta "m" na pozitivan način, izraz se zapisuje obrnuto:

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos i + i _* sen Ɵ) ^m

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sen mƟ)

Sada se koristi da ako je z = a + b * i kompleksan broj, onda je 1 = z = a-b * i. Stoga:

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _* sen (mƟ).

Koristeći cos (x) = cos (-x) i -sen (x) = sin (-x), moramo:

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = [cos (m +) - i _* sen (mƟ)]

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- m) + i _* sen (-mƟ)

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (nƟ) - i _* sen (nƟ).

Na taj način možemo reći da se teorem primjenjuje na sve cjelobrojne vrijednosti "n"..

Riješene vježbe

Izračun pozitivnih snaga

Jedna od operacija sa kompleksnim brojevima u svom polarnom obliku je umnožavanje između tih dvaju; u tom slučaju moduli se množe i dodaju se argumenti.

Ako imate dva kompleksna broja z₁ i z₂ i želite izračunati (z₁* z₂)², Zatim nastavljamo kako slijedi:

z₁z₂ = [r₁ (cos Ɵ₁ + ja _* sen₁)] * [r₂ (cos Ɵ₂ + ja _* sen₂)]

Distribucijsko vlasništvo primjenjuje se:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + ja _* cos Ɵ_{1 *} ja _* sen₂ + ja _* sen_{1 *} cos Ɵ₂ + ja²_* sen_{1 *} sen₂).

Oni su grupirani, uzimajući izraz "i" kao zajednički faktor izraza:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen₂ + sen_{1 *} cos Ɵ₂) + i²_* sen_{1 *} sen₂]

Kako i² = -1, zamjenjuje se u izrazu:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen₂ + sen_{1 *} cos Ɵ₂) - sen_{1 *} sen₂]

Stvarni izrazi su pregrupisani sa stvarnim, a imaginarnim s imaginarnim:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ - sen_{1 *} sen₂) + i (cos Ɵ_{1 *} sen₂ + sen_{1 *} cos Ɵ₂)]

Konačno, primjenjuju se trigonometrijska svojstva:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen (₁ + ɵ₂)].

U zaključku:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen (₁ + ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2 * (₁ + ɵ₂) + i sen 2 * (₁ + ɵ₂)].

Vježba 1

Zapiši kompleksni broj u polarnom obliku ako je z = - 2 -2i. Zatim, koristeći Moiverov teorem, izračunajte z⁴.

otopina

Kompleksni broj z = -2 -2i izražava se u pravokutnom obliku z = a + bi, gdje:

a = -2.

b = -2.

Znajući da je polarni oblik z = r (cos i + i _* sin Ɵ), morate odrediti vrijednost "r" modula i vrijednost argumenta ".". Kao r = √ (a² + b²), dane vrijednosti se zamjenjuju:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Zatim, za određivanje vrijednosti "Ɵ", primjenjuje se pravokutni oblik toga, koji je dan formulom:

tan Ɵ = b. a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Kao tan (=) = 1 i morate<0, entonces se tiene que:

Ar = arctan (1) + Π.

= 4/4 + Π

= 5Π / 4.

Budući da je vrijednost "r" i "Ɵ" već dobivena, kompleksni broj z = -2 -2i može se izraziti u polarnom obliku zamjenom vrijednosti:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4)).

Sada se Moivre teorem koristi za izračunavanje z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

Vježba 2

Pronađite proizvod složenih brojeva izražavajući ga u polarnom obliku:

z1 = 4 (cos 50^ili + ja_* 50 sen^ili)

Z2 = 7 (cos 100^ili + ja_* 100 sen^ili).

Zatim izračunajte (z1 * z2) ².

otopina

Prvo se stvara proizvod danih brojeva:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^ili + ja_* 50 sen^ili)] * [7 (cos 100^ili + ja_* 100 sen^ili)]

Zatim pomnožite module i dodajte argumente:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^ili + 100^ili) + i_* (50^ili + 100^ili)]

Izraz je pojednostavljen:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^ili + (i_* 150 sen^ili).

Konačno, primjenjuje se Moivre teorema:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^ili + (i_* 150 sen^ili)) ² = 784 (cos 300)^ili + (i_* 300 sen^ili)).

Izračunavanje negativnih sila

Za podjelu dva kompleksna broja z₁ i z₂ u svom polarnom obliku modul je podijeljen i argumenti su oduzeti. Dakle, kvocijent je z₁ . Z₂ i izražava se kako slijedi:

z₁ . Z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- ɵ₂) + i sen (₁ - ɵ₂)]).

Kao iu prethodnom slučaju, ako želite izračunati (z1 2 z2) ³, prvo je napravljena podjela, a zatim se koristi Moivre teorem..

Vježba 3

dati:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

izračunaj (z1 2 z2) ³.

otopina

Slijedeći gore opisane korake, može se zaključiti da:

(z1 2 z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4)))

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

reference

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Obrazovanje Pearson.
2. Croucher, M. (s.f.). Iz Moiverove teoreme za trigonometrije. Wolfram Demonstrations Project.
3. Hazewinkel, M. (2001). Matematička enciklopedija.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra i trigonometrija.
5. Pérez, C.D. (2010). Obrazovanje Pearson.
6. Stanley, G. (s.f.). Linearna algebra Graw-Hill.
7. , M. (1997). Viša aritmetika. Obrazovanje Pearson.