Teorem o Talesu Mileta Prvo, Drugo i Primjeri



Prva i druga Teorem o Talesu iz Mileta temelje se na određivanju trokuta iz drugih sličnih (prvi teorem) ili kružnicama (drugi teorem). Oni su bili vrlo korisni u raznim područjima. Na primjer, prvi teorem pokazao se vrlo korisnim za mjerenje velikih struktura kada nije bilo sofisticiranih mjernih instrumenata.

Tales iz Mileta bio je grčki matematičar koji je dao veliki doprinos geometriji, od kojih se ističu ti dva teorema (u nekim tekstovima također ga pišu kao Thales) i njihove korisne primjene. Ovi rezultati su korišteni kroz povijest i omogućili su rješavanje raznih geometrijskih problema.

indeks

  • 1 Prva teorema o bajkama
    • 1.1
    • 1.2 Primjeri
  • 2 Drugi teorem o Talesu
    • 2.1
    • 2.2 Primjer
  • 3 Reference

Prvi teorem o Talesu

Prvi teorem Tales-a je vrlo koristan alat koji, između ostalog, dopušta izgradnju trokuta sličnog drugom, ranije poznatom. Odatle proizlaze različite verzije teorema koje se mogu primijeniti u višestrukim kontekstima.

Prije davanja izjave, sjetite se nekih pojmova sličnosti trokuta. U osnovi, dva trokuta su slična ako su njihovi kutovi sukladni (imaju istu mjeru). To dovodi do činjenice da, ako su dva trokuta slična, njihove odgovarajuće strane (ili homologi) su proporcionalne.

Prvi teorem Thalesa kaže da ako je u danom trokutu ravna crta nacrtana paralelno s bilo kojom od njegovih strana, dobiveni novi trokut bit će sličan početnom trokutu..

Također dobivate vezu između kutova koji se formiraju, kao što se vidi na sljedećoj slici.

primjena

Među njegovim višestrukim primjenama izdvaja se jedna od osobitih interesa i odnosi se na jedan od načina na koji su mjerenja napravljena od velikih građevina u antici, u vremenu u kojem je živio Thales iu kojima moderni mjerni uređaji nisu bili dostupni. postoje sada.

Kaže se da je tako Tales uspio izmjeriti najvišu piramidu u Egiptu, Cheops. Zbog toga je Thales pretpostavio da su refleksije sunčevih zraka dodirnule tlo i tvorile paralelne linije. Pod tom pretpostavkom on je okomito gurnuo štap ili štap u zemlju.

Zatim je koristio sličnost dvaju rezultirajućih trokuta, jedan formiran duljinom sjene piramide (koja se lako može izračunati) i visinom piramide (nepoznato), a druga formirana duljinama sjene. i visina štapa (koji se također može lako izračunati).

Koristeći proporcionalnost između tih duljina, možete očistiti i znati visinu piramide.

Iako ova metoda mjerenja može dati značajnu pogrešku aproksimacije s obzirom na točnost visine i ovisi o paralelnosti sunčevih zraka (što ovisi o točnom vremenu), moramo shvatiti da je to vrlo genijalna ideja i koja je osigurala dobru alternativu mjerenja za vrijeme.

Primjeri

Pronađite vrijednost x u svakom slučaju:

otopina

Ovdje imamo dva reda presječena s dvije paralelne linije. Prema prvom teoremu Thalesu, svaka od njih je proporcionalna. Konkretno:

otopina

Ovdje imamo dva trokuta, od kojih je jedan oblikovan segmentom paralelnim s jednom od strana druge (točno s duljinom x). Prema prvom teoremu Tales-a morate:

Druga teorema priča

Drugi Talesov teorem određuje pravokutni trokut upisan na obod u svakoj točki iste.

Trokut koji je upisan u obod je trokut čiji su vrhovi na obodu i time su sadržani u ovome.

Naime, drugi Talesov teorem navodi sljedeće: s obzirom na krug središta O i promjer AC, svaka točka B opsega (osim A i C) određuje pravokutni ABC, s pravim kutom

Kao opravdanje, imajte na umu da i OA i OB i OC odgovaraju radijusu opsega; stoga su njihova mjerenja ista. Odatle se dobiva da su trokuti OAB i OCB jednakokračni, gdje

Poznato je da je zbroj kutova trokuta jednak 180º. Koristeći to s trokutom ABC morate:

2b + 2a = 180 °.

