Varignonov teoremski primjeri i riješene vježbe



Varignonov teorem utvrđuje da ako se u bilo kojem četverokutu bilo koje točke kontinuirano spajaju sa stranama, generira se paralelogram. Ovaj teorem formulirao je Pierre Varignon i objavljen 1731. u knjizi Elementi matematike".

Objavljivanje knjige dogodilo se godinama nakon njegove smrti. Budući da je Varignon bio taj koji je predstavio ovaj teorem, paralelogram je nazvan po njemu. Teorem se temelji na euklidskoj geometriji i predstavlja geometrijske odnose kvadrilaterala.

indeks

  • 1 Što je Varignonov teorem??
  • 2 Primjeri
    • 2.1 Prvi primjer
    • 2.2 Drugi primjer
  • 3 vježbe riješene
    • 3.1 Vježba 1
    • 3.2 Vježba 2
    • 3.3 Vježba 3
  • 4 Reference

Što je Varignonov teorem??

Varignon je tvrdio da će lik koji je definiran središtima četverokuta uvijek rezultirati paralelogramom, a površina će uvijek biti pola površine četverostrana ako je ravna i konveksna. Na primjer:

Na slici možemo vidjeti četverokut s površinom X, gdje su središnje točke stranica predstavljene E, F, G i H i, kada su spojene, tvore paralelogram. Područje četverokuta će biti zbroj područja trokuta koji se formiraju, a polovica to odgovara području paralelograma..

Budući da je područje paralelograma pola površine četverokuta, može se odrediti opseg tog paralelograma.

Dakle, perimetar je jednak zbroju duljina dijagonala četverokuta; to je zato što će medijan četverokuta biti dijagonale paralelograma.

S druge strane, ako su duljine dijagonala četverokuta jednake, paralelogram će biti dijamant. Na primjer:

Iz slike je vidljivo da se spajanjem središta stranica četverokuta dobiva romb. S druge strane, ako su dijagonale četverokuta okomite, paralelogram će biti pravokutnik.

Također paralelogram će biti kvadrat kada četverokut ima dijagonale iste duljine i također su okomite.

Teorem se ne ispunjava samo u ravnim četverokutima, već se provodi iu prostornoj geometriji ili u velikim dimenzijama; to jest, u onim četverokutima koji nisu konveksni. Primjer toga može biti oktaedar, gdje su središta centroida svakog lica i tvore paralelepiped.

Na taj način, spajanjem srednjih točaka različitih figura, mogu se dobiti paralelogrami. Jednostavan način da se provjeri je li to doista istina jest da suprotne strane moraju biti paralelne kada se prošire.

Primjeri

Prvi primjer

Produženje suprotnih strana kako bi se pokazalo da je paralelogram:

Drugi primjer

Spajanjem središta dijamanta dobivamo pravokutnik:

Teorem se koristi u sjedinjenju točaka smještenih na sredini stranica četverokuta, a može se koristiti i za druge tipove točaka, kao što je u trisekciji, penta-dijelu ili čak beskonačnom broju sekcija ( da bi se stranice bilo kojeg četverokuta razdijelile na segmente koji su proporcionalni.

Riješene vježbe

Vježba 1

Na slici je četverokut ABCD područja Z, gdje su središnje točke stranica PQSR. Provjerite je li nastao paralelogram Varignona.

otopina

Može se provjeriti da se pri spajanju PQSR točaka formira paralelogram Varignona, upravo zato što su u izjavi dane srednje točke četverokuta..

Da bi se to pokazalo, središnje točke PQSR su ujedinjene, tako da se može vidjeti da se formira još jedan četverokut. Da biste pokazali da je paralelogram, morate nacrtati pravac od točke C do točke A, tako da možete vidjeti da je CA paralelan s PQ i RS.

Slično tome, proširenjem PQRS strana može se primijetiti da su PQ i RS paralelne, kao što je prikazano na sljedećoj slici:

Vježba 2

Ima pravokutnik tako da su duljine svih njegovih strana jednake. Pri spajanju središta tih strana formira se romb ABCD, koji je podijeljen s dvije dijagonale AC = 7cm i BD = 10cm, koje se podudaraju s mjerenjima stranica pravokutnika. Odredite dijamant i pravokutnik područja.

otopina

Podsjećajući da je područje nastalog paralelograma pola četverostrana, možete odrediti područje tih područja znajući da se mjera dijagonala podudara sa stranama pravokutnika. Dakle, morate:

AB = D

CD = d

pravokutnik = (AB * CD) = (10 cm) * 7 cm) = 70 cm2

romb = A pravokutnik / 2

romb = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Vježba 3

Na slici imamo četverokut koji ima sjedište točaka EFGH, dane su duljine segmenata. Odredite je li unija EFGH paralelogram.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

otopina

S obzirom na duljine segmenata, moguće je provjeriti postoji li proporcionalnost između segmenata; to jest, možemo znati jesu li paralelni, povezujući segmente četverokuta na sljedeći način:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3.94 / 2.88 = 1.37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Tada se provjerava proporcionalnost, jer:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Slično tome, kad crtamo crtu od točke B do točke D, možemo vidjeti da je EH paralelan s BD, baš kao što je BD paralelan s FG. S druge strane, EF je paralelan s GH.

Na taj se način može utvrditi da je EFGH paralelogram, jer su suprotne strane paralelne.

reference

  1. Andres, T. (2010). Matematička olimpijada. skakač. New York.
  2. Barbosa, J.L. (2006). Ravna euklidska geometrija. SBM. Rio de Janeiro.
  3. Howar, E. (1969). Studija geometrija. Meksiko: Španjolski - Amerikanac.
  4. Ramo, G. P. (1998). Nepoznata rješenja problema Fermat-Torricellija. ISBN - Samostalni rad.
  5. Vera, F. (1943). Elementi geometrije. Bogotá.
  6. Villiers, M. (1996). Neke avanture u euklidskoj geometriji. Južna Afrika.