Demonstracija i primjeri binomne teoreme

binomni teorem je jednadžba koja nam govori kako razviti izraz oblika (a + b)ⁿ za neki prirodni broj n. Binomni nije više od zbroja dvaju elemenata, kao što je (a + b). Također nam omogućuje da znamo za pojam koji je dao a^kb^n-k koji je koeficijent koji ide uz njega.

Ovaj se teorem obično pripisuje engleskom izumitelju, fizičaru i matematičaru Sir Isaacu Newtonu; međutim, pronađeno je nekoliko zapisa koji upućuju na to da je na Bliskom istoku postojanje već bilo poznato, oko 1000. godine.

indeks

• 1 kombinatorni brojevi
• 2 Demonstracija
• 3 Primjeri
  • 3.1 Identitet 1
  • 3.2 Identitet 2
• 4 Još jedna demonstracija
  • 4.1 Demonstracija indukcijom
• 5 Zanimljivosti
• 6 Reference

Kombinatorni brojevi

Binomni teorem matematički nam govori sljedeće:

U ovom izrazu a i b su realni brojevi, a n je prirodni broj.

Prije nego što pokažemo demonstraciju, pogledajmo neke osnovne pojmove koji su potrebni.

Kombinatorni broj ili kombinacije od n u k izražava se kako slijedi:

Ovaj oblik izražava vrijednost koliko podskupa s k elemenata može biti izabrano iz skupa n elemenata. Njegov algebarski izraz daje:

Pogledajmo primjer: pretpostavimo da imamo grupu od sedam lopti, od kojih su dvije crvene, a ostale plave.

Želimo znati koliko ih možemo naručiti za redom. Jedan od načina može biti stavljanje dviju crvenih u prvo i drugo mjesto, a ostatak loptica u preostale pozicije.

Slično prethodnom slučaju, crvenim kuglicama možemo dati prvo i posljednje mjesto, a ostale zauzeti plavim kuglicama.

Efikasan način brojanja načina na koje možemo naručiti kugle u redu je kombinatorni broj. Svaku poziciju možemo vidjeti kao element sljedećeg skupa:

Zatim je potrebno odabrati samo podskup od dva elementa, u kojem svaki od ovih elemenata predstavlja poziciju koju će zauzeti crvene kugle. Ovaj izbor možemo napraviti prema odnosu koji daje:

Na taj način imamo 21 način za sortiranje takvih kugli.

Opća ideja ovog primjera bit će vrlo korisna u demonstraciji binomnog teorema. Pogledajmo konkretan slučaj: ako je n = 4, imamo (a + b)⁴, što nije ništa više od:

Kada razvijamo ovaj proizvod, imamo zbroj izraza dobivenih množenjem elementa svakog od četiri faktora (a + b). Stoga ćemo imati izraze koji će biti u obliku:

Ako smo htjeli dobiti termin obrasca⁴, samo pomnožite na sljedeći način:

Imajte na umu da postoji samo jedan način za dobivanje ovog elementa; ali što će se dogoditi ako sada tražimo pojam obrasca²b²? „A” i „B” su realni brojevi a, dakle, to je zamjenski zakon, trebamo način da se ovaj pojam množi s članovima kako je označeno strelicama.

Obavljati sve ove operacije to je obično nešto zamorno, ali ako vidimo izraz „a” kao kombinaciju u kojoj želimo znati koliko načina možemo izabrati dva „A” skupa četiri faktora, možemo koristiti ideju prethodnog primjera. Dakle, imamo:

Dakle, znamo da u konačnom razvoju izraza (a + b)⁴ imat ćemo točno 6a²b². Koristeći istu ideju za ostale elemente, morate:

Zatim dodamo ranije dobivene izraze i moramo:

To je formalna demonstracija za opći slučaj u kojem je "n" svaki prirodni broj.

predstava

Napominjemo da pojmovi koji ostaju pri razvoju (a + b)ⁿ su forme do^kb^n-k, gdje je k = 0,1, ..., n. Koristeći ideju prethodnog primjera, možemo odabrati "k" varijable "a" iz "n" faktora je:

Odabirom na ovaj način, automatski biramo n-k varijable "b". Iz toga slijedi da:

Primjeri

S obzirom na (a + b)⁵, Što bi bio njegov razvoj?

Prema binomnom teoremu moramo:

Binomni teorem je vrlo korisno ako imamo izraz u kojem znamo koeficijent određeni pojam, bez potrebe za dovršetak razvoja. Kao primjer možemo uzeti sljedeći tajnu: ono što je koeficijent x⁷i⁹ u razvoju (x + y)¹⁶?

Prema binomnom teoremu, imamo da je koeficijent:

Drugi primjer bi bio: koliki je koeficijent x⁵i⁸ u razvoju (3x-7y)¹³?

Najprije prepisujemo izraz na prikladan način; ovo je:

Zatim, koristeći binomni teorem, imamo da je željeni koeficijent kada imamo k = 5

Drugi primjer upotrebe ovog teorema je demonstracija nekih zajedničkih identiteta, kao što su oni navedeni u nastavku.

Identitet 1

Ako je "n" prirodan broj, moramo:

Za demonstraciju koristimo binomni teorem, gdje i "a" i "b" uzimaju vrijednost 1. Tada imamo:

Na taj smo način dokazali prvi identitet.

Identitet 2

Ako je "n" prirodni broj, onda

Prema binomnom teoremu moramo:

Još jedna demonstracija

Mi možemo učiniti drugačiji show za binomni teorem pomoću induktivne metode i identitet Pa, što nam govori da ako „n” i „k” su pozitivne integers s n ≥ k ispunjeni, tada je:

Demonstracija indukcijom

Prvo da vidimo da je induktivna baza ispunjena. Ako je n = 1, moramo:

Doista, vidimo da je ispunjen. Sada, neka je n = j tako da je ispunjen:

Želimo vidjeti da je za n = j + 1 ispunjeno sljedeće:

Dakle, moramo:

Prema hipotezi znamo da:

Zatim pomoću distributivnog svojstva:

Nakon toga, razvijajući svaku sumaciju, imamo:

Sada, ako se grupiramo na prikladan način, moramo:

Koristeći identitet paskala, moramo:

Naposljetku, imajte na umu:

Dakle, vidimo da je binomni teorem ispunjen za sve "n" koji pripadaju prirodnom broju, a time i završava test..

zanimljivosti

Kombinatorni broj (NK), također se zove binomna koeficijenta biti upravo koeficijent na razvoj binomna (A + B)ⁿ.

Isaac Newton dao je generalizaciju ovog teorema za slučaj u kojem je eksponent stvarni broj; ovaj teorem je poznat kao Newtonov binomni teorem.

Već u antici ovaj je rezultat bio poznat za poseban slučaj u kojem je n = 2. Ovaj slučaj spominje se u elementi Euklida.

reference

1. Johnsonbaugh Richard. Diskretna matematika PhH
2. Kenneth.H. Rosen, diskretna matematika i njezine primjene. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz i Marc Lipson. Diskretna matematika. McGraw-Hill.
4. Ralph P. Grimaldi. Diskretna i kombinacijska matematika. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Star Luis ... Diskretna matematika i kombinatorija