Ekvivalentno, imamo da je b + a = 90º i b + a =

Imajte na umu da je pravi trokut koji pruža Thalesov drugi teorem upravo onaj čija je hipotenuza jednaka promjeru oboda. Dakle, ona je u potpunosti određena polukrugom koji sadrži točke trokuta; u ovom slučaju, gornji polukrug.

Napominjemo također da je u pravom trokutu dobivenom pomoću Thalesova drugog teorema hipotenuza podijeljena na dva jednaka dijela pomoću OA i OC (radijus). S druge strane, ova je mjera jednaka segmentu OB (također i radijusu), što odgovara medijani trokuta ABC pomoću B.

Drugim riječima, duljina medijana pravokutnog trokuta ABC koja odgovara vrhu B u potpunosti je određena polovinom hipotenuze. Sjetite se da je medijan trokuta segment od jednog od vrhova do sredine suprotne strane; u ovom slučaju, BO segment.

Kružni opseg

Drugi način da se vidi Talesov drugi teorem jest kroz krug koji je ograničen pravim trokutom.

Općenito, kružnica opisana na poligonu sastoji se od opsega koji prolazi kroz svaki od njegovih vrhova, kad god ga je moguće pratiti.

Koristeći drugi Thalesov teorem, s pravim trokutom, uvijek možemo konstruirati kružni krug opisan ovome, s radijusom jednakim polovici hipotenuze i cirkumcentra (središte opsega) koji je jednak sredini hipotenuze.

primjena

Vrlo važna primjena drugog teorema Tales-a, a možda i najčešće korištena, je pronalaženje tangentnih linija na zadani opseg, pomoću točke P izvan te (poznate).

Obratite pažnju na to da s obzirom na opseg (nacrtan plavom bojom na slici ispod) i vanjsku točku P, postoje dvije linije koje se dodiruju s opsegom koji prolaze kroz P. Neka su T i T 'točke tangencije, r polumjer opsega i Ili centar.

Poznato je da je odsječak koji ide od središta kruga do točke njegove tangencije, okomit na tu tangentnu liniju. Zatim je kut OTP-a ravan.

Iz onoga što smo ranije vidjeli u prvom teoremu Thalesu i njegovim različitim verzijama, vidimo da je moguće upisati trokut OTP-a u drugi opseg (crvenom).

Analogno je dobiveno da se trokut OT'P može upisati unutar istog prethodnog opsega.

Prema drugom Thalesovom teoremu, također smo dobili da je promjer tog novog opsega upravo hipotenuza trokuta OTP (koja je jednaka hipotenuzi trokuta OT'P), a središte je središte te hipotenuze.

Da bismo izračunali središte novog opsega, tada je dovoljno izračunati srednju točku između središta - recimo M - početnog opsega (koji već znamo) i točke P (koju također znamo). Tada će radijus biti udaljenost između ove točke M i P.

S radijusom i središtem crvenog kruga možemo pronaći njegovu kartezijansku jednadžbu, koju pamtimo (x-h)2 + (Y-k)2 = c2, gdje je c polumjer, a točka (h, k) središte kruga.

Znajući sada jednadžbe obiju kružnica, možemo ih presresti rješavanjem sustava jednadžbi koje su formirane, i tako dobiti točke tangencije T i T '. Konačno, da bismo znali željene tangentne linije, dovoljno je pronaći jednadžbu pravaca koji prolaze kroz T i P, a T 'i P.

primjer

Razmotrite opseg promjera AC, središte O i radijus 1 cm. Neka je B točka na obodu tako da je AB = AC. Koliko AB mjeri?

otopina

Prema drugom Talesovom teoremu, trokut ABC je pravokutnik, a hipotenuza odgovara promjeru, koji u ovom slučaju mjeri 2 cm (radijus je 1 cm). Zatim, po pitagorejskom teoremu moramo:

reference

  1. Ana Lira, P. J. (2006). Geometrija i trigonometrija. Zapopan, Jalisco: Izrada praga.
  2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Obrazovanje Pearson.
  3. Gutiérrez, Á. A. (2004). Metodologija i primjena matematike u E.S.O.. Ministarstvo obrazovanja.
  4. Iger. (2014). Matematika Drugi semestar Zaculeu. Gvatemala: IGER.
  5. José Jiménez, L. J. (2006). Matematika 2. Zapopan, Jalisco: Izrada praga.
  6. M., S. (1997). Trigonometrija i analitička geometrija. Obrazovanje Pearson.
  7. Pérez, M.A. (2009). Povijest matematike: izazovi i osvajanja kroz njihove likove. Knjige uredničke vizije.
  8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Ravna analitička geometrija. Venezuelski uvodnik C. A